Направленная перколяция - Directed percolation

В статистическая физика, направленная перколяция (DP) относится к классу моделей, имитирующих фильтрацию флюидов через пористые материалы в заданном направлении из-за эффекта сила тяжести. Варьируя микроскопическую связь пор, эти модели демонстрируют фаза перехода из макроскопически проницаемого (просачивающегося) в непроницаемое (непроницаемое) состояние. Направленная перколяция также используется в качестве простой модели распространения эпидемии с переходом от выживания к исчезновению болезни в зависимости от уровня инфицирования.

В более общем смысле термин направленная перколяция означает класс универсальности непрерывных фазовых переходов, которые характеризуются однотипным коллективным поведением на больших масштабах. Направленная перколяция - это, пожалуй, простейший класс универсальности переходов из тепловое равновесие.

Решетчатые модели

Реализация проницаемых (сплошная линия) или замкнутых связей (без линии) на наклонной квадратной решетке. Кластер сайтов, соединенных направленным путем (по стрелкам) с источником (точка в кружке), обозначен красным.

Одна из простейших реализаций DP - это облигационно-направленная перколяция. Данная модель представляет собой направленный вариант обычная (изотропная) перколяция и может быть введен следующим образом. На рисунке показана наклонная квадратная решетка со связями, соединяющими соседние узлы. Связи проницаемые (открытые) с вероятностью ${displaystyle p,}$ и непроницаемым (закрытым) в противном случае. Узлы и связи можно интерпретировать как отверстия и случайно распределенные каналы пористой среды.

Различие между обычной и направленной перколяцией показано справа. В изотропная перколяция агент для растекания (например, вода), введенный в конкретный участок, просачивается вдоль открытых связей, образуя кластер влажных участков. Напротив, при направленной перколяции растекающийся агент может проходить открытые связи только в предпочтительном направлении в пространстве, как показано стрелкой. Образовавшийся красный кластер направлен в космос.

Как динамичный процесс

Интерпретируя предпочтительное направление как временную степень свободы, направленную перколяцию можно рассматривать как случайный процесс который развивается во времени. В случае связки DP временной параметр ${displaystyle t}$ является дискретным, и все сайты обновляются параллельно. Активация определенного сайта (так называемого начального числа) во время ${displaystyle t=0}$ полученный кластер можно строить построчно. Соответствующее количество активных сайтов ${displaystyle N(t)}$ меняется с течением времени.

Универсальное поведение масштабирования

ДП класс универсальности характеризуется определенным набором критические показатели. Эти показатели зависят от пространственного измерения ${displaystyle d,}$. Выше так называемого верхнего критического размера ${displaystyle dgeq d_{c}=4,}$ они даны их средними значениями поля, а в ${displaystyle d<4,}$ размеры они были оценены численно. Текущие оценки приведены в следующей таблице:

Критические показатели направленной перколяции в ${displaystyle d}$ размеры (сентябрь 2006 г.)^[1]

показатель степени	${displaystyle d=1,}$	${displaystyle d=2,}$	${displaystyle d=3,}$	${displaystyle dgeq 4,}$
${displaystyle eta ,}$	${displaystyle 0.276486pm 0.000008}$	${displaystyle 0.583pm 0.003}$	${displaystyle 0.813pm 0.009}$	${displaystyle 1,}$
${displaystyle u _{perp }}$	${displaystyle 1.096854pm 0.000004}$	${displaystyle 0.733pm 0.008}$	${displaystyle 0.584pm 0.005}$	${displaystyle 1/2,}$
${displaystyle u _{||},}$	${displaystyle 1.733847pm 0.000006}$	${displaystyle 1.295pm 0.006}$	${displaystyle 1.11pm 0.01}$	${displaystyle 1,}$

Другие примеры

В двух измерениях просачивание воды через тонкую ткань (например, туалетная бумага ) имеет ту же математическую основу, что и поток электричество через двумерные случайные сети резисторы. В химии, хроматография можно понять с помощью аналогичных моделей.

Распространение разрыва или разрыва на листе бумаги, в листе металла или даже образование трещины в керамика имеет большое математическое сходство с потоком электричества через случайную сеть электрические предохранители. Выше определенной критической точки электрический поток вызовет взрыв предохранителя, что может привести к каскаду отказов, напоминающих распространение трещины или разрыва. Изучение перколяции помогает определить, как поток электричества будет перераспределяться в сети предохранителей, таким образом моделируя, какие предохранители с наибольшей вероятностью лопнут следующими, и как быстро они лопнут, и в каком направлении может изгибаться трещина.

Примеры можно найти не только в физических явлениях, но также в биологии, нейробиологии, экологии (например, эволюция ) и экономики (например, распространение инноваций ).

Перколяцию можно рассматривать как раздел изучения динамические системы или же статистическая механика. В частности, перколяционные сети демонстрируют изменение фазы около критический порог.

Экспериментальные реализации

Несмотря на огромный успех теоретических и численных исследований ДП, получение убедительных экспериментальных доказательств оказалось сложной задачей. Однако в 2007 году критическое поведение DP было наконец обнаружено в электрогидродинамической конвекции жидкого кристалла, где был измерен полный набор статических и динамических критических показателей и универсальные масштабные функции DP при переходе к пространственно-временной перемежаемости между двумя турбулентными состояниями.^[2][3]Временные сети можно изучать, используя отображение на задачу направленной перколяции.^[4] Вероятность временных связей имеет критическое значение, ниже которого связность равна нулю, в то время как выше почти все узлы могут быть связаны. Это можно сопоставить с фазовым переходом при направленной перколяции.

Смотрите также

• Порог перколяции
• Модель Зиффа – Гулари – Баршада.

Источники

Литература

• Хинрихсен, Хэй (2000). «Неравновесные критические явления и фазовые переходы в поглощающие состояния». Успехи в физике. Informa UK Limited. 49 (7): 815–958. arXiv:cond-mat / 0001070. Дои:10.1080/00018730050198152. ISSN  0001-8732.
• Одор, Геза (17 августа 2004 г.). «Классы универсальности в неравновесных решетчатых системах». Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 76 (3): 663–724. arXiv:cond-mat / 0205644. Дои:10.1103 / revmodphys.76.663. ISSN  0034-6861.
• Любек, Свен (2004-12-30). «Универсальное масштабное поведение неравновесных фазовых переходов». Международный журнал современной физики B. World Scientific Pub Co Pte Lt. 18 (31n32): 3977–4118. arXiv:cond-mat / 0501259. Дои:10.1142 / s0217979204027748. ISSN  0217-9792.
• Л. Кане: "Processus de réaction-diffusion: une Approche par le groupe de renormalisation non perturbatif", Thèse. Thèse en ligne
• Мухаммад Сахими. Приложения теории перколяции. Тейлор и Фрэнсис, 1994. ISBN  0-7484-0075-3 (ткань), ISBN  0-7484-0076-1 (бумага)
• Джеффри Гриммет. Перколяция (2-е изд.). Springer Verlag, 1999.
• Такеучи, Кадзумаса А .; Курода, Масафуми; Шате, Хьюг; Сано, Масаки (05.12.2007). «Критичность направленной перколяции в турбулентных жидких кристаллах». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 99 (23): 234503. arXiv:0706.4151. Дои:10.1103 / Physrevlett.99.234503. ISSN  0031-9007.

Рекомендации

1. Хинрихсен, Хэй (2000). «Неравновесные критические явления и фазовые переходы в поглощающие состояния». Успехи в физике. Informa UK Limited. 49 (7): 815–958. arXiv:cond-mat / 0001070. Дои:10.1080/00018730050198152. ISSN  0001-8732.
2. Такеучи, Кадзумаса А .; Курода, Масафуми; Шате, Хьюг; Сано, Масаки (05.12.2007). «Критичность направленной перколяции в турбулентных жидких кристаллах». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 99 (23): 234503. arXiv:0706.4151. Дои:10.1103 / Physrevlett.99.234503. ISSN  0031-9007.
3. Такеучи, Кадзумаса А .; Курода, Масафуми; Шате, Хьюг; Сано, Масаки (16 ноября 2009 г.). «Экспериментальная реализация критичности направленной перколяции в турбулентных жидких кристаллах». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 80 (5): 051116. arXiv:0907.4297. Дои:10.1103 / Physreve.80.051116. ISSN  1539-3755.
4. Р. Паршани, М. Дикисон, Р. Коэн, Х. Стэнли, С. Хэвлин (2010). «Динамические сети и направленная перколяция». Europhys. Латыш. 90 (3): 38004.

Источники