Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии - Glossary of arithmetic and diophantine geometry

Это глоссарий арифметика и диофантова геометрия в математика, области, выросшие из традиционного изучения Диофантовы уравнения охватить большую часть теория чисел и алгебраическая геометрия. Большая часть теории представлена ​​в виде предложенных догадки, которые могут быть связаны на разных уровнях общности.

Диофантова геометрия в общем это изучение алгебраические многообразия V над полями K которые конечно порождены над своими простые поля - в том числе особый интерес числовые поля и конечные поля -и более местные поля. Из них только сложные числа находятся алгебраически замкнутый; над любым другим K наличие точек V с координатами в K что-то, что нужно доказать и изучить как дополнительную тему, даже зная геометрию V.

Арифметическая геометрия в более общем смысле можно определить как изучение схемы конечного типа над спектр из кольцо целых чисел.[1] Арифметическая геометрия также была определена как применение методов алгебраической геометрии к проблемам в теория чисел.[2]


А

гипотеза abc
В гипотеза abc из Массер и Эстерле пытается заявить как можно больше о повторяющихся простых множителях в уравнении а + б = c. Например, 3 + 125 = 128, но простые степени здесь исключительные.
Классная группа Аракелова
В Классная группа Аракелова является аналогом группа идеального класса или же группа классов дивизоров за Делители Аракелова.[3]
Делитель Аракелова
An Делитель Аракелова (или же полный делитель[4]) на глобальном поле является расширением концепции делитель или же дробный идеал. Это формальная линейная комбинация места поля с конечные места с целыми коэффициентами и бесконечные места с реальными коэффициентами.[3][5][6]
Высота Аракелова
В Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел является глобальным функция высоты с местными взносами из Fubini – Study metrics на Архимедовы поля и обычная метрика на неархимедовы поля.[7][8]
Теория аракелова
Теория аракелова - это подход к арифметической геометрии, который явно включает «бесконечные простые числа».
Арифметика абелевых многообразий
См. Основную статью арифметика абелевых многообразий
Артина L-функции
Артина L-функции определены для довольно общих Представления Галуа. Вступление к этальные когомологии в 1960-х означало, что L-функции Хассе – Вейля можно рассматривать как L-функции Артина для представлений Галуа на l-адические когомологии группы.

B

Плохое сокращение
Видеть хорошее сокращение.
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
В Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера на эллиптические кривые постулирует связь между ранг эллиптической кривой и порядок полюса его L-функции Хассе – Вейля. Это было важной вехой в диофантовой геометрии с середины 1960-х годов, и в результате были получены такие результаты, как Теорема Коутса – Уайлса, Теорема Гросса – Загьера и Теорема Колывагина.[9]

C

Каноническая высота
Каноническая высота на абелева разновидность - функция высоты, которая является отличительной квадратичная форма. Видеть Высота Нерона – Тейта.
Метод Шабути
Метод Чаботи, на основе п-адические аналитические функции, это специальное приложение, но способное доказывать случаи Гипотеза Морделла для кривых, ранг якобиана которых меньше его размерности. Он развивал идеи из Торальф Сколем метод для алгебраический тор. (Другие старые методы решения диофантовых проблем включают Метод Рунге.)
Теорема Коутса – Уайлса
В Теорема Коутса – Уайлса заявляет, что эллиптическая кривая с комплексное умножение по мнимое квадратичное поле из номер класса 1 и положительный классифицировать имеет L-функция с нулем в s= 1. Это частный случай Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера.[10]
Кристаллические когомологии
Кристаллические когомологии является p-адической теорией когомологий в характеристика p, представлен Александр Гротендик чтобы заполнить пробел, оставленный этальные когомологии который не использует мод п коэффициенты в этом случае. Это одна из многих теорий, в некотором роде Метод Дворка, и имеет приложения, выходящие за рамки чисто арифметических вопросов.

D

Диагональные формы
Диагональные формы одни из самых простых проективные многообразия учиться с арифметической точки зрения (включая Сорта Ферма ). Их локальные дзета-функции вычисляются в терминах Суммы Якоби. Проблема Варинга самый классический случай.
Диофантово измерение
В Диофантово измерение поля - наименьшее натуральное число k, если оно существует, такое, что поле класса Ck: то есть такой, что любой однородный многочлен степени d в N переменные имеют нетривиальный ноль всякий раз, когда N > dk. Алгебраически замкнутые поля имеют диофантову размерность 0; квазиалгебраически замкнутые поля размерности 1.[11]
Дискриминант точки
В дискриминант точки относится к двум связанным понятиям относительно точки п на алгебраическом многообразии V определяется над числовым полем K: the геометрический (логарифмический) дискриминант[12] d(п) и арифметический дискриминант, определенная Войтой.[13] Разницу между ними можно сравнить с разницей между арифметический род из особая кривая и геометрический род из десингуляризация.[13] Арифметический род больше, чем геометрический род, и высота точки может быть ограничена в терминах арифметического рода. Получение аналогичных оценок с участием геометрического рода имело бы серьезные последствия.[13]
Метод Дворка
Бернард Дворк использовали отличительные методы p-адический анализ, p-адическая алгебраические дифференциальные уравнения, Кошульские комплексы и другие методы, которые не были полностью включены в общие теории, такие как кристаллические когомологии. Он первым доказал рациональность локальных дзета-функций, начальное продвижение в направлении Гипотезы Вейля.

E

Этальные когомологии
Поиск когомологий Вейля (q.v.) был по крайней мере частично выполнен в этальные когомологии теория Александр Гротендик и Майкл Артин. Это послужило доказательством функциональное уравнение для локальные дзета-функции, и был основным в формулировке гипотезы Тейта (см.) и многих других теорий.

F

Высота опалубки
В Высота опалубки эллиптической кривой или абелевого многообразия, определенного над числовым полем, является мерой его сложности, введенной Опалубки в его доказательстве Гипотеза Морделла.[14][15]
Последняя теорема Ферма
Последняя теорема Ферма, самая известная гипотеза диофантовой геометрии, была доказана Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор.
Плоские когомологии
Плоские когомологии для школы Гротендика является конечной точкой развития. Его недостаток состоит в том, что его довольно сложно вычислить. Причина, по которой плоская топология считается «правильным» основополагающим топос за теория схем восходит к факту точно ровный спуск, открытие Гротендика, что представимые функторы пучки для него (т.е. очень общий аксиома склейки держит).
Аналогия функционального поля
В девятнадцатом веке стало ясно, что кольцо целых чисел числового поля имеет аналогии с аффинным координатное кольцо алгебраической кривой или компактной римановой поверхности с удаленной точкой или более, соответствующими «бесконечным местам» числового поля. Эта идея более точно закодирована в теории, что глобальные поля ко всем следует относиться на одинаковой основе. Идея идет дальше. Таким образом эллиптические поверхности над комплексными числами также имеют довольно строгие аналогии с эллиптические кривые над числовыми полями.

грамм

Геометрическая теория поля классов
Расширение теория поля классов -стиль результаты на абелевы покрытия к разновидностям размерности не менее двух часто называют геометрический теория поля классов.
Хорошая редукция
Основополагающий для локальный анализ в арифметических задачах заключается в уменьшать по модулю все простые числа п или, в более общем смысле, главные идеалы. В типичной ситуации это представляет небольшие трудности для почти все п; Например знаменатели дробей сложны, так как сокращение по модулю простого числа в знаменателе выглядит как деление на ноль, но это исключает только конечное число п за фракцию. Немного изысканности, однородные координаты разрешить очистку знаменателей путем умножения на общий скаляр. Для данной единственной точки это можно сделать, не оставляя общего фактора п. тем не мение теория сингулярности входит: а неособый точка может стать особая точка по модулю приведения п, поскольку Касательное пространство Зарисского может стать больше, когда линейные члены уменьшаются до 0 (геометрическая формулировка показывает, что это не ошибка одного набора координат). Хорошая редукция относится к сокращенной разновидности, имеющей те же свойства, что и исходный, например, алгебраическая кривая имея то же самое род, или гладкий сорт остающийся гладким. В общем будет конечное множество S простых чисел для данного сорта V, предполагается гладким, так что иначе существует гладкая приведенная Vп над Z/пZ. За абелевы разновидности, хорошее сокращение связано с разветвление в области точки деления посредством Критерий Нерона – Огга – Шафаревича.. Теория тонкая в том смысле, что свобода изменять переменные, чтобы попытаться улучшить ситуацию, довольно неочевидна: см. Модель Нерона, потенциально хорошее сокращение, Кривая Тейт, полустабильное абелево многообразие, полустабильная эллиптическая кривая, Теорема Серра – Тейта.[16]
Гипотеза Гротендика – Каца
В Гипотеза Гротендика – Каца о p-кривизне применяет сокращение по модулю простых чисел к алгебраические дифференциальные уравнения, чтобы получить информацию о алгебраическая функция решения. Это открытая проблема по состоянию на 2016 год.. Первоначальный результат этого типа был Теорема Эйзенштейна.

ЧАС

Принцип Хассе
В Принцип Хассе утверждает, что растворимость глобальное поле такая же, как растворимость во всех соответствующих местные поля. Одна из основных целей диофантовой геометрии - классифицировать случаи, когда выполняется принцип Хассе. Обычно это относится к большому количеству переменных, когда степень уравнения остается фиксированной. Принцип Хассе часто ассоциируется с успехом Метод круга Харди – Литтлвуда. Когда метод круга работает, он может предоставить дополнительную количественную информацию, такую ​​как асимптотическое число решений. Уменьшение количества переменных усложняет метод круга; поэтому неудачи принципа Хассе, например, для кубические формы в небольшом количестве переменных (и в частности для эллиптические кривые в качестве кубические кривые ) на общем уровне связаны с ограничениями аналитического подхода.
L-функция Хассе – Вейля
А L-функция Хассе – Вейля, иногда называемый Глобальный L-функция, является Произведение Эйлера формируется из локальных дзета-функций. Свойства таких L-функции остаются в основном в области гипотез, с доказательством Гипотеза Таниямы – Шимуры являясь прорывом. В Философия Ленглендса во многом дополняет теорию глобальных L-функций.
Функция высоты
А функция высоты в диофантовой геометрии количественно определяет размер решений диофантовых уравнений.[17]
Гильбертианские поля
А Гильбертово поле K тот, для которого проективные пространства над K не тонкие наборы в смысле Жан-Пьер Серр. Это геометрический подход Теорема Гильберта о неприводимости который показывает, что рациональные числа являются гильбертовскими. Результаты применяются к обратная задача Галуа. Тонкие наборы (французское слово фарш) в некотором смысле аналогичны скудные наборы (Французский Maigre) из Теорема Бэра о категории.

я

Игуса дзета-функция
An Игуса дзета-функция, названный в честь Дзюн-ичи Игуса, это производящая функция подсчет количества точек на алгебраическом многообразии по модулю высоких степеней пп фиксированного простого числа п. Общий теоремы о рациональности теперь известны, опираясь на методы математическая логика.[18]
Бесконечный спуск
Бесконечный спуск был Пьер де Ферма классический метод для диофантовых уравнений. Это стало одной из половин стандартного доказательства теоремы Морделла – Вейля, а другая была аргументом с функциями высоты (см.). Спуск - это что-то вроде деления на двоих в группе главные однородные пространства (часто называемые «спусками», когда записываются уравнениями); в более современных терминах в Когомологии Галуа группа, конечность которой необходимо доказать. Видеть Группа Сельмера.
Теория Ивасавы
Теория Ивасавы строится из аналитическая теория чисел и Теорема Штикельбергера как теория идеальные группы классов в качестве Модули Галуа и p-адические L-функции (с корнями в Куммер конгруэнтность на Числа Бернулли ). В первые годы своего существования в конце 1960-х он назывался Ивасавы аналог якобиана. Аналогия была с Якобиева многообразие J кривой C над конечным полем F (как Многообразие Пикара), где конечное поле имеет корни единства добавлено, чтобы сделать конечные расширения поля F′ Локальная дзета-функция (q.v.) C можно восстановить с точек J(F′) Как модуль Галуа. Таким же образом Ивасава добавил пп-степенные корни из единицы для фиксированных п и с п → ∞, для его аналога, в числовое поле K, и считал обратный предел групп классов, находя п-адическая L-функция, ранее введенная Куботой и Леопольдтом.

K

K-теория
Алгебраическая K-теория это, с одной стороны, довольно общая теория с абстрактная алгебра аромат, и, с другой стороны, вовлечен в некоторые формулировки арифметических предположений. См. Например Гипотеза Берча – Тейта, Гипотеза Лихтенбаума.

L

Гипотеза Лэнга
Энрико Бомбьери (размер 2), Серж Ланг и Пол Войта (случай целых точек) и Петр Бласс предположили, что алгебраические многообразия общий тип нет Зариски плотный подмножества K-рациональные точки, для K конечно порожденное поле. Этот круг идей включает понимание аналитическая гиперболичность и гипотезы Лэнга об этом, и гипотезы Войты. An аналитически гиперболическое алгебраическое многообразие V над комплексными числами такой, что нет голоморфное отображение от всего комплексная плоскость ему существует, что не постоянно. Примеры включают компактные римановы поверхности рода грамм > 1. Ланг предположил, что V аналитически гиперболично тогда и только тогда, когда все подмногообразия общего типа.[19]
Линейный тор
А линейный тор является геометрически неприводимой замкнутой по Зарискому подгруппой аффинного тора (произведения мультипликативных групп).[20]
Локальная дзета-функция
А локальная дзета-функция это производящая функция для количества точек на алгебраическом многообразии V через конечное поле F, над конечным расширения полей из F. Согласно гипотезам Вейля (q.v.) эти функции для неособый сорта, проявляют свойства, близкие к Дзета-функция Римана, в том числе Гипотеза Римана.

M

Гипотеза Манина – Мамфорда
В Гипотеза Манина – Мамфорда, теперь доказано Мишель Рейно, утверждает, что кривая C в его Якобиева многообразие J может содержать только конечное число точек конечного порядка в J, пока не C = J.[21][22]
Гипотеза Морделла
В Гипотеза Морделла сейчас Теорема Фальтингса, и утверждает, что кривая рода не меньше двух имеет только конечное число рациональных точек. В Гипотеза однородности утверждает, что должна быть единообразная оценка количества таких точек, зависящая только от рода и области определения.
Гипотеза Морделла – Лэнга
Гипотеза Морделла – Лэнга, теперь доказанная Герд Фальтингс, представляет собой набор гипотез Сержа Ланга, объединяющий гипотезу Морделла и Гипотеза Манина – Мамфорда в абелева разновидность или же полуабелева разновидность.[23][24]
Теорема Морделла – Вейля.
В Теорема Морделла – Вейля. является основополагающим результатом, утверждающим, что для абелевого многообразия А над числовым полем K группа А(K) это конечно порожденная абелева группа. Первоначально это было доказано для числовых полей. K, но распространяется на все конечно порожденные поля.
Морделлическая разновидность
А Морделлическая разновидность является алгебраическим многообразием, которое имеет только конечное число точек в любом конечно порожденном поле.[25]

N

Наивная высота
В наивная высота или классическая высота вектора рациональных чисел - это максимальное абсолютное значение вектора взаимно простых целых чисел, полученное умножением на наименьший общий знаменатель. Это может быть использовано для определения высоты точки в проективном пространстве над Q, или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, от высоты его минимального многочлена.[26]
Символ Нерона
В Символ Нерона является бимультипликативным спариванием делителей и алгебраические циклы на Абелева разновидность в формулировке Нерона Высота Нерона – Тейта в виде суммы местных взносов.[27][28][29] Глобальный символ Нерона, который представляет собой сумму локальных символов, является просто отрицательной величиной пары высот.[30]
Высота Нерона – Тейта
В Высота Нерона – Тейта (также часто называют каноническая высота ) на абелева разновидность А является функцией высоты (q.v.), которая по существу является внутренней, и точная квадратичная форма, а не приблизительно квадратичный относительно сложения на А как предусмотрено общей теорией высот. Его можно определить с общей высоты ограничивающим процессом; есть также формулы в том смысле, что это сумма местных вкладов.[30]
Инвариант Неванлинны
В Инвариант Неванлинны из обильный делитель D на нормальный проективное разнообразие Икс - действительное число, которое описывает скорость роста числа рациональных точек на многообразии относительно вложения, определяемого дивизором.[31] Он имеет формальные свойства, аналогичные абсциссе сходимости дзета-функция высоты и предполагается, что они по существу одинаковы.[32]

О

Обычное сокращение
Абелева разновидность А измерения d имеет обычное сокращение в расцвете сил п если у него есть хорошее сокращение в п и вдобавок п-кручение имеет звание d.[33]

Q

Квазиалгебраическое замыкание
Тема квазиалгебраическое замыкание, т. е. разрешимость, гарантируемая множеством переменных, полиномиальных от степени уравнения, выросла из исследований Группа Брауэра и Теорема Шевалле – Предупреждение. Он остановился перед лицом контрпримеры; но смотри Теорема Акс-Кохена из математическая логика.

р

Снижение по модулю простое число или идеал
Видеть хорошее сокращение.
Полный идеал
А полный идеал в числовом поле K является формальным продуктом дробный идеал из K и вектор положительных действительных чисел с компонентами, индексированными бесконечными местами K.[34] А полный делитель является Делитель Аракелова.[4]

S

Гипотеза Сато – Тэйта
В Гипотеза Сато – Тэйта описывает распределение Элементы Фробениуса в Модули Тейт из эллиптические кривые над конечные поля полученный при приведении данной эллиптической кривой к рациональным числам. Микио Сато и, независимо, Джон Тейт[35] предложил его примерно в 1960 году. Это прототип для Представления Галуа в целом.
Метод Сколема
Видеть Метод Чаботи.
Специальный набор
В специальный набор в алгебраическом многообразии - это подмножество, в котором можно ожидать найти много рациональных точек. Точное определение зависит от контекста. Одно определение - это Зариски закрытие объединения образов алгебраических групп при нетривиальных рациональных отображениях; в качестве альтернативы можно делать изображения абелевых разновидностей;[36] другое определение - это объединение всех подмногообразий, не относящихся к общему типу.[19] Для абелевых многообразий определение было бы объединением всех транслятов собственных абелевых подмногообразий.[37] Для сложной разновидности голоморфное специальное множество является замыканием Зариского образов всех непостоянных голоморфных отображений из C. Лэнг предположил, что аналитическое и алгебраическое специальные множества равны.[38]
Теорема о подпространстве
Шмидта теорема о подпространстве показывает, что точки малой высоты в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей. Количественная форма теоремы, в которой количество подпространств, содержащих все решения, также была получена Шмидтом, а теорема была обобщена Шликвеем (1977), чтобы позволить более общие абсолютные значения на числовые поля. Теорема может быть использована для получения результатов о Диофантовы уравнения Такие как Теорема Зигеля о целых точках и решение Уравнение S-единицы.[39]

Т

Числа тамагава
Прямая Число тамагава определение хорошо работает только для линейные алгебраические группы. Там Гипотеза Вейля о числах Тамагавы в итоге было доказано. Для абелевых многообразий и, в частности, гипотезы Берча – Суиннертона-Дайера (q.v.), числовой подход Тамагавы к локально-глобальный принцип терпит неудачу при прямой попытке, хотя на протяжении многих лет имеет эвристическую ценность. Теперь сложный гипотеза эквивариантного числа Тамагавы это основная исследовательская проблема.
Гипотеза Тейта
В Гипотеза Тейта (Джон Тейт, 1963) предоставил аналог Гипотеза Ходжа, также на алгебраические циклы, но вполне в пределах арифметической геометрии. Это также дало, для эллиптические поверхности, аналог гипотезы Берча – Суиннертона-Дайера (см.), быстро приводящий к прояснению последней и признанию ее важности.
Кривая Тейт
В Кривая Тейт особая эллиптическая кривая над p-адические числа введен Джоном Тейтом для изучения плохой редукции (см. хорошее сокращение).
Цен ранг
В Цен ранг поля, названного в честь К. К. Цен которые представили свое исследование в 1936 году,[40] это наименьшее натуральное число я, если оно существует, такое, что поле имеет класс Tя: то есть такая, что любая система многочленов без постоянного члена степени dj в п переменные имеют нетривиальный ноль всякий раз, когда п > ∑ djя. Алгебраически замкнутые поля имеют нулевой ценовой ранг. Ранг Цен больше или равен Диофантово измерение но неизвестно, равны ли они, за исключением случая нулевого ранга.[41]

U

Гипотеза однородности
В гипотеза однородности утверждает, что для любого числового поля K и грамм > 2 существует равномерная оценка B(грамм,K) от количества K-рациональные точки на любой кривой рода грамм. Гипотеза вытекает из Гипотеза Бомбьери – Ланга.[42]
Маловероятное пересечение
An маловероятное пересечение является алгебраической подгруппой, пересекающей подмногообразие тора или абелевого многообразия в множестве необычайно большой размерности, например, участвующей в Гипотеза Морделла – Лэнга.[43]

V

Гипотеза Войты
В Гипотеза Войты представляет собой комплекс гипотез Пол Войта, проводя аналогии между Диофантово приближение и Теория Неванлинны.

W

Вес
В йога веса формулировка Александр Гротендик аналогий между Теория Ходжа и l-адические когомологии.[44]
Когомологии Вейля
Первоначальная идея, позже несколько измененная, для доказательства гипотез Вейля (q.v.) заключалась в построении теория когомологий применительно к алгебраическим многообразиям над конечные поля это было бы так же хорошо, как особые гомологии при обнаружении топологической структуры и иметь Отображения Фробениуса действуя таким образом, что Теорема Лефшеца о неподвижной точке может применяться к подсчету в локальные дзета-функции. Для более поздней истории см. мотив (алгебраическая геометрия), мотивационные когомологии.
Гипотезы Вейля
В Гипотезы Вейля были три очень влиятельные гипотезы Андре Вайль, обнародованная примерно в 1949 г., о местных дзета-функциях. Доказательство было завершено в 1973 году. После доказательства остаются расширения Теорема Шевалле – Предупреждение конгруэнтность, которая исходит из элементарного метода, и улучшения оценок Вейля, например более точные оценки кривых числа точек, чем исходят из основной теоремы Вейля 1940 года. Последняя оказывается интересной для Коды гоппы.
Распределения Вейля на алгебраических многообразиях
Андре Вейль предложил теорию в 1920-1930-х гг. главный идеал разложение алгебраических чисел по координатам точек на алгебраических многообразиях. Он остался несколько недоработанным.
Функция Вейля
А Функция Вейля на алгебраическом многообразии - это действительная функция, определенная на некотором Делитель Картье что обобщает понятие Функция Грина в Теория аракелова.[45] Они используются при построении локальных компонентов Высота Нерона – Тейта.[46]
Высота машины Weil
В Высота машины Weil эффективная процедура для присвоения функции высоты любому дивизору на гладком проективном многообразии над числовым полем (или Делители Картье на негладких многообразиях).[47]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Арифметическая геометрия в nLab
  2. ^ Сазерленд, Эндрю В. (5 сентября 2013 г.). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF). Получено 22 марта 2019. Cite имеет пустой неизвестный параметр: |1= (помощь)
  3. ^ а б Скуф, Рене (2008). «Вычисление групп классов Аракелова». В Buhler, J.P .; П., Стивенхаген (ред.). Алгоритмическая теория чисел: решетки, числовые поля, кривые и криптография. Публикации ИИГС. 44. Издательство Кембриджского университета. С. 447–495. ISBN  978-0-521-20833-8. МИСТЕР  2467554. Zbl  1188.11076.
  4. ^ а б Нойкирх (1999) с.189
  5. ^ Лэнг (1988), стр.74–75
  6. ^ van der Geer, G .; Шуф Р. (2000). «Эффективность делителей Аракелова и тэта-делителя числового поля». Selecta Mathematica, Новая серия. 6 (4): 377–398. arXiv:математика / 9802121. Дои:10.1007 / PL00001393. Zbl  1030.11063.
  7. ^ Бомбиери и Гублер (2006), стр. 66–67.
  8. ^ Лэнг (1988), стр. 156–157
  9. ^ Лэнг (1997), стр.91–96
  10. ^ Коутс, Дж.; Уайлс, А. (1977). «О гипотезе Берча и Суиннертон-Дайера». Inventiones Mathematicae. 39 (3): 223–251. Bibcode:1977InMat..39..223C. Дои:10.1007 / BF01402975. Zbl  0359.14009.
  11. ^ Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 361. ISBN  3-540-37888-X.
  12. ^ Ланг (1997) с.146
  13. ^ а б c Ланг (1997) стр.171
  14. ^ Фальтингс, Герд (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae. 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. Дои:10.1007 / BF01388432.
  15. ^ Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-96311-1. → Содержит английский перевод Faltings (1983)
  16. ^ Серр, Жан-Пьер; Тейт, Джон (Ноябрь 1968 г.). «Хорошая редукция абелевых разновидностей». Анналы математики. Второй. 88 (3): 492–517. Дои:10.2307/1970722. JSTOR  1970722. Zbl  0172.46101.
  17. ^ Lang  (1997 )
  18. ^ Игуса, Джун-Ичи (1974). «Комплексные степени и асимптотические разложения. I. Функции некоторых типов». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1974 (268–269): 110–130. Дои:10.1515 / crll.1974.268-269.110. Zbl  0287.43007.
  19. ^ а б Хиндри и Сильверман (2000), стр.479.
  20. ^ Bombieri & Gubler (2006), стр. 82–93.
  21. ^ Рейно, Мишель (1983). "Sous-varétés d'une varété abélienne et points de torsion". В Артин, Майкл; Тейт, Джон (ред.). Арифметика и геометрия. Материалы, посвященные И. Р. Шафаревичу к шестидесятилетию со дня рождения. Vol. I: арифметика. Успехи в математике (на французском языке). 35. Бирхаузер-Бостон. С. 327–352. Zbl  0581.14031.
  22. ^ Ресслер, Дамиан (2005). «Заметка о гипотезе Манина – Мамфорда». У ван дер Гира, Жерар; Мунен, Бен; Скуф, Рене (ред.). Числовые поля и функциональные поля - два параллельных мира. Успехи в математике. 239. Birkhäuser. С. 311–318. ISBN  0-8176-4397-4. Zbl  1098.14030.
  23. ^ Марсия, Анналиса; Тоффалори, Карло (2003). Руководство по классической и современной теории моделей. Тенденции в логике. 19. Springer-Verlag. С. 305–306. ISBN  1402013302.
  24. ^ 2-страничное изложение гипотезы Морделла – Лэнга, Б. Мазур, 3 ноября 2005 г.
  25. ^ Лэнг (1997) стр.15
  26. ^ Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия. Новые математические монографии. 9. Издательство Кембриджского университета. п. 3. ISBN  978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004.
  27. ^ Бомбиери и Гублер (2006), стр.301–314
  28. ^ Лэнг (1988), стр. 66–69
  29. ^ Лэнг (1997) стр.212
  30. ^ а б Лэнг (1988) стр.77
  31. ^ Хиндри и Сильверман (2000) с.488
  32. ^ Батырев, В.В .; Манин, Ю.И. (1990). «О числе рациональных точек ограниченной высоты на алгебраических многообразиях». Математика. Анна. 286: 27–43. Дои:10.1007 / bf01453564. Zbl  0679.14008.
  33. ^ Лэнг (1997), стр. 161–162
  34. ^ Нойкирх (1999) с.185
  35. ^ Это упоминается в Дж. Тейт, Алгебраические циклы и полюсы дзета-функций в томе (О. Ф. Шиллинг, редактор), Арифметическая алгебраическая геометрия, страницы 93–110 (1965).
  36. ^ Ланг (1997) стр.17–23
  37. ^ Хиндри и Сильверман (2000), с.480
  38. ^ Ланг (1997) стр.179
  39. ^ Бомбиери и Гублер (2006), стр.176–230
  40. ^ Цен, К. (1936). "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper". J. Chinese Math. Soc. 171: 81–92. Zbl  0015.38803.
  41. ^ Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы. Springer. С. 109–126. ISBN  978-0-387-72487-4.
  42. ^ Капорасо, Лючия; Харрис, Джо; Мазур, Барри (1997). «Единообразие рациональных точек». Журнал Американского математического общества. 10 (1): 1–35. Дои:10.2307/2152901. Zbl  0872.14017.
  43. ^ Заньер, Умберто (2012). Некоторые проблемы маловероятных пересечений в арифметике и геометрии. Анналы математических исследований. 181. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-15371-1.
  44. ^ Пьер Делинь, Poids dans la cohomologie des varétés algébriques, Actes ICM, Ванкувер, 1974, 79–85.
  45. ^ Лэнг (1988), стр. 1–9
  46. ^ Лэнг (1997), стр.164, 212
  47. ^ Хиндри и Сильверман (2000) 184–185

дальнейшее чтение