Топология Нисневича - Nisnevich topology

В алгебраическая геометрия, то Топология Нисневича, иногда называемый полностью разложенная топология, это Топология Гротендика по категории схемы который использовался в алгебраическая K-теория, Все теории гомотопии, и теория мотивы. Первоначально он был введен Евсеем Нисневичем, который руководствовался теорией Адель.

Определение

Морфизм схем ж : Y → Икс называется Морфизм Нисневича если это этальный морфизм такое, что для каждой (возможно, незамкнутой) точки Икс ∈ Икс, существует точка у ∈ Y в волокне ж⁻¹(Икс) такое, что индуцированное отображение поля остатков k(Икс) → k(у) является изоморфизмом. Эквивалентно ж должен быть плоским, неразветвленным, локально конечного представления и для каждой точки Икс ∈ Икс, должна существовать точка у в волокне ж⁻¹(Икс) такой, что k(Икс) → k(у) является изоморфизмом.

Семейство морфизмов {ты_α : Икс_α → Икс} это Обложка Нисневича если каждый морфизм в семействе этален и для каждой (возможно, незамкнутой) точки Икс ∈ Икс, Существует α и точка у ∈ Икс_α s.t. ты_α(у) = Икс и индуцированное отображение поля остатков k(Икс) → k(у) является изоморфизмом. Если семейство конечно, это эквивалентно морфизму ${displaystyle coprod u_{alpha }}$ из ${displaystyle coprod X_{alpha }}$ к Икс являясь морфизмом Нисневича. Покрытия Нисневича - это накрывающие семейства претопологии категории схем и морфизмов схем. Это создает топологию, называемую Топология Нисневича. Обозначена категория схем с топологией Нисневича. Ниш.

В небольшой город Нисневича Икс имеет в качестве базовой категории такую ​​же, как и небольшой эталонный сайт, то есть объекты - это схемы U с фиксированным этальным морфизмом U → Икс а морфизмы - это морфизмы схем, совместимые с фиксированными отображениями в Икс. Допустимые покрытия - морфизмы Нисневича.

В большой Нисневич сайт Икс имеет в качестве основы схемы категорий с фиксированной картой для Икс и морфизмы морфизмы Икс-схемы. Топология задается морфизмами Нисневича.

Топология Нисневича имеет несколько вариантов, адаптированных для изучения особых многообразий. Покрытия в этих топологиях включают разрешение особенностей или более слабые формы разрешения.

• В топология cdh допускает собственные бирациональные морфизмы в качестве покрытий.
• В h топология допускает переделки Де Йонга в качестве покрытий.
• В l ′ топология допускает морфизмы, как в заключении теоремы Габбера о локальной униформизации.

Топологии cdh и l ′ несравнимы с топологиями этальная топология, а топология h тоньше этальной топологии.

Мотивация

Одна из ключевых мотиваций^[1] для введения топологии Нисневича в мотивные когомологии заключается в том, что открытая крышка Зарисского ${displaystyle pi :U o X}$ не дает разрешения пучков Зарисского^[2]

${displaystyle cdots o mathbf {Z} _{tr}(U imes _{X}U) o mathbf {Z} _{tr}(U) o mathbf {Z} _{tr}(X) o 0}$

куда

${displaystyle mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={ ext{Hom}}_{cor}(Z,Y)}$

- представимый функтор над категорией предпучков с трансферами. Для топологии Нисневича локальные кольца являются гензелевыми, а конечное покрытие гензелевского кольца задается произведением гензелевых колец, что показывает точность.

Локальные кольца в топологии Нисневича

Смотрите также: Гензельское кольцо

Если Икс это точка схемы Икс, то локальное кольцо Икс в топологии Нисневича является генселизация местного кольца Икс в топологии Зарисского.

Пример покрытия Нисневича

Рассмотрим эталонное покрытие, данное

${displaystyle { ext{Spec}}(mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t)) o { ext{Spec}}(mathbb {C} [t,t^{-1}])}$

Если мы посмотрим на ассоциированный морфизм полей вычетов для общей точки базы, мы увидим, что это расширение степени 2

${displaystyle mathbb {C} (t) o {frac {mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}}$

Отсюда следует, что эта этальная кавер-версия не Нисневича. Мы можем добавить этальный морфизм ${displaystyle mathbb {A} ^{1}-{0,1} o mathbb {A} ^{1}-{0}}$ получить покрытие Нисневича, поскольку существует изоморфизм точек для общей точки ${displaystyle mathbb {A} ^{1}-{0}}$.

Приложения

Нисневич ввел свою топологию, чтобы обеспечить когомологическую интерпретацию множества классов аффинной групповой схемы, которая изначально была определена в адельных терминах. Он использовал это, чтобы частично доказать гипотезу о Александр Гротендик и Жан-Пьер Серр который утверждает, что рационально тривиальный торсор при редуктивной групповой схеме над целочисленной регулярной нётеровой базовой схемой локально тривиальна в Топология Зарисского. Одно из ключевых свойств топологии Нисневича - наличие спуска спектральная последовательность. Позволять Икс - нётерова схема конечной размерности Крулля, и пусть грамм_п(Икс) - K-группы Квиллена категории когерентных пучков на Икс. Если ${displaystyle { ilde {G}}_{n}^{,{ ext{cd}}}(X)}$ является пучком этих групп относительно топологии Нисневича, существует сходящаяся спектральная последовательность

${displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{ ext{cd}},{ ilde {G}}_{q}^{,{ ext{cd}}})Rightarrow G_{q-p}(X)}$

за р ≥ 0, q ≥ 0, и р - д ≥ 0. Если ${displaystyle ell }$ - простое число, не равное характеристике Икс, то существует аналогичная сходящаяся спектральная последовательность для K-групп с коэффициентами в ${displaystyle mathbf {Z} /ell mathbf {Z} }$.

Топология Нисневича также нашла важные приложения в алгебраическая K-теория, Все теории гомотопии и теория мотивы.^[3][4]

Смотрите также

• Presheaf с трансферами
• Смешанные мотивы (математика)
• Все теории гомотопии
• Гензельское кольцо

Рекомендации

• Нисневич, Евсей А. (1989). «Полностью разложенная топология на схемах и связанных спектральных последовательностях спуска в алгебраической K-теории». В Дж. Ф. Джардин и В. П. Снайт (ред.). Алгебраическая K-теория: связи с геометрией и топологией. Труды Института перспективных исследований НАТО, проходившие в Лейк-Луизе, Альберта, 7–11 декабря 1987 г. Институты перспективных исследований НАТО, серия C: математические и физические науки, 279. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. С. 241–342., доступны на Сайт Нисневича

• Левин, Марк (2008), Теория мотивационной гомотопии (PDF)

Специфический

1. Блох, Спенсер. Лекции по алгебраическим циклам. Кембридж. стр. ix.
2. Конспект лекций по мотивационным когомологиям. пример 6.13, страницы 39-40.
3. Воеводский, Владимир. «Триангулированные категории мотивов над полем k» (PDF). Журнал K-Theory. Предложение 3.1.3.
4. «Топология Нисневича» (PDF). Архивировано 23 сентября 2017 года.