Приближения эффективной среды - Effective medium approximations

Приближения эффективной среды (EMA) или же теория эффективной среды (ЕМТ) относятся к аналитический или же теоретический моделирование, описывающее макроскопический свойства композитные материалы. EMA или EMT разрабатываются путем усреднения нескольких значений компонентов, которые непосредственно составляют композитный материал. На уровне компонентов стоимость материалов варьируется и составляет неоднородный. Точный расчет многих составляющих значений практически невозможен. Однако были разработаны теории, которые могут давать приемлемые приближения, которые, в свою очередь, описывают полезные параметры и свойства композитного материала в целом. В этом смысле, эффективная среда аппроксимации - это описания среды (композитного материала), основанные на свойствах и относительных долях его компонентов, полученные в результате расчетов.^[1][2]

Приложения

Есть много разных эффективная среда приближения,^[3] каждый из них более или менее точен в различных условиях. Тем не менее все они предполагают, что макроскопическая система однородна, и, что типично для всех теорий среднего поля, не могут предсказать свойства многофазной среды, близкие к порог перколяции из-за отсутствия дальнодействующих корреляций или критических флуктуаций в теории.

Рассматриваемые свойства обычно проводимость ${displaystyle sigma }$ или диэлектрическая постоянная ${displaystyle epsilon }$ среды. Эти параметры взаимозаменяемы в формулах целого ряда моделей благодаря широкой применимости уравнения Лапласа. Проблемы, выходящие за рамки этого класса, в основном относятся к области упругости и гидродинамики из-за тензорного характера более высокого порядка. эффективная среда константы.

EMA могут быть дискретными моделями, например, применимыми к цепям резисторов, или теориями континуума, применимыми к упругости или вязкости. Однако большинство современных теорий затрудняют описание перколяционных систем. Действительно, среди многочисленных эффективная среда приближения, только симметричная теория Брюггемана способна предсказать порог. Эта характерная черта последней теории помещает ее в ту же категорию, что и другие теории среднего поля. критические явления.^{[нужна цитата ]}

Модель Брюггемана

Формулы

Без потери общности рассмотрим исследование эффективный проводимость (которая может быть как постоянного, так и переменного тока) для системы, состоящей из сферических многокомпонентных включений с различной произвольной проводимостью. Тогда формула Брюггемана принимает вид:

Круглые и сферические включения

${displaystyle sum _{i},delta _{i},{frac {sigma _{i}-sigma _{e}}{sigma _{i}+(n-1)sigma _{e}}},=,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)}$

В системе евклидова пространственного измерения ${displaystyle n}$ который имеет произвольное количество компонентов,^[4] сумма рассчитывается по всем составляющим. ${displaystyle delta _{i}}$ и ${displaystyle sigma _{i}}$ - соответственно доля и проводимость каждого компонента, а ${displaystyle sigma _{e}}$ - эффективная проводимость среды. (Сумма по ${displaystyle delta _{i}}$это единство.)

Эллиптические и эллипсоидальные включения

${displaystyle {frac {1}{n}},delta alpha +{frac {(1-delta )(sigma _{m}-sigma _{e})}{sigma _{m}+(n-1)sigma _{e}}},=,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2)}$

Это обобщение уравнения. (1) к двухфазной системе с эллипсоидальными включениями проводимости ${displaystyle sigma }$ в матрицу проводимости ${displaystyle sigma _{m}}$.^[5] Доля включений составляет ${displaystyle delta }$ и система ${displaystyle n}$ размерный. Для случайно ориентированных включений

${displaystyle alpha ,=,{frac {1}{n}}sum _{j=1}^{n},{frac {sigma -sigma _{e}}{sigma _{e}+L_{j}(sigma -sigma _{e})}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3)}$

где ${displaystyle L_{j}}$'s обозначают соответствующий дублет / триплет факторов деполяризации, который определяется соотношением между осями эллипса / эллипсоида. Например: в случае круга {${displaystyle L_{1}=1/2}$, ${displaystyle L_{2}=1/2}$} а в случае шара {${displaystyle L_{1}=1/3}$, ${displaystyle L_{2}=1/3}$, ${displaystyle L_{3}=1/3}$}. (Сумма по ${displaystyle L_{j}}$ это единство.)

Наиболее общий случай, к которому был применен подход Бруггемана, связан с бианизотропными эллипсоидальными включениями.^[6]

Вывод

На рисунке показана двухкомпонентная среда.^[4] Рассмотрим заштрихованный объем проводимости ${displaystyle sigma _{1}}$, примите это как сферу объема ${displaystyle V}$ и предположим, что он погружен в однородную среду с эффективной проводимостью ${displaystyle sigma _{e}}$. Если электрическое поле далеко от включения ${displaystyle {overline {E_{0}}}}$ то элементарные соображения приводят к дипольный момент связанный с объемом

${displaystyle {overline {p}},propto ,V,{frac {sigma _{1}-sigma _{e}}{sigma _{1}+2sigma _{e}}},{overline {E_{0}}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.}$

Этот поляризация производит отклонение от ${displaystyle {overline {E_{0}}}}$. Если среднее отклонение должно исчезнуть, полная поляризация, суммированная по двум типам включений, должна исчезнуть. Таким образом

${displaystyle delta _{1}{frac {sigma _{1}-sigma _{e}}{sigma _{1}+2sigma _{e}}},+,delta _{2}{frac {sigma _{2}-sigma _{e}}{sigma _{2}+2sigma _{e}}},=,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(5)}$

куда ${displaystyle delta _{1}}$ и ${displaystyle delta _{2}}$ - объемная доля материала 1 и 2, соответственно. Ее можно легко расширить до системы размеров ${displaystyle n}$ который имеет произвольное количество компонентов. Все случаи можно объединить, чтобы получить уравнение. (1).

Уравнение (1) можно также получить, потребовав, чтобы отклонение тока обратилось в нуль^[7][8]. Это было получено здесь из предположения, что включения являются сферическими, и это может быть изменено для форм с другими факторами деполяризации; приводя к формуле. (2).

Также доступен более общий вывод, применимый к бианизотропным материалам.^[6]

Моделирование перколяционных систем

Основное приближение состоит в том, что все домены находятся в эквивалентном среднем поле. К сожалению, это не тот случай, близкий к порогу перколяции, когда системой управляет самый большой кластер проводников, который является фракталом, и дальнодействующие корреляции которые полностью отсутствуют в простой формуле Брюггемана. пороговые значения, как правило, неверно предсказываются. Это 33% в EMA в трех измерениях, что далеко от 16%, ожидаемых по теории перколяции и наблюдаемых в экспериментах. Однако в двух измерениях EMA дает порог в 50% и, как было доказано, относительно хорошо моделирует просачивание.^[9][10][11]

Уравнение Максвелла Гарнетта

в Максвелл Гарнетт В приближении эффективная среда представляет собой матричную среду с ${displaystyle varepsilon _{m}}$ и включения с ${displaystyle varepsilon _{i}}$.

Формула

Уравнение Максвелла Гарнетта гласит:^[12]

${displaystyle left({frac {varepsilon _{mathrm {eff} }-varepsilon _{m}}{varepsilon _{mathrm {eff} }+2varepsilon _{m}}}ight)=delta _{i}left({frac {varepsilon _{i}-varepsilon _{m}}{varepsilon _{i}+2varepsilon _{m}}}ight),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(6)}$

куда ${displaystyle varepsilon _{mathrm {eff} }}$ это эффективная диэлектрическая проницаемость среды, ${displaystyle varepsilon _{i}}$ включений и ${displaystyle varepsilon _{m}}$ матрицы; ${displaystyle delta _{i}}$ - объемная доля включений.

Уравнение Максвелла Гарнетта решается следующим образом:

${displaystyle varepsilon _{mathrm {eff} },=,varepsilon _{m},{frac {2delta _{i}(varepsilon _{i}-varepsilon _{m})+varepsilon _{i}+2varepsilon _{m}}{2varepsilon _{m}+varepsilon _{i}-delta _{i}(varepsilon _{i}-varepsilon _{m})}},,,,,,,,,(7)}$^[13][14]

пока знаменатель не исчезнет. Простой калькулятор MATLAB, использующий эту формулу, выглядит следующим образом.

% Этот простой калькулятор MATLAB вычисляет эффективный диэлектрический% константа смеси материала включения в базовой среде% согласно теории Максвелла Гарнетта, представленной в:% https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_Medium_Approximations% ВХОДОВ:% eps_base: диэлектрическая проницаемость основного материала;% eps_incl: диэлектрическая проницаемость материала включения;% vol_incl: объемная доля материала включения;% ВЫХОД:% eps_mean: эффективная диэлектрическая проницаемость смеси.функция[eps_mean] =МаксвеллГарнеттФормула(eps_base, eps_incl, vol_incl)small_number_cutoff = 1е - 6;    если vol_incl <0 || vol_incl> 1        дисп([«ВНИМАНИЕ: объемная доля включенного материала вне допустимого диапазона!»]);    конецfactor_up = 2 * (1 - vol_incl) * eps_base + (1 + 2 * vol_incl) * eps_incl;    factor_down = (2 + vol_incl) * eps_base + (1 - vol_incl) * eps_incl;    если abs (factor_down)         дисп([«ВНИМАНИЕ: эффективная среда уникальна!»]);        eps_mean = 0;    ещеeps_mean = eps_base * factor_up / factor_down;    конец

Вывод

Для вывода уравнения Максвелла-Гарнетта мы начнем с массива поляризуемых частиц. Используя концепцию локального поля Лоренца, мы получаем Соотношение Клаузиуса-Моссотти:

${displaystyle {frac {varepsilon -1}{varepsilon +2}}={frac {4pi }{3}}sum _{j}N_{j}alpha _{j}}$

Где ${displaystyle N_{j}}$ - количество частиц в единице объема. Используя элементарную электростатику, получаем для сферического включения с диэлектрической проницаемостью ${displaystyle varepsilon _{i}}$ и радиус ${displaystyle a}$ поляризуемость ${displaystyle alpha }$:

${displaystyle alpha =left({frac {varepsilon _{i}-1}{varepsilon _{i}+2}}ight)a^{3}}$

Если мы объединим ${displaystyle alpha }$ с уравнением Клаузиуса Мосотти получаем:

${displaystyle left({frac {varepsilon _{mathrm {eff} }-1}{varepsilon _{mathrm {eff} }+2}}ight)=delta _{i}left({frac {varepsilon _{i}-1}{varepsilon _{i}+2}}ight)}$

Где ${displaystyle varepsilon _{mathrm {eff} }}$ - эффективная диэлектрическая проницаемость среды, ${displaystyle varepsilon _{i}}$ включений; ${displaystyle delta _{i}}$ - объемная доля включений.
Поскольку модель Максвелла Гарнетта представляет собой композицию матричной среды с включениями, мы усиливаем уравнение:

${displaystyle left({frac {varepsilon _{mathrm {eff} }-varepsilon _{m}}{varepsilon _{mathrm {eff} }+2varepsilon _{m}}}ight)=delta _{i}left({frac {varepsilon _{i}-varepsilon _{m}}{varepsilon _{i}+2varepsilon _{m}}}ight),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(8)}$

Срок действия

В целом ожидается, что EMA Максвелла Гарнетта будет действительным при низких объемных долях. ${displaystyle delta _{i}}$, поскольку предполагается, что домены пространственно разделены, а электростатическое взаимодействие между выбранными включениями и всеми другими соседними включениями не учитывается.^[15] Формула Максвелла Гарнетта, в отличие от Формула Брюггемана, перестает быть правильным, когда включения становятся резонансными. В случае плазмонного резонанса формула Максвелла Гарнетта верна только при объемной доле включений ${displaystyle delta _{i}<10^{-5}}$.^[16] Применимость приближения эффективной среды для диэлектрических мультислоев ^[17] и металло-диэлектрические многослойные ^[18] были изучены, показав, что есть определенные случаи, когда приближение эффективной среды не выполняется, и при применении теории необходимо соблюдать осторожность.

Теория эффективной среды для резисторных сетей

Для сети, состоящей из высокой плотности случайных резисторов, точное решение для каждого отдельного элемента может быть непрактичным или невозможным. В таком случае случайную сеть резисторов можно рассматривать как двумерную график и эффективное сопротивление может быть смоделировано в терминах мер графа и геометрических свойств сетей.^[19]Предполагая, что длина кромки << расстояние между электродами и кромки равномерно распределены, можно считать, что потенциал равномерно падает от одного электрода к другому. Сопротивление листа такой случайной сети (${displaystyle R_{sn}}$) можно записать через плотность кромок (проволоки) (${displaystyle N_{E}}$), удельное сопротивление (${displaystyle ho }$), ширина (${displaystyle w}$) и толщину (${displaystyle t}$) ребер (проводов) как:

${displaystyle R_{sn},=,{frac {pi }{2}}{frac {ho }{w,t,{sqrt {N_{E}}}}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(9)}$

Смотрите также

• Материальное уравнение
• Порог перколяции

Рекомендации

1. Вэньшань, Цай; Шалаев, Владимир (ноябрь 2009 г.). Оптические метаматериалы: основы и приложения. Springer. С. Глава 2.4. ISBN  978-1-4419-1150-6.
2. Ван, М; Пан, N (2008). «Прогнозы эффективных физических свойств сложных многофазных материалов» (Бесплатная загрузка PDF). Материаловедение и инженерия: R: Отчеты. 63: 1–30. Дои:10.1016 / j.mser.2008.07.001.
3. Tinga, W. R .; Voss, W. A. ​​G .; Блосси, Д. Ф. (1973). «Обобщенный подход к теории многофазной диэлектрической смеси». J. Appl. Phys. 44 (9): 3897. Bibcode:1973JAP .... 44.3897T. Дои:10.1063/1.1662868. Архивировано из оригинал на 2012-07-16. Получено 2019-04-24.
4. Ландауэр, Рольф (апрель 1978 г.). «Электропроводность в неоднородных средах». Материалы конференции AIP. 40. Американский институт физики. С. 2–45. Дои:10.1063/1.31150. Архивировано из оригинал на 2012-07-10. Получено 2010-02-07.
5. Granqvist, C.G .; Хундери, О. (1978). «Электропроводность неоднородных материалов: теория эффективной среды с диполь-дипольным взаимодействием». Phys. Ред. B. 18 (4): 1554–1561. Bibcode:1978ПхРвБ..18.1554Г. Дои:10.1103 / PhysRevB.18.1554.
6. Weiglhofer, W. S .; Лахтакия, А .; Мишель Б. (1998). "Формализмы Максвелла Гарнетта и Бруггемана для композита в виде частиц с бианизотропной основной средой". Микроу. Опт. Technol. Латыш. 15 (4): 263–266. Дои:10.1002 / (SICI) 1098-2760 (199707) 15: 4 <263 :: AID-MOP19> 3.0.CO; 2-8. Архивировано из оригинал на 2013-01-05.
7. Страуд, Д. (1975). «Обобщенный подход эффективной среды к проводимости неоднородного материала». Phys. Ред. B. 12 (8): 3368–3373. Bibcode:1975ПхРвБ..12.3368С. Дои:10.1103 / PhysRevB.12.3368.
8. Дэвидсон, А .; Тинкхэм, М. (1976). «Феноменологические уравнения электропроводности микроскопически неоднородных материалов». Phys. Ред. B. 13 (8): 3261–3267. Bibcode:1976ПхРвБ..13.3261Д. Дои:10.1103 / PhysRevB.13.3261.
9. Киркпатрик, Скотт (1973). «Перколяция и проводимость». Ред. Мод. Phys. 45 (4): 574–588. Bibcode:1973РвМП ... 45..574К. Дои:10.1103 / RevModPhys.45.574.
10. Заллен, Ричард (1998). Физика аморфного твердого тела. Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-29941-7.
11. Розен, Джон; Лопес, Рене; Хаглунд, Ричард Ф. мл .; Фельдман, Леонард С. (2006). «Двумерная перколяция тока в нанокристаллических пленках диоксида ванадия».. Appl. Phys. Латыш. 88 (8): 081902. Bibcode:2006АпФЛ..88х1902Р. Дои:10.1063/1.2175490. Архивировано из оригинал на 2012-07-12. Получено 2019-04-24.
12. Чой, Так С. (1999). Теория эффективной среды. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  978-0-19-851892-1.
13. Леви О. и Страуд Д. (1997). Теория Максвелла-Гарнетта для смесей анизотропных включений: приложение к проводящим полимерам. Physical Review B, 56 (13), 8035.
14. Лю, Тонг и др. «Микропористые наночастицы Co @ CoO с превосходными свойствами поглощения микроволнового излучения». Nanoscale 6.4 (2014): 2447-2454.
15. Джепсен, Питер Уд; Фишер, Бернд М .; Томан, Андреас; Хельм, Ханспетер; Suh, J. Y .; Лопес, Рене; Хаглунд, Р. Ф. младший (2006). «Фазовый переход металл-диэлектрик в ВО.₂ тонкая пленка, наблюдаемая с помощью терагерцовой спектроскопии ". Phys. Ред. B. 74 (20): 205103. Bibcode:2006PhRvB..74t5103J. Дои:10.1103 / PhysRevB.74.205103.
16. Беляев, Б. А .; Тюрнев, В. В. (2018). «Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров диэлектрической среды с металлическими наночастицами заданного размера». Журнал экспериментальной и теоретической физики. 127 (4): 608–619. Bibcode:2018JETP..127..608B. Дои:10.1134 / S1063776118100114. S2CID  125250487.
17. Жуковский, С. В .; Андрьевский, А., Такаяма, О .; Шкондин, Э., Малуряну, Р .; Йенсен Ф., Лавриненко А. В. (2015). «Экспериментальная демонстрация пробоя приближения эффективной среды в глубоко субволновых полностью диэлектрических многослойных слоях». Письма с физическими проверками. 115 (17): 177402. arXiv:1506.08078. Bibcode:2015PhRvL.115q7402Z. Дои:10.1103 / PhysRevLett.115.177402. PMID  26551143. S2CID  4018894.
18. Sukham, J .; Такаяма, О., Махмуди, М .; Сычев С., Богданов А .; Хасан Тавассоли, С., Лавриненко, А.В .; Малуряну Р. (2019). «Исследование применимости эффективных сред для сверхтонких многослойных структур». Наномасштаб. 11 (26): 12582–12588. Дои:10.1039 / C9NR02471A. PMID  31231735.
19. Кумар, Анкуш; Видхьядхираджа, Н. С .; Кулкарни, Г.У. (2017). «Распределение тока в проводящих сетях из нанопроволоки». Журнал прикладной физики. 122 (4): 045101. Bibcode:2017JAP ... 122d5101K. Дои:10.1063/1.4985792.

дальнейшее чтение

• Лахтакия (Ред.), А. (1996). Избранные статьи о линейных оптических композитных материалах [Milestone Vol. 120]. Беллингхэм, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN  978-0-8194-2152-4.
• Так, Чой (1999). Теория эффективной среды (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-851892-1.
• Лахтакия (Ред.), А. (2000). Электромагнитные поля в нетрадиционных материалах и конструкциях. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-36356-9.
• Weiglhofer (Ред.); Лахтакия (Ред.), А. (2003). Введение в сложные среды для оптики и электромагнетизма. Беллингхэм, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN  978-0-8194-4947-4.
• Маккей, Т.; Лахтакия, А. (2010). Электромагнитная анизотропия и бианизотропия: практическое руководство (1-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-4289-61-0.