Все теории гомотопии - A¹ homotopy theory

В алгебраическая геометрия и алгебраическая топология, филиалы математика, $А 1$ теория гомотопии это способ применить методы алгебраической топологии, в частности гомотопия, к алгебраические многообразия и, в более общем плане, схемы. Теория связана с Фабьен Морель и Владимир Воеводский. Основная идея состоит в том, что должна быть возможность разработать чисто алгебраический подход к теории гомотопий, заменив единичный интервал $[0, 1]$ , которое не является алгебраическим многообразием, с аффинная линия $А 1$ , который. Теория требует значительного количества техники для создания, но имеет впечатляющие приложения, такие как построение Воеводским производная категория из смешанные мотивы и доказательство Милнор и Гипотезы Блоха-Като.

Строительство

$А 1$ теория гомотопии основана на категории, называемой $А 1$ гомотопическая категория. Это гомотопическая категория для некоторого закрытая категория модели строительство которого требует двух шагов.

Шаг 1

Большинство строительных работ для любых сайт $Т$ . Предположим, что сайт субканонический, и разреши $Шв (Т)$ - категория связок множеств на этом сайте. Эта категория слишком строгая, поэтому нам нужно ее расширить. Позволять $Δ$ быть категория симплекс, то есть категория, объектами которой являются множества

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

и морфизмы которых являются функциями, сохраняющими порядок. Мы позволяем $Δ op Шв (Т)$ обозначим категорию функторов $Δ op \to Шв (Т)$ . То есть, $Δ op Шв (Т)$ - категория симплициальных объектов на $Шв (Т)$ . Такой объект еще называют симплициальная связка на $Т$ . Категория всех симплициальных пучков на $Т$ это Гротендик топос.

А точка сайта $Т$ это геометрический морфизм $Икс * : Шв (Т) \to Набор$ , куда $Набор$ это категория множеств. Мы определим закрытую структуру модели на $Δ op Шв (Т)$ с точки зрения очков. Позволять ${ displaystyle f: { mathcal {X}} to { mathcal {Y}}}$ - морфизм симплициальных пучков. Мы говорим, что:

$ж$ это слабая эквивалентность если для любой точки $Икс$ из $Т$ , морфизм симплициальные множества ${ displaystyle x ^ {*} f: x ^ {*} { mathcal {X}} to x ^ {*} { mathcal {Y}}}$ является слабой эквивалентностью.
$ж$ это кофибрация если это мономорфизм.
$ж$ это расслоение если у него есть право подъема собственности относительно любого корасслоения, которое является слабой эквивалентностью.

Гомотопическая категория этой модельной структуры обозначается ${ Displaystyle { mathcal {H}} _ {s} (T)}$ .

Шаг 2

Эта структура модели не дает правильной категории гомотопии, потому что она не обращает внимания на объект единичного интервала. Назовите этот объект $я$ , и обозначим конечный объект $Т$ к $pt$ . Мы предполагаем, что $я$ идет с картой $μ : я \times я \to я$ и две карты $я 0, я 1 : pt \to я$ такой, что:

Если $п$ канонический морфизм $я \to пт$ , тогда

μ (я 0 \times 1 я) = μ (1 я \times я 0) = я 0 п .

μ (я 1 \times 1 я) = μ (1 я \times я 1) = 1 я .

Морфизм $я 0 ∐ я 1 : pt ∐ pt \to я$ является мономорфизмом.

Теперь локализуем теорию гомотопий относительно $я$ . Симплициальная связка ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ называется $я$ -local if для любого симплициального пучка ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ карта

{ displaystyle { text {Hom}} _ {{ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({ mathcal {Y}} times I, { mathcal {X}}) to { text {Hom}} _ {{ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({ mathcal {Y}}, { mathcal {X}})}

индуцированный $я 0 : pt \to я$ это биекция. Морфизм ${ displaystyle f: { mathcal {X}} to { mathcal {Y}}}$ является $я$ -слабая эквивалентность, если для любого $я$ -местный ${ displaystyle { mathcal {Z}}}$ , индуцированное отображение

{ displaystyle { text {Hom}} _ {{ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({ mathcal {Y}}, { mathcal {Z}}) to { text { Hom}} _ {{ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({ mathcal {X}}, { mathcal {Z}})}

это биекция. Теория гомотопии узла с интервалом $(Т, я)$ это локализация $Δ op Шв (Т)$ относительно $я$ -слабые эквивалентности. Эта категория называется ${ Displaystyle { mathcal {H}} (Т, Я)}$ .

Формальное определение

Наконец, мы можем определить $А 1$ гомотопическая категория.

Определение. Позволять

S

быть конечномерным Схема Нётера, и разреши

Sch / S

обозначают категорию гладкий схемы над

S

. Оборудовать

Sch / S

с Топология Нисневича получить сайт

(Sch / S) Ниш

. Пусть аффинная линия

А 1

играть роль интервала. Приведенная выше конструкция определяет замкнутую структуру модели на

Δ op Шв Ниш (Sch / S)

, а соответствующие гомотопическая категория называется

А 1

гомотопическая категория.

Заметим, что по построению для любого $Икс$ в $Sch / S$ , существует изоморфизм

Икс \times S А 1 S ≅ Икс,

в гомотопической категории.

Свойства теории

Настройка, особенно Топология Нисневича, выбирается так, чтобы алгебраическая K-теория представима спектром, и в некоторых аспектах сделать возможным доказательство гипотезы Блоха-Като.

После строительства Мореля-Воеводского было несколько разных подходов к $А 1$ теория гомотопий с использованием других структур категорий модели или с использованием других пучков, кроме пучков Нисневича (например, пучки Зарисского или просто все предварительные пучки). Каждая из этих конструкций дает одну и ту же гомотопическую категорию.

В теории есть два вида сфер: те, которые происходят из мультипликативной группы, играющей роль $1$ -сфера в топологии, и исходящие из симплициальной сферы (рассматриваемые как постоянный симплициальный пучок). Это приводит к теории мотивационных сфер. $S п, q$ с двумя индексами. Вычисление гомотопических групп мотивных сфер также привело бы к классическим стабильным гомотопическим группам сфер, так что в этом отношении $А 1$ теория гомотопий по крайней мере так же сложна, как классическая теория гомотопий.

Стабильная гомотопическая категория

Дальнейшая конструкция в А¹-гомотопической теорией является категория SH (S), который получается из указанной выше нестабильной категории путем принудительного разрушения продукта с помощью грамм_м стать обратимым. Этот процесс можно осуществить либо с помощью модельно-категориальных построений с использованием так называемых грамм_м-спектры или, альтернативно, с использованием бесконечных категорий.

За S = Спецификация (р), спектр поля действительных чисел, существует функтор

{ Displaystyle SH ( mathbf {R}) to SH}

к стабильная гомотопическая категория из алгебраической топологии. Функтор характеризуется отправкой гладкой схемы Икс / р к реальному многообразию, связанному с Икс. Этот функтор имеет свойство отправлять карту

{ displaystyle rho: S ^ {0} to mathbf {G} _ {m}, т.е. {- 1,1 } to Spec mathbf {R} [x, x ^ {- 1} ]}

к эквивалентности, поскольку ${ Displaystyle mathbf {R} ^ { times}}$ гомотопически эквивалентно двухточечному множеству. Бахманн (2018) показал, что получившийся функтор

{ Displaystyle SH ( mathbf {R}) [ rho ^ {- 1}] к SH}

является эквивалентностью.

Рекомендации

Обзорные статьи

Антио, Бенджамин; Эльманто, Элден, Учебник по теории нестабильной мотивационной гомотопии, arXiv:1605.00929, Bibcode:2016arXiv160500929A