Гипотеза abc - Abc conjecture

гипотеза abc

Поле	Теория чисел
Предполагается	Джозеф Остерле Дэвид Массер
Предполагается в	1985
Эквивалентно	Модифицированная гипотеза Шпиро
Последствия	Гипотеза Била Проблема Эрдеша – Улама Теорема Фальтингса Последняя теорема Ферма Гипотеза Ферма – Каталонии Теорема Рота Теорема Тийдемана

Французский математик Жозеф Остерле

Британский математик Дэвид Массер

В abc догадка (также известный как Гипотеза Остерле – Массера) это догадка в теория чисел, впервые предложенный Джозеф Остерле  (1988 ) и Дэвид Массер  (1985 ). Он выражается в трех натуральных числах: а, б и c (отсюда и название), которые относительно простой и удовлетворить а + б = c. Если d обозначает произведение различных главные факторы из abc, гипотеза по существу утверждает, что d обычно не намного меньше, чем c. Другими словами: если а и б составлены из больших степеней простых чисел, то c обычно не делится на большие степени простых чисел. Ряд известных гипотез и теорем теории чисел сразу вытекает из abc гипотеза или ее версии. Гольдфельд (1996) описал abc гипотезу как «важнейшую нерешенную проблему в Диофантов анализ ".

В abc гипотеза возникла в результате попыток Остерле и Массера понять Гипотеза Шпиро около эллиптические кривые,^[1] который включает в себя больше геометрических структур, чем abc предположение. В abc Доказано, что гипотеза эквивалентна модифицированной гипотезе Шпиро.^[2]

Были предприняты различные попытки доказать гипотезу abc, но ни одна из них в настоящее время не принята основным математическим сообществом, и по состоянию на 2020 год эта гипотеза все еще в значительной степени считается недоказанной.^[3][4]

Составы

Прежде чем сформулировать гипотезу, введем понятие радикал целого числа: для положительное число п, радикал п, обозначенный rad (п), является произведением различных главные факторы из п. Например

рад (16) = рад (2⁴) = рад (2) = 2,

рад (17) = 17,

рад (18) = рад (2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

рад (1000000) = рад (2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

Если а, б, и c находятся совмещать^{[примечания 1]} положительные целые числа такие, что а + б = c, оказывается, что "обычно" c <рад (abc). В гипотеза abc имеет дело с исключениями. В частности, в нем говорится, что:

Для каждого положительного действительного числа ε, существует только конечное число троек (а, б, c) взаимно простых положительных целых чисел с а + б = c, так что

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Эквивалентная формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε, существует постоянная K_ε такое, что для всех троек (а, б, c) взаимно простых положительных целых чисел с а + б = c:

${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Третья эквивалентная формулировка гипотезы включает качественный q(а, б, c) тройки (а, б, c), который определяется как

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Например:

q(4, 127, 131) = журнал (131) / журнал (рад (4 · 127 · 131)) = журнал (131) / журнал (2 · 127 · 131) = 0,46820 ...

q(3, 125, 128) = журнал (128) / журнал (рад (3 · 125 · 128)) = журнал (128) / журнал (30) = 1,426565 ...

Типичный тройной (а, б, c) взаимно простых положительных целых чисел с а + б = c буду иметь c <рад (abc), т.е. q(а, б, c) <1. Тройки с q > 1 такие, как во втором примере, довольно особенные, они состоят из чисел, делящихся на большие степени малых простые числа. Третья формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε, существует только конечное число троек (а, б, c) взаимно простых натуральных чисел с а + б = c такой, что q(а, б, c) > 1 + ε.

А известно, что троек бесконечно много (а, б, c) взаимно простых положительных целых чисел с а + б = c такой, что q(а, б, c)> 1, гипотеза предсказывает, что только конечное число из них q > 1.01 или q > 1,001 или даже q > 1.0001 и т. Д. В частности, если гипотеза верна, то должна существовать тройка (а, б, c), что обеспечивает максимально возможное качество q(а, б, c) .

Примеры троек с малым радикалом

Условие, что ε > 0 необходимо, поскольку существует бесконечно много троек а, б, c с c > рад (abc). Например, пусть

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.}$

Целое число б делится на 9:

${\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).}$

Используя этот факт, мы рассчитываем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&=2{\tfrac {b}{3}}\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}}$

Заменив показатель 6п другими экспонентами, вынуждающими б чтобы иметь больший квадратный множитель, соотношение между радикалом и c можно сделать сколь угодно маленьким. В частности, пусть п > 2 быть простым и считать

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

Теперь мы утверждаем, что б делится на п²:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}}$

Последний шаг использует тот факт, что п² делит 2^п(п−1) - 1. Это следует из Маленькая теорема Ферма, что показывает, что при п > 2, 2^п−1 = pk + 1 для некоторого целого числа k. Поднимая обе стороны к власти п затем показывает, что 2^п(п−1) = п²(...) + 1.

И теперь с аналогичным расчетом, как указано выше, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.}$

Список тройки высочайшего качества (утроится с особенно маленьким радикалом относительно c) приводится ниже; самое высокое качество, 1,6299, было обнаружено Эриком Рейссатом (Ландо и Звонкин 2004, п. 137) для

а = 2,

б = 3¹⁰·109 = 6436341,

c = 23⁵ = 6436343,

рад (abc) = 15042.

Некоторые последствия

В abc Гипотеза имеет большое количество следствий. К ним относятся как известные результаты (некоторые из которых были доказаны отдельно, так как гипотеза была сформулирована), и гипотезы, для которых она дает условное доказательство. Последствия включают:

• Теорема Рота о диофантовом приближении алгебраических чисел.^[5]
• В Гипотеза Морделла (в целом уже доказано Герд Фальтингс ).^[6]
• Как эквивалент, Гипотеза Войты в измерении 1.^[7]
• В Гипотеза Эрдеша – Вудса с учетом конечного числа контрпримеров.^[8]
• Существование бесконечного множества не-Простые числа Вифериха на каждой базе б > 1.^[9]
• Слабая форма Гипотеза Маршалла Холла о разделении квадратов и кубов целых чисел.^[10]
• В Гипотеза Ферма – Каталонии, обобщение последней теоремы Ферма о степенях, которые являются суммами степеней.^[11]
• В L-функция L(s, χ_d) сформированный с Символ Лежандра, не имеет Зигель ноль, учитывая унифицированный вариант abc гипотеза в числовых полях, а не только abc гипотеза, сформулированная выше для целых рациональных чисел.^[12]
• А многочлен п(Икс) имеет только конечное число совершенные силы для всех целые числа Икс если п имеет не менее трех простых нулей.^[13]
• Обобщение Теорема Тийдемана относительно количества решений у^м = Икс^п + k (Теорема Тейдемана отвечает на вопрос k = 1) и гипотезы Пиллаи (1931) о числе решений Ау^м = Bx^п + k.
• Как эквивалент, гипотеза Гранвиля – Ланжевена, что если ж является бесквадратной двоичной формой степени п > 2, то для каждого действительного β > 2 есть постоянная C(ж, β) такие, что для всех взаимно простых целых чисел Икс, у, радикал ж(Икс, у) превышает C · Макс {|Икс|, |у|}^п−β.^[14]
• В качестве эквивалента модифицированный Гипотеза Шпиро, что дало бы оценку рад (abc)^1.2+ε.^[2]
• Домбровски (1996) показал, что abc гипотеза означает, что Диофантово уравнение п! + А = k² имеет только конечное число решений для любого данного целого числа А.
• Есть ~c_жN положительные целые числа п ≤ N для которого ж(п) / B 'бесквадратный, с c_ж > 0 положительная константа, определяемая как:^[15]

${\displaystyle c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).}$

• Последняя теорема Ферма есть известное трудное доказательство Эндрю Уайлса. Однако это легко следует, по крайней мере, для ${\displaystyle n\geq 6}$, из эффективной формы слабой версии гипотезы abc. Гипотеза abc говорит, что лим суп набора всех качеств (определенных выше) равно 1, что подразумевает гораздо более слабое утверждение, что существует конечная верхняя граница для качеств. Гипотеза о том, что 2 является такой верхней оценкой, достаточна для очень короткого доказательства Великой теоремы Ферма для ${\displaystyle n\geq 6}$.^[16]
• В Гипотеза Била, обобщение последней теоремы Ферма о том, что если А, B, C, Икс, у, и z положительные целые числа с А^Икс + B^у = C^z и Икс, у, z > 2, то А, B, и C имеют общий простой фактор. В abc Гипотеза означала бы, что существует только конечное число контрпримеров.
• Гипотеза Ланга, нижняя оценка рост рациональной точки не кручения эллиптической кривой.
• Отрицательное решение Проблема Эрдеша – Улама.^[17]

Теоретические результаты

Из гипотезы abc следует, что c возможно ограниченный сверху почти линейной функцией радикала abc. Известны границы, которые экспоненциальный. В частности, были доказаны следующие оценки:

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$ (Стюарт и Тийдеман 1986 ),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$ (Стюарт и Ю 1991 ), и

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc))\right)^{3}\right)}}$ (Стюарт и Ю 2001 ).

В этих пределах K₁ и K₃ находятся константы которые не зависят от а, б, или c, и K₂ константа, которая зависит от ε (в эффективно вычислимый путь) но не на а, б, или c. Оценки применимы к любой тройке, для которой c > 2.

Результаты расчетов

В 2006 г. на математическом факультете Лейденский университет в Нидерландах совместно с голландским научным институтом Kennislink запустили ABC @ Home проект, сеточные вычисления система, целью которой является обнаружение дополнительных троек а, б, c с рад (abc) < c. Хотя никакой конечный набор примеров или контрпримеров не может разрешить abc Предполагается, что закономерности в тройках, обнаруженные в рамках этого проекта, приведут к пониманию гипотезы и теории чисел в целом.

Раздача троек с q > 1^[18]

q c	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 10^2	6	4	4	2	0	0
c < 10^3	31	17	14	8	3	1
c < 10^4	120	74	50	22	8	3
c < 10^5	418	240	152	51	13	6
c < 10^6	1,268	667	379	102	29	11
c < 10^7	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 10^8	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 10^9	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 10^10	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 10^11	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 10^12	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 10^13	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 10^14	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 10^15	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 10^16	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 10^17	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 10^18	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

По состоянию на май 2014 года ABC @ Home обнаружила 23,8 миллиона троек.^[19]

Тройки высочайшего качества^[20]

Классифицировать	q	а	б	c	Обнаружил
1	1.6299	2	3^10·109	23^5	Эрик Рейссат
2	1.6260	11^2	3^2·5^6·7^3	2^21·23	Бенн де Вегер
3	1.6235	19·1307	7·29^2·31^8	2^8·3^22·5^4	Ежи Браукин, Юлиуш Бжезинский
4	1.5808	283	5^11·13^2	2^8·3^8·17^3	Ежи Браукин, Юлиуш Бжезинский, Абдеррахман Нитай
5	1.5679	1	2·3^7	5^4·7	Бенн де Вегер

Обратите внимание качественный q(а, б, c) тройки (а, б, c) определено над.

Уточненные формы, обобщения и связанные утверждения

В abc гипотеза является целочисленным аналогом Теорема Мейсона – Стотерса для полиномов.

Усиление, предложенное Бейкер (1998), заявляет, что в abc гипотезу можно заменить rad (abc) от

ε^−ω рад (abc),

где ω это общее количество различных простых чисел, делящих а, б и c.^[21]

Эндрю Гранвиль заметил, что минимум функции ${\displaystyle {\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }}$ над ${\displaystyle \varepsilon >0}$ происходит когда ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Это спровоцировало Бейкер (2004) предложить более четкую форму abc гипотеза, а именно:

${\displaystyle c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}}$

с κ абсолютная константа. После некоторых вычислительных экспериментов он обнаружил, что значение ${\displaystyle 6/5}$ было допустимо для κ.

Эта версия называется "явной abc догадка ".

Бейкер (1998) также описывает связанные гипотезы Эндрю Гранвиль это дало бы верхнюю границу на c формы

${\displaystyle K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),}$

где Ω (п) - общее количество простых делителей п, и

${\displaystyle O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},}$

где Θ (п) - количество целых чисел до п делится только на простые числа п.

Роберт, Стюарт и Тененбаум (2014) предложил более точное неравенство, основанное на Роберт и Тененбаум (2013).Позволять k = рад (abc). Они предположили, что существует постоянная C₁ такой, что

${\displaystyle c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

выполняется, тогда как существует постоянная C₂ такой, что

${\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

держится бесконечно часто.

Браукин и Бжезинский (1994) сформулировал русское предположение - вариант abc догадка с участием п > 2 целых числа.

Заявленные доказательства

Люсьен Шпиро предложил решение в 2007 году, но вскоре после этого было обнаружено, что оно неверно.^[22]

В августе 2012 г. Шиничи Мотидзуки потребовал доказательства гипотезы Шпиро и, следовательно, гипотезы abc.^[23] Он выпустил серию из четырех препринтов, разрабатывающих новую теорию под названием межуниверсальная теория Тейхмюллера (IUTT), который затем применяется для доказательства нескольких известных гипотез теории чисел, включая гипотезу abc и гиперболическую Гипотеза Войты.^[24]Эти работы не были приняты математическим сообществом как доказательство abc.^[25] Это не только из-за их сложности для понимания и длины,^[26] но еще и потому, что по крайней мере один конкретный момент в аргументе был определен некоторыми другими экспертами как пробел.^[27] Хотя несколько математиков ручались за правильность доказательства,^[28] и пытались передать свое понимание через семинары по IUTT, им не удалось убедить сообщество теории чисел в целом.^[29][30]

В марте 2018 г. Питер Шольце и Якоб Стикс посетил Киото для обсуждения с Мотидзуки.^[31][32]Хотя они не устранили различия, они более четко сфокусировали их. Шольце и Стикс пришли к выводу, что разрыв был «настолько серьезным, что… небольшие модификации не спасут стратегию доказательства»;^[33]Мотидзуки утверждал, что они неправильно поняли важные аспекты теории и сделали недопустимые упрощения.^[34][35][36]

3 апреля 2020 года два японских математика объявили, что доказательство Мотидзуки будет опубликовано в Публикации Научно-исследовательский институт математических наук (RIMS), журнал, главным редактором которого является Мотидзуки.^[3] Объявление было воспринято скептически. Киран Кедлая и Эдвард Френкель, а также описываются Природа как «маловероятно, что многие исследователи переедут в лагерь Мотидзуки».^[3]

Смотрите также

• Список нерешенных задач по математике

Примечания

1. Когда а + б = c, взаимная простота а, б, c подразумевает попарная взаимная простота из а, б, c. Так что в этом случае не имеет значения, какую концепцию мы используем.

использованная литература

1. Фесенко, Иван (2015), «Арифметическая теория деформации с помощью арифметических фундаментальных групп и неархимедовых тета-функций, примечания к работе Шиничи Мотидзуки» (PDF), Европейский журнал математики, 1 (3): 405–440, Дои:10.1007 / s40879-015-0066-0.
2. Эстерле (1988).
3. Кастельвекки, Давиде (3 апреля 2020 г.). «Математическое доказательство того, что теория чисел потрясена». Природа. Дои:10.1038 / d41586-020-00998-2.
4. Дополнительный комментарий П. Шольце на Даже не неправильно.
5. Бомбьери (1994).
6. Лось (1991).
7. Ван Франкенхейсен (2002).
8. Ланжевен (1993).
9. Сильверман (1988).
10. Нитай (1996).
11. Померанс (2008).
12. Гранвиль и Старк (2000).
13. ABC-гипотеза, Фриц Бойкерс, ABC-DAY, Лейден, Утрехтский университет, 9 сентября 2005 г.
14. Моллин (2009); Моллин (2010), п. 297)
15. Гранвиль (1998).
16. Гранвиль, Эндрю; Такер, Томас (2002). "Это так же просто, как abc" (PDF). Уведомления AMS. 49 (10): 1224–1231.
17. Пастен, Гектор (2017), "Определимость орбит Фробениуса и результат о рациональных наборах расстояний", Monatshefte für Mathematik, 182 (1): 99–126, Дои:10.1007 / s00605-016-0973-2, Г-Н  3592123
18. "Synthese resultaten", RekenMeeMetABC.nl (на голландском языке), заархивировано из оригинал 22 декабря 2008 г., получено 3 октября, 2012.
19. "Данные, собранные софар", ABC @ Home, заархивировано из оригинал 15 мая 2014 г., получено 30 апреля, 2014
20. «100 беспроигрышных троек». Рекен Ми встретил ABC. 2010-11-07.
21. Бомбиери и Габлер (2006), п. 404.
22. «Теоремы конечности для динамических систем», Люсьен Шпиро, выступление на конференции по L-функциям и автоморфным формам (по случаю 60-летия Дориана Голдфельда), Колумбийский университет, май 2007 г. См. Войт, Питер (26 мая 2007 г.), "Доказательство гипотезы abc?", Даже не неправильно.
23. Болл, Питер (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами». Природа. Дои:10.1038 / природа.2012.11378. Получено 19 марта 2018.
24. Мотидзуки, Шиничи (май 2015 г.). Межуниверсальная теория Тейхмюллера IV: лог-объемные вычисления и теоретико-множественные основы, доступны на http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
25. «Гипотеза ABC до сих пор не доказана». 17 декабря 2017 г.. Получено 17 марта, 2018.
26. Ревелл, Тимоти (7 сентября 2017 г.). "Непонятное математическое доказательство ABC теперь имеет непонятное 300-страничное резюме'". Новый ученый.
27. «Гипотеза ABC до сих пор не доказана, комментарий Bcnrd». 22 декабря 2017 г.. Получено 18 марта, 2017.
28. Фесенко Иван. «Фукуген». Вывод. Получено 19 марта 2018.
29. Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки Брайана Конрада о семинаре Oxford IUT». Получено 18 марта, 2018.
30. Кастельвекки, Давиде (8 октября 2015 г.). «Самая большая загадка математики: Шиничи Мотидзуки и непостижимое доказательство». Природа. 526 (7572): 178–181. Bibcode:2015Натура. 526..178C. Дои:10.1038 / 526178a. PMID  26450038.
31. Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Битва титанов математики из-за эпического доказательства гипотезы ABC». Журнал Quanta.
32. «Март 2018 г. Обсуждения на IUTeich». Получено Второе октября, 2018. Веб-страница Мотидзуки с описанием обсуждений и ссылками на последующие публикации и дополнительные материалы
33. Шольце, Питер; Стикс, Якоб. «Почему abc до сих пор остается предположением» (PDF). Получено 23 сентября, 2018. (обновленная версия их Может сообщить )
34. Мотидзуки, Шиничи. «Отчет о дискуссиях, состоявшихся в период с 15 по 20 марта 2018 г., относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF). Получено 1 февраля, 2019. … обсуждения… представляют собой первые подробные,… предметные обсуждения негативных позиций… IUTch.
35. Мотидзуки, Шиничи. «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса, касающейся Межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF). Получено Второе октября, 2018.
36. Мотидзуки, Шиничи. «Комментарии к рукописи (версия 2018-08) Шольце-Стикса, касающейся Межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF). Получено Второе октября, 2018.

Источники

• Бейкер, Алан (1998). «Логарифмические формы и abc-гипотеза ». В Győry, Kálmán (ed.). Теория чисел. Диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты. Материалы международной конференции, Эгер, Венгрия, 29 июля - 2 августа 1996 г.. Берлин: де Грюйтер. С. 37–44. ISBN  3-11-015364-5. Zbl  0973.11047.
• Бейкер, Алан (2004). "Эксперименты на abc-гипотеза ». Publ. Математика. Дебрецен. 65: 253–260.
• Бомбьери, Энрико (1994). «Теорема Рота и abc-гипотеза». Препринт. ETH Zürich.
• Бомбьери, Энрико; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Новые математические монографии. 4. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.2277/0521846153. ISBN  978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034.
• Браукин, Ежи; Бжезинский, Юлиуш (1994). "Некоторые замечания по abc-гипотеза ». Математика. Comp. 62 (206): 931–939. Bibcode:1994MaCom..62..931B. Дои:10.2307/2153551. JSTOR  2153551.
• Браукин, Ежи (2000). "The abc-гипотеза ». In Bambah, R.P .; Dumir, V.C .; Hans-Gill, R.J. (ред.). Теория чисел. Тенденции в математике. Базель: Биркхойзер. стр.75 –106. ISBN  3-7643-6259-6.
• Домбровски, Анджей (1996). "О диофантовом уравнении Икс! + А = у²". Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14: 321–324. Zbl  0876.11015.
• Элкис, Н. Д. (1991). «ABC подразумевает Морделла». Уведомления о международных математических исследованиях. 1991 (7): 99–109. Дои:10.1155 / S1073792891000144.
• Фрей, Герхард (1997). "О тернарных уравнениях типа Ферма и связях с эллиптическими кривыми". Модульные формы и последняя теорема Ферма. Нью-Йорк: Спрингер. С. 527–548. ISBN  0-387-94609-8.
• Гольдфельд, Дориан (1996). «За пределами последней теоремы». Математические горизонты. 4 (Сентябрь): 26–34. Дои:10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR  25678079.
• Гольдфельд, Дориан (2002). «Модульные формы, эллиптические кривые и abc-гипотеза». В Вюстхольц, Гисберт (ред.). Панорама по теории чисел или Вид из сада Бейкера. По материалам конференции в честь 60-летия Алана Бейкера, Цюрих, Швейцария, 1999 г.. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 128–147. ISBN  0-521-80799-9. Zbl  1046.11035.
• Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре, ред. (2008). Принстонский компаньон математики. Принстон: Издательство Принстонского университета. стр.361 –362, 681. ISBN  978-0-691-11880-2.
• Гранвиль, А. (1998). "Азбука позволяет нам считать без квадрата" (PDF). Уведомления о международных математических исследованиях. 1998 (19): 991–1009. Дои:10.1155 / S1073792898000592.
• Гранвиль, Эндрю; Старк, Х. (2000). «ABC не влечет« нулей Зигеля »для L-функций от символов с отрицательной экспонентой» (PDF). Inventiones Mathematicae. 139: 509–523. Bibcode:2000InMat.139..509G. Дои:10.1007 / s002229900036.
• Гранвиль, Эндрю; Такер, Томас (2002). "Это так же просто, как abc" (PDF). Уведомления AMS. 49 (10): 1224–1231.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-20860-7.
• Ландо, Сергей К .; Звонкин, Александр К. (2004). «Графы на поверхностях и их приложения». Энциклопедия математических наук: топология нижних измерений II. 141. Springer-Verlag. ISBN  3-540-00203-0.
• Ланжевен, М. (1993). "Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc". Comptes rendus de l'Académie des Sciences (На французском). 317 (5): 441–444.
• Массер, Д.В. (1985). «Открытые проблемы». В Chen, W. W. L. (ред.). Материалы симпозиума по аналитической теории чисел. Лондон: Имперский колледж.
• Моллин, Р.А. (2009). «Заметка об ABC-гипотезе» (PDF). Дальний Восток J. Math. Наука. 33 (3): 267–275. ISSN  0972-0871. Zbl  1241.11034. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2013-06-14.
• Моллин, Ричард А. (2010). Продвинутая теория чисел с приложениями. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1-4200-8328-6. Zbl  1200.11002.
• Нитадж, Абдеррахман (1996). "Гипотеза abc". Enseign. Математика. (На французском). 42 (1–2): 3–24.
• Эстерле, Жозеф (1988), "Nouvelles приближается к теории" Ферма ", Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN  0303-1179, Г-Н  0992208
• Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». Принстонский компаньон математики. Издательство Принстонского университета. С. 361–362.
• Сильверман, Джозеф Х. (1988). "Критерий Вифериха и abc-гипотеза ». Журнал теории чисел. 30 (2): 226–237. Дои:10.1016 / 0022-314X (88) 90019-4. Zbl  0654.10019.
• Роберт, Оливье; Стюарт, Кэмерон Л.; Тененбаум, Жеральд (2014). "Уточнение гипотезы abc" (PDF). Бюллетень Лондонского математического общества. 46 (6): 1156–1166. Дои:10.1112 / blms / bdu069.
• Роберт, Оливье; Тененбаум, Жеральд (2013). "Sur la répartition du noyau d'un entier". Indag. Математика. 24 (4): 802–914. Дои:10.1016 / j.indag.2013.07.007.
• Стюарт, К.; Тийдеман, Р. (1986). «О гипотезе Эстерле-Массера». Monatshefte für Mathematik. 102 (3): 251–257. Дои:10.1007 / BF01294603.
• Стюарт, К.; Ю, Кунруи (1991). "На abc догадка ". Mathematische Annalen. 291 (1): 225–230. Дои:10.1007 / BF01445201.
• Стюарт, К.; Ю, Кунруи (2001). "На abc гипотеза, II ". Математический журнал герцога. 108 (1): 169–181. Дои:10.1215 / S0012-7094-01-10815-6.
• Ван Франкенхейсен, Machiel (2002). «Гипотеза ABC влечет неравенство высоты Войты для кривых». J. Теория чисел. 95 (2): 289–302. Дои:10.1006 / jnth.2001.2769. Г-Н  1924103.

внешняя ссылка

• ABC @ home Распределенных вычислений проект называется ABC @ Home.
• Легко как азбука: Легкое понимание, подробное объяснение Брайана Хейса.
• Вайсштейн, Эрик В. "abc гипотеза". MathWorld.
• Абдеррахман Нитадж Домашняя страница гипотезы ABC
• Барта де Смита Веб-страница ABC Triples
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• Азбука теории чисел к Ноам Д. Элкис
• Вопросы о номере к Барри Мазур
• Философия работы Мотидзуки над гипотезой ABC на MathOverflow
• Гипотеза ABC Проект Polymath wiki-страница со ссылками на различные источники комментариев к статьям Мотидзуки.
• abc Гипотеза Numberphile видео
• Новости о IUT от Mochizuki