Мотивная когомология - Motivic cohomology

Мотивная когомология инвариант алгебраические многообразия и более общих схемы. Он включает Кольцо для чау-чау алгебраических циклов как частный случай. Некоторые из самых глубоких проблем в алгебраическая геометрия и теория чисел попытки понять мотивационные когомологии.

Мотивные гомологии и когомологии

Позволять Икс быть схемой конечный тип через поле k. Ключевая цель алгебраической геометрии - вычислить Группы чау из Икс, потому что они дают сильную информацию обо всех подмножествах Икс. Группы чау Икс обладают некоторыми формальными свойствами Гомологии Бореля – Мура в топологии, но кое-чего не хватает. Например, для закрытой подсхемы Z из Икс, существует точная последовательность групп чау, последовательность локализации

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

тогда как в топологии это было бы частью длинная точная последовательность.

Эта проблема была решена путем обобщения групп Чоу до большой семьи групп, Группы мотивационных гомологий (Бореля – Мура) (которые впервые были названы высшие группы чау к Блох ).^[1] А именно для каждой схемы Икс конечного типа над полем k и целые числа я и j, у нас есть абелева группа ЧАС_я(Икс,Z(j)), причем обычная группа Чжоу является частным случаем

${\displaystyle CH_{i}(X)\cong H_{2i}(X,\mathbf {Z} (i)).}$

Для закрытой подсхемы Z схемы Икс, существует длинная точная последовательность локализации для групп мотивных гомологий, заканчивающаяся последовательностью локализации для групп Чжоу:

${\displaystyle \cdots \rightarrow H_{2i+1}(X-Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(X,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(X-Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow 0.}$

Фактически, это одна из четырех теорий, построенных Воеводский: мотивные когомологии, мотивные когомологии с компактным носителем, мотивные гомологии Бореля-Мура (см. выше) и мотивные гомологии с компактным носителем.^[2] Эти теории обладают многими формальными свойствами соответствующих теорий топологии. Например, мотивационные когомологии группы ЧАС^я(ИКС,Z(j)) образуют бигрейдный звенеть для каждой схемы Икс конечного типа над полем. Когда Икс является гладкий измерения п над k, Существует Двойственность Пуанкаре изоморфизм

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} (j))\cong H_{2n-i}(X,\mathbf {Z} (n-j)).}$

В частности, группа Чау CH^я(Икс) коразмерности-я циклы изоморфны ЧАС^2я(Икс,Z(я)) когда Икс сглаживается k.

Мотивная когомология ЧАС^я(Икс, Z(j)) гладкой схемы Икс над k это когомология из Икс в Топология Зарисского с коэффициентами в определенном сложный из снопы Z(j) на Икс. (Некоторые свойства легче доказать с помощью Топология Нисневича, но это дает те же группы мотивационных когомологий.^[3]) Например, Z(j) равен нулю для j < 0, Z(0) - постоянный пучок Z, и Z(1) изоморфна в производная категория из Икс к грамм_м[−1].^[4] Здесь грамм_м (в мультипликативная группа ) обозначает пучок обратимых регулярные функции, а сдвиг [−1] означает, что этот пучок рассматривается как комплекс степени 1.

Четыре версии мотивных гомологий и когомологий могут быть определены с коэффициентами в любой абелевой группе. Теории с разными коэффициентами связаны между собой соотношением теорема об универсальном коэффициенте, как в топологии.

Отношение к K-теории

Блох, Лихтенбаум, Фридлендер, Суслин, и Левин, есть спектральная последовательность от мотивационных когомологий к алгебраическая K-теория для каждой плавной схемы Икс над полем, аналогично Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха в топологии:

${\displaystyle E_{2}^{pq}=H^{p}(X,\mathbf {Z} (-q/2))\Rightarrow K_{-p-q}(X).}$

Как и в топологии, спектральная последовательность вырождается после натяжение с рациональным.^[5] Для произвольных схем конечного типа над полем (не обязательно гладких) существует аналогичная спектральная последовательность от мотивных гомологий к G-теории (K-теория когерентные пучки, скорее, чем векторные пакеты ).

Отношение к К-теории Милнора

Мотивные когомологии уже предоставляют богатый инвариант для полей. (Обратите внимание, что поле k определяет схему Spec (k), для которых определены мотивные когомологии.) Хотя мотивационные когомологии ЧАС^я(k, Z(j)) для полей k далеки от понимания в целом, есть описание, когда я = j:

${\displaystyle K_{j}^{M}(k)\cong H^{j}(k,\mathbf {Z} (j)),}$

куда K_j^M(k) это jth Милнор К-групп из k.^[6] Поскольку K-теория Милнора поля явно определяется образующими и соотношениями, это полезное описание одной части мотивационных когомологий поля k.

Карта этальных когомологий

Позволять Икс - гладкая схема над полем k, и разреши м - натуральное число, обратимое в k. Тогда существует естественный гомоморфизм ( карта цикла) от мотивационных когомологий к этальные когомологии:

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j)),}$

куда Z/м(j) справа означает этальный пучок (μ_м)^⊗j, причем μ_м будучи мкорни единства. Это обобщает карта цикла от кольца Чжоу гладкого многообразия к этальным когомологиям.

Частой целью алгебраической геометрии или теории чисел является вычисление мотивных когомологий, тогда как этальные когомологии часто легче понять. Например, если базовое поле k - комплексные числа, то этальные когомологии совпадают с особые когомологии (с конечными коэффициентами). Мощный результат, доказанный Воеводским, известный как Гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума, говорит, что многие группы мотивных когомологий на самом деле изоморфны группам этальных когомологий. Это следствие теорема об изоморфизме вычетов по норме. А именно, гипотеза Бейлинсона-Лихтенбаума (теорема Воеводского) утверждает, что для гладкой схемы Икс над полем k и м натуральное число, обратимое в k, карта цикла

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))}$

является изоморфизмом для всех j ≥ я и инъективен для всех j ≥ я − 1.^[7]

Отношение к мотивам

Для любого поля k и коммутативное кольцо р, Воеводский определил р-линейный триангулированная категория называется производная категория мотивов над k с коэффициентами в р, DM (k; р). Каждая схема Икс над k определяет два объекта в DM, называемых мотив из Икс, M (Икс), а компактно подкрепленный мотив из Икс, М^c(Икс); эти два изоморфны, если Икс является правильный над k.

Один из основных моментов производной категории мотивов состоит в том, что все четыре типа мотивных гомологий и мотивных когомологий возникают как множества морфизмов в этой категории. Чтобы описать это, сначала обратите внимание, что есть Мотивы Тейт р(j) в DM (k; р) для всех целых чисел j, такое, что мотив проективного пространства является прямой суммой мотивов Тейта:

${\displaystyle M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j],}$

куда M ↦ M[1] обозначает сдвиг или «функтор трансляции» в триангулированной категории DM (k; р). В этих терминах мотивационные когомологии (например) задаются

${\displaystyle H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])}$

для каждой схемы Икс конечного типа над k.

Когда коэффициенты р являются рациональными числами, современная версия гипотезы Бейлинсон предсказывает, что подкатегория компактных объектов в DM (k; Q) эквивалентна ограниченной производной категории абелева категория ММ (k), категория смешанные мотивы над k. В частности, из гипотезы следует, что группы мотивационных когомологий можно отождествить с Внешние группы в разряде смешанных мотивов.^[8] Это далеко не известно. Конкретно, из предположения Бейлинсона следует, что Бейлинсон-Soulé догадка который ЧАС^я(ИКС,Q(j)) равен нулю при я <0, что известно лишь в единичных случаях.

Наоборот, вариант гипотезы Бейлинсона-Суле вместе с гипотезой Гротендика стандартные догадки и предположения Мюрра о мотивах Чжоу, подразумевали существование абелевой категории ММ(k) как сердце т-структура на DM(k; Q).^[9] Чтобы идентифицировать группы Ext в ММ(k) с мотивными когомологиями.

За k Подполе комплексных чисел, кандидат в абелеву категорию смешанных мотивов был определен Нори.^[10] Если категория ММ(k) с ожидаемыми свойствами существует (в частности, функтор реализации Бетти из ММ(k) к Q-векторные пространства верный ), то она должна быть эквивалентна категории Нори.

Значения L-функций

Позволять Икс - гладкое проективное многообразие над числовым полем. Гипотеза Блоха-Като о значения L-функций предсказывает, что порядок обращения в нуль L-функции Икс в целой точке равен рангу подходящей группы мотивационных когомологий. Это одна из центральных проблем теории чисел, основанная на более ранних предположениях Делиня и Бейлинсона. В Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера это особый случай. Точнее, гипотеза предсказывает старший коэффициент L-функции в целой точке через регуляторы и рост пары о мотивационных когомологиях.

История

Первым явным признаком возможного обобщения групп Чжоу до более общей теории мотивационных когомологий для алгебраических многообразий был Quillen определение и развитие алгебраическая K-теория (1973), обобщая Группа Гротендик K₀ векторных расслоений. В начале 1980-х Бейлинсон и Суле заметили, что Операции Адамса дал расщепление алгебраической K-теории с учетом рациональных чисел; теперь слагаемые называются мотивационными когомологиями (с рациональными коэффициентами). Бейлинсон и Лихтенбаум сделали важные предположения, предсказывая существование и свойства мотивационных когомологий. Большинство, но не все их предположения теперь подтверждены.

Определение Блоха высших групп Чжоу (1986) было первым интегральным (в отличие от рационального) определением мотивных гомологий для схем над полем. k (а значит, и мотивационные когомологии в случае гладких схем). Определение высших групп Чжоу Икс является естественным обобщением определения групп Чжоу, включающим алгебраические циклы на произведении Икс с аффинным пространством, которые встречаются с набором гиперплоскостей (рассматриваемых как грани симплекс ) в ожидаемом измерении.

Наконец, Воеводский (опираясь на свою работу с Суслиным) определил четыре типа мотивационной гомологии и мотивационной когомологии в 2000 году, а также производную категорию мотивов. Связанные категории также были определены Ханамурой и Левином.

Примечания

1. Блох, алгебраические циклы и высшие K-группы; Воеводский, Триангулированные категории мотивов над полем, раздел 2.2 и предложение 4.2.9.
2. Воеводский, Триангулированные категории мотивов над полем, раздел 2.2.
3. Мацца, Воеводский, Вейбель, Конспект лекций по мотивационным когомологиям, пример 13.11.
4. Мацца, Воеводский, Вейбель, Конспект лекций по мотивационным когомологиям, теорема 4.1.
5. Левин, K-теория и мотивационные когомологии схем I, ур. (2.9) и теорема 14.7.
6. Мацца, Воеводский, Вейбель, Конспект лекций по мотивационным когомологиям, теорема 5.1.
7. Воеводский, О мотивационных когомологиях с Z/л коэффициенты, теорема 6.17.
8. Яннсен, Мотивные пучки и фильтрации на группах Чжоу, Гипотеза 4.1.
9. Ханамура, Смешанные мотивы и алгебраические циклы III, Теорема 3.4.
10. Нори, Лекции в TIFR; Хубер и Мюллер-Стах, О связи между мотивами Нори и периодами Концевича.

Рекомендации

• Блох, Спенсер (1986), «Алгебраические циклы и выше. K-теория », Успехи в математике, 61 (3): 267~304, Дои:10.1016/0001-8708(86)90081-2, ISSN  0001-8708, МИСТЕР  0852815
• Ханамура, Масаки (1999), «Смешанные мотивы и алгебраические циклы III», Письма о математических исследованиях, 6: 61–82, Дои:10.4310 / MRL.1999.v6.n1.a5, МИСТЕР  1682709
• Яннсен, Уве (1994), "Мотивные пучки и фильтрации на группах Чжоу", Мотивы, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 245–302, ISBN  978-0-8218-1637-0, МИСТЕР  1265533
• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир; Вейбель, Чарльз (2006), Конспект лекций по мотивационным когомологиям, Монографии по математике из глины, 2, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3847-1, МИСТЕР  2242284
• Воеводский, Владимир (2000), «Триангулированные категории мотивов над полем», Циклы, трансферы и теории мотивационных гомологий, Princeton University Press, стр. 188–238, ISBN  9781400837120, МИСТЕР  1764202
• Воеводский, Владимир (2011), «О мотивационных когомологиях с Z/л коэффициенты », Анналы математики: 401–438, arXiv:0805.4430, Дои:10.4007 / летопись.2011.174.1.11, МИСТЕР  2811603

Смотрите также

• Presheaf с трансферами

внешняя ссылка

• Хубер, Аннет; Мюллер-Стах, Стефан, О соотношении мотивов Нори и периодов Концевича, arXiv:1105.0865, Bibcode:2011arXiv1105.0865H
• Левин, Марк, K-теория и мотивационные когомологии схем I (PDF)
• Нори, Мадхав, Лекции в TIFR