Высота Нерона – Тейта - Néron–Tate height

В теория чисел, то Высота Нерона – Тейта (или же каноническая высота) это квадратичная форма на Группа Морделла-Вейля из рациональные точки из абелева разновидность определяется над глобальное поле. Он назван в честь Андре Нерон и Джон Тейт.

Определение и свойства

Нерон определил высоту Нерона – Тейта как сумму местных высот.^[1] Хотя глобальная высота Нерона – Тейта квадратична, составляющие локальные высоты не совсем квадратичны. Тейт (неопубликовано) определил это глобально, заметив, что логарифмическая высота ${displaystyle h_{L}}$ связанный с симметричным обратимая связка ${displaystyle L}$ на абелева разновидность ${displaystyle A}$ является «почти квадратичным» и использовал это, чтобы показать, что предел

${displaystyle {hat {h}}_{L}(P)=lim _{Nightarrow infty }{frac {h_{L}(NP)}{N^{2}}}}$

существует, определяет квадратичную форму на группе рациональных точек Морделла-Вейля и удовлетворяет

${displaystyle {hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1),}$

где подразумевается ${displaystyle O(1)}$ константа не зависит от ${displaystyle P}$.^[2] Если ${displaystyle L}$ антисимметрична, то есть ${displaystyle [-1]^{*}L=L^{-1}}$, то аналогичный предел

${displaystyle {hat {h}}_{L}(P)=lim _{Nightarrow infty }{frac {h_{L}(NP)}{N}}}$

сходится и удовлетворяет ${displaystyle {hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)}$, но в этом случае ${displaystyle {hat {h}}_{L}}$ является линейной функцией на группе Морделла – Вейля. Для общих обратимых пучков пишут ${displaystyle L^{otimes 2}=(Lotimes [-1]^{*}L)otimes (Lotimes [-1]^{*}L^{-1})}$ как произведение симметричного пучка и антисимметричного пучка, а затем

${displaystyle {hat {h}}_{L}(P)={frac {1}{2}}{hat {h}}_{Lotimes [-1]^{*}L}(P)+{frac {1}{2}}{hat {h}}_{Lotimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)}$

- единственная квадратичная функция, удовлетворяющая

${displaystyle {hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)quad {mbox{and}}quad {hat {h}}_{L}(0)=0.}$

Высота Нерона – Тейта зависит от выбора обратимого пучка на абелевом многообразии, хотя соответствующая билинейная форма зависит только от образа ${displaystyle L}$ в Группа Нерона – Севери из ${displaystyle A}$. Если абелева разновидность ${displaystyle A}$ определяется над числовым полем K а обратимый пучок является симметричным и обильным, то высота Нерона – Тейта положительно определена в том смысле, что она обращается в нуль только на элементах кручения группы Морделла-Вейля ${displaystyle A(K)}$. В более общем смысле, ${displaystyle {hat {h}}_{L}}$ индуцирует положительно определенную квадратичную форму на вещественном векторном пространстве ${displaystyle A(K)otimes mathbb {R} }$.

На эллиптическая кривая, группа Нерона-Севери имеет ранг один и имеет уникальный обильный генератор, поэтому этот генератор часто используется для определения высоты Нерона-Тейта, которая обозначается ${displaystyle {hat {h}}}$ без ссылки на конкретный линейный пакет. (Однако высота, которая естественным образом фигурирует в заявлении Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера вдвое больше этой высоты.) На абелевых многообразиях более высокой размерности не обязательно должен быть конкретный выбор наименьшего обильного линейного пучка, который будет использоваться при определении высоты Нерона – Тейта, и высоты, используемой в утверждении Берча – Суиннертона-Дайера. гипотеза - это высота Нерона – Тейта, связанная с Расслоение Пуанкаре на ${displaystyle A imes {hat {A}}}$, продукт ${displaystyle A}$ с этими двойной.

Эллиптические и абелевы регуляторы

Билинейная форма, связанная с канонической высотой ${displaystyle {hat {h}}}$ на эллиптической кривой E является

${displaystyle langle P,Qangle ={frac {1}{2}}{igl (}{hat {h}}(P+Q)-{hat {h}}(P)-{hat {h}}(Q){igr )}.}$

В эллиптический регулятор из E / K является

${displaystyle operatorname {Reg} (E/K)=det {igl (}langle P_{i},P_{j}angle {igr )}_{1leq i,jleq r},}$

куда п₁,…,П_р является базисом группы Морделла-Вейля E(K) по модулю кручения (ср. Определитель грамма ). Эллиптический регулятор не зависит от выбора основы.

В общем, пусть А / К - абелево многообразие, пусть B ≅ Рис⁰(А) - двойственное абелево многообразие к А, и разреши п быть Расслоение Пуанкаре на А × B. Тогда абелев регулятор из А / К определяется выбором основы Q₁,…, Q_р для группы Морделла-Вейля А(K) по модулю кручения и базис η₁,…, Η_р для группы Морделла-Вейля B(K) по модулю кручения и установки

${displaystyle operatorname {Reg} (A/K)=det {igl (}langle Q_{i},eta _{j}angle _{P}{igr )}_{1leq i,jleq r}.}$

(Определения эллиптического и абелевого регуляторов не совсем согласованы, так как если А эллиптическая кривая, то последняя равна 2^р раз бывший.)

Эллиптические и абелевы регуляторы появляются в Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера.

Нижние оценки высоты Нерона – Тейта

Существуют две фундаментальные гипотезы, дающие нижние оценки высоты Нерона – Тейта. В первом поле K фиксирована, а эллиптическая кривая E / K и указать P ∈ E (K) варьируются, а во втором эллиптическая гипотеза Лемера, Кривая E / K фиксируется, а поле определения точки п меняется.

• (Lang)^[3]     ${displaystyle {hat {h}}(P)geq c(K)log max {igl {}operatorname {Norm} _{K/mathbb {Q} }operatorname {Disc} (E/K),h(j(E)){igr }}quad }$ для всех ${displaystyle E/K}$ и все неторсия ${displaystyle Pin E(K).}$
• (Лемер)^[4]     ${displaystyle {hat {h}}(P)geq {frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}}$ для всех неторсий ${displaystyle Pin E({ar {K}}).}$

В обеих гипотезах константы положительны и зависят только от указанных величин. (Более сильная форма гипотезы Лэнга утверждает, что ${displaystyle c}$ зависит только от степени ${displaystyle [K:mathbb {Q} ]}$.) Известно, что abc догадка влечет гипотезу Лэнга, и что аналог гипотезы Лэнга над одномерными характеристическими полями функций безоговорочно верен.^[3][5] Наилучшим общим результатом гипотезы Лемера является более слабая оценка ${displaystyle {hat {h}}(P)geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+epsilon }}$ из-за Массер.^[6] Когда эллиптическая кривая имеет комплексное умножение, это было улучшено до ${displaystyle {hat {h}}(P)geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+epsilon }}$ пользователя Laurent.^[7] Аналогичные гипотезы существуют и для абелевых многообразий, при этом условие непротекания заменяется условием, что кратные ${displaystyle P}$ образуют плотное по Зарискому подмножество ${displaystyle A}$, а нижняя оценка в гипотезе Лэнга заменена на ${displaystyle {hat {h}}(P)geq c(K)h(A/K)}$, куда ${displaystyle h(A/K)}$ это Высота опалубки из ${displaystyle A/K}$.

Обобщения

Поляризованный алгебраическая динамическая система это тройка (V, φ,L) состоящее из (гладкого проективного) алгебраического многообразия V, автоморфизм φ: V → V и линейное расслоение L на V со свойством, что ${displaystyle phi ^{*}L=L^{otimes d}}$ для некоторого целого числа d > 1. Соответствующая каноническая высота определяется пределом Тейта.^[8]

${displaystyle {hat {h}}_{V,phi ,L}(P)=lim _{n o infty }{frac {h_{V,L}(phi ^{(n)}(P))}{d^{n}}},}$

где φ^(п) = φ o φ o… o φ - п-кратная итерация φ. Например, любой морфизм φ: п^N → п^N степени d > 1 дает каноническую высоту, связанную с отношением линейного расслоения φ *О(1) = О(d). Если V определяется над числовым полем и L обильно, то каноническая высота неотрицательна и

${displaystyle {hat {h}}_{V,phi ,L}(P)=0~~Longleftrightarrow ~~P~{m {is~preperiodic~for~}}phi .}$

(п является предпериодическим, если его прямая орбита п, φ (п), φ²(п), φ³(п),… Содержит только конечное число различных точек.)

Рекомендации

1. Нерон, Андре (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les varétés abéliennes". Анна. математики. (На французском). 82: 249–331. Дои:10.2307/1970644. МИСТЕР  0179173.
2. Лэнг (1997) стр.72
3. Лэнг (1997), стр.73–74
4. Лэнг (1997) стр 243
5. Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (1988). «Каноническая высота и целые точки на эллиптических кривых». Изобретать. Математика. 93 (2): 419–450. Дои:10.1007 / bf01394340. МИСТЕР  0948108. Zbl  0657.14018.
6. Массер, Дэвид В. (1989). «Счетные точки малой высоты на эллиптических кривых». Бык. Soc. Математика. Франция. 117 (2): 247–265. МИСТЕР  1015810.
7. Лоран, Мишель (1983). "Minuration de la hauteur de Néron-Tate" [Нижняя граница высоты Нерон-Тейт]. В Bertin, Мари-Хосе (ред.). Seminaire de théorie des nombres, Париж, 1981–1982 гг. [Семинар по теории чисел, Париж, 1981–82.]. Успехи по математике (на французском языке). Birkhäuser. С. 137–151. ISBN  0-8176-3155-0. МИСТЕР  0729165.
8. Звоните, Грегори С .; Сильверман, Джозеф Х. (1993). «Канонические высоты на многообразиях с морфизмами». Compositio Mathematica. 89 (2): 163–205. МИСТЕР  1255693.

Общие ссылки по теории канонических высот

• Бомбьери, Энрико; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Новые математические монографии. 4. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.2277/0521846153. ISBN  978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034.
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: введение. Тексты для выпускников по математике. 201. ISBN  0-387-98981-1. Zbl  0948.11023.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.
• J.H. Сильверман, Арифметика эллиптических кривых, ISBN  0-387-96203-4

внешняя ссылка

• «Каноническая высота на эллиптической кривой». PlanetMath.