Эффективная диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость - Effective permittivity and permeability

Эффективная диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость - усредненные диэлектрические и магнитные характеристики микронеоднородной среды. Они являются предметом Теория эффективной среды.^[1] Есть две широко используемые формулы.^[2] Оба они были получены в квазистатическое приближение когда электрическое поле внутри частицы смеси можно рассматривать как однородное. Таким образом, эти формулы не могут описать размерный эффект. Было предпринято много попыток улучшить эти формулы.

Формула Максвелла Гарнетта

Первая формула была предложена Дж. Максвеллом Гарнеттом.^[3] Максвелл Гарнетт был сыном физика Уильям Гарнетт, и был назван в честь друга Гарнетта, Джеймс Клерк Максвелл. Он предложил свою формулу для объяснения цветных картинок, которые наблюдаются в стеклах, допированных металлическими наночастицами. Его формула имеет вид

${\displaystyle \epsilon _{eff}=\epsilon _{d}\left[1+3c_{m}{\frac {\epsilon _{m}-\epsilon _{d}}{\epsilon _{m}+2\epsilon _{d}-c_{m}(\epsilon _{m}-\epsilon _{d})}}\right],}$ (1)

куда ${\displaystyle \epsilon _{eff}}$ эффективен относительная комплексная диэлектрическая проницаемость смеси, ${\displaystyle \epsilon _{d}}$ - относительная комплексная диэлектрическая проницаемость фоновой среды, содержащей мелкие сферические включения относительной диэлектрической проницаемости ${\displaystyle \epsilon _{m}}$ с объемной долей ${\displaystyle c_{m}<<1}$. Эта формула основана на равенстве

${\displaystyle \epsilon _{eff}=\epsilon _{d}+c_{m}{\frac {p_{m}}{\epsilon _{0}E}},}$ (2)

куда ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ это абсолютная диэлектрическая проницаемость свободного пространства и ${\displaystyle p_{m}}$ является электрический дипольный момент одиночного включения, индуцированного внешним электрическое поле E. Однако это равенство годится только для однородная среда и ${\displaystyle \epsilon _{d}=1}$. Кроме того, формула (1) игнорирует взаимодействие между одиночными включениями. Из-за этих обстоятельств формула (1) дает слишком узкую и слишком высокую резонансную кривую для плазмонных возбуждений в металлических наночастицах смеси.^[4]

Формула Брюггемана

Вторая популярная формула была предложена D.A.G. Брюггеман.^[5] Его формула имеет вид

${\displaystyle \epsilon _{eff}={\frac {H_{b}+{\sqrt {H_{b}^{2}+8\epsilon _{m}\epsilon _{d}}}}{4}},}$ ${\displaystyle H_{b}=(2-3c_{m})\epsilon _{d}-(1-3c_{m})\epsilon _{m}.}$ (3)

Здесь положительный знак перед квадратным корнем в некоторых случаях должен быть заменен на отрицательный, чтобы получить правильную мнимую часть эффективной комплексной диэлектрической проницаемости, которая связана с затуханием электромагнитной волны. Эта формула основана на равенстве

${\displaystyle \Delta \Phi =\int \int \epsilon _{r}(\mathbf {r} )E_{n}(\mathbf {r} )ds-\epsilon _{eff}\int \int E_{0},ds=0,}$ (4)

куда ${\displaystyle \Delta \Phi }$ это скачок электрическое перемещение поток по всей поверхности интегрирования, ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {r} )}$ - компонента микроскопического электрического поля, нормальная к поверхности интегрирования, ${\displaystyle \epsilon _{r}(\mathbf {r} )}$ - локальная относительная комплексная диэлектрическая проницаемость, которая принимает значение ${\displaystyle \epsilon _{m}}$ внутри выбранной металлической частицы значение ${\displaystyle \epsilon _{d}}$ внутри подобранной диэлектрической частицы и значение ${\displaystyle \epsilon _{eff}}$ вне выбранной частицы, ${\displaystyle E_{0}}$ - нормальная составляющая макроскопического электрического поля. Формула (4) получается из Равенство Максвелла ${\displaystyle \mathrm {div} (\epsilon _{r}\mathbf {E} )=0}$. Таким образом, в подходе Бруггемана рассматривается только одна подобранная частица. Взаимодействие со всеми остальными частицами учитывается только в приближении среднего поля, описываемом ${\displaystyle \epsilon _{eff}}$. Формула (3) дает разумную резонансную кривую для плазмонных возбуждений в металлических наночастицах, если их размер составляет 10 нм или меньше. Но он не может описать размерную зависимость резонансной частоты плазмонных возбуждений, наблюдаемых в эксперименте. ^[6]

Формула, описывающая размерный эффект

Предложена новая формула, описывающая размерный эффект.^[4] Эта формула имеет вид

${\displaystyle \epsilon _{eff}={\frac {H_{\epsilon }+i{\sqrt {-H_{\epsilon }^{2}-8\epsilon _{m}\epsilon _{d}J(k_{m}a)}}}{4}},}$

${\displaystyle H_{\epsilon }=(2-3c_{m})\epsilon _{d}-(1-3c_{m})\epsilon _{m}J(k_{m}a),}$ (5)

${\displaystyle J(x)=2{\frac {1-x\mathrm {cot} (x)}{x^{2}+x\mathrm {cot} (x)-1}}}$,

куда а - радиус наночастицы и ${\displaystyle k_{m}={\sqrt {\epsilon _{m}\mu _{m}}}\omega /c}$ - волновое число. Здесь предполагается, что зависимость электромагнитного поля от времени определяется множителем ${\displaystyle \mathrm {exp} (-i\omega t).}$ В этой статье использовался подход Бруггемана, но электромагнитное поле для режима электродипольных колебаний внутри выбранной частицы было вычислено без применения квазистатическое приближение. Таким образом, функция ${\displaystyle J(k_{m}a)}$ возникает из-за неоднородности поля внутри выбранной частицы. В квазистатической области ${\displaystyle (k_{m}a<<1}$, т.е. ${\displaystyle a}$ ≤ 10 нм для Ag${\displaystyle )}$ эта функция становится постоянной ${\displaystyle J(k_{m}a)=1}$ и формула (5) становится идентичной формуле Бруггемана (3).

Формула эффективной проницаемости

Формула для эффективной проницаемости смесей имеет вид ^[4]

${\displaystyle \mu _{eff}={\frac {H_{\mu }+i{\sqrt {-H_{\mu }^{2}-8\mu _{m}\mu _{d}J(k_{m}a)}}}{4}},}$ (6)

${\displaystyle H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).}$

Здесь ${\displaystyle \mu _{eff}}$ эффективен относительная комплексная проницаемость смеси, ${\displaystyle \mu _{d}}$ - относительная комплексная проницаемость фоновой среды, содержащей мелкие сферические включения относительной проницаемости ${\displaystyle \mu _{m}}$ с объемной долей ${\displaystyle c_{m}<<1}$. Эта формула получена в дипольном приближении. Магнитная октупольная мода и все другие моды магнитных колебаний нечетных порядков здесь не учитывались. Когда ${\displaystyle \mu _{m}=\mu _{d}}$ и ${\displaystyle k_{m}a<<1}$ эта формула имеет простой вид ^[4]

${\displaystyle \mu _{eff}=\mu _{d}\left(1+{\frac {c_{m}}{10}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}a^{2}\epsilon _{m}\right).}$ (7)

Рекомендации

1. T.C. Чой, "Теория эффективной среды", Oxford University Press, (2016) 241 стр.
2. М. Шеллер, К. Янсен, М. Кох, «Приложения теории эффективных сред в терагерцовом режиме» в Последние оптические и фотонные технологии, изд. К.Ю. Ким, Интех, Хорватия, Вуковар (2010), стр. 231.
3. Гарнетт, Дж. К. М. (1904). «Цвета в металлических стеклах и металлических пленках». Философские труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 203 (359–371): 385–420. Дои:10.1098 / рста.1904.0024. ISSN  1364-503X.
4. Беляев, Б. А .; Тюрнев, В. В. (2018). «Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров диэлектрической среды с металлическими наночастицами заданного размера». Журнал экспериментальной и теоретической физики. 127 (4): 608–619. Дои:10.1134 / S1063776118100114. ISSN  1063-7761.
5. Брюггеман, Д. А. Г. (1935). "Berechnung verschiedener Physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen". Annalen der Physik. 416 (7): 636–664. Дои:10.1002 / andp.19354160705. ISSN  0003-3804.
6. С.Дж. Ольденбург. «Наночастицы серебра: свойства и применение». Сигма Олдрич. Получено 17 мая 2019.