Теорема Мейсона – Стотерса - Mason–Stothers theorem

В Теорема Мейсона – Стотерса, или просто Теорема масона, является математическим теорема около многочлены, аналогично abc догадка для целых чисел. Он назван в честь Уолтер Уилсон Стотерс, опубликовавший его в 1981 г.,^[1] и Р. К. Мейсон, который вскоре после этого открыл его заново.^[2]

Теорема гласит:

Позволять а(т), б(т), и c(т) быть относительно простые многочлены над полем такое, что а + б = c и такие, что не все из них имеют исчезающую производную. потом

${\displaystyle \max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leq \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.}$

Вот рад (ж) является продуктом различных неприводимых факторов ж. Для алгебраически замкнутых полей именно многочлен минимальной степени имеет то же корни в качестве ж; в этом случае град (рад (ж)) дает количество различных корней ж.^[3]

Примеры

• Над полями характеристики 0 выполняется условие, что а, б, и c не все имеют нулевую производную эквивалентно условию, что не все они постоянны. Над полями характеристики п > 0 недостаточно предположить, что не все они постоянны. Например, личность т^п + 1 = (т + 1)^п дает пример, где максимальная степень трех многочленов (а и б как слагаемые в левой части, а c как правая часть) п, но степень радикала только2.
• Принимая а(т) = т^п и c(т) = (т+1)^п приводит пример того, что равенство выполняется в теореме Мейсона – Стотерса, показывая, что неравенство в некотором смысле является наилучшим из возможных.
• Следствием теоремы Мейсона – Стотерса является аналог Последняя теорема Ферма для функциональных полей: если а(т)^п + б(т)^п = c(т)^п для а, б, c относительно простые многочлены над полем характеристики, не делящей п и п > 2 то либо хотя бы один из а, б, или c равно 0 или все они постоянны.

Доказательство

Снайдер (2000) дал следующее элементарное доказательство теоремы Мейсона – Стотерса.^[4]

Шаг 1. Условие а + б + c = 0 означает, что Вронскианцы W(а, б) = ab′ − а′б, W(б, c), и W(c, а) все равны. Написать W за их общую ценность.

Шаг 2. Условие того, что хотя бы одна из производных а′, б′, или c′ отличен от нуля и что а, б, и c взаимно просты, чтобы показать, что W отличен от нуля. Например, если W = 0 тогда ab′ = а′б так а разделяет а′ (так как а и б взаимно просты) так а′ = 0 (так как град а > град а′ пока не а постоянна).

Шаг 3. W делится на каждый из наибольших общих делителей (а, а′), (б, б′), и (c, c′). Поскольку они взаимно просты, оно делится на их произведение, и поскольку W ненулевое значение, получаем

град (а, а′) + Deg (б, б′) + Deg (c, c′) ≤ град W.

Шаг 4. Подставляя в неравенства

град (а, а′) ≥ град а - (количество различных корней а)

град (б, б′) ≥ град б - (количество различных корней б)

град (c, c′) ≥ град c - (количество различных корней c)

(где корни берутся в некотором алгебраическом замыкании) и

град W ≤ град а + град б − 1

мы находим, что

град c ≤ (количество различных корней abc) − 1

что нам и нужно было доказать.

Обобщения

Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменяется одномерным функциональное поле.Позволять k - алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть К / к быть гладкая проективная кривая из род грамм, позволять

${\displaystyle a,b\in k(C)}$ быть рациональными функциями на C удовлетворение ${\displaystyle a+b=1}$,

и разрешиS быть набором точек в C(k) содержащий все нули и полюсы а и б.Потом

${\displaystyle \max {\bigl \{}\deg(a),\deg(b){\bigr \}}\leq \max {\bigl \{}|S|+2g-2,0{\bigr \}}.}$

Здесь степень функции в k(C) степень отображения, которое оно индуцирует из C к п¹Это было доказано Мэйсоном с альтернативным коротким доказательством, опубликованным в том же году Дж. Х. Сильверман.^[5]

Существует еще одно обобщение, независимо от того, Ю. Ф. Волоч^[6]и чтобыВ. Д. Браунавелл и Д. В. Массер,^[7]что дает оценку сверху для п-Переменная S-unitequations а₁ + а₂ + ... + а_п = 1 при условии, что нет подмножества а_я находятся k-линейно зависимый. В этом предположении они доказывают, что

${\displaystyle \max {\bigl \{}\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n}){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}n(n-1)\max {\bigl \{}|S|+2g-2,0{\bigr \}}.}$

использованная литература

1. Stothers, W. W. (1981), "Полиномиальные тождества и hauptmoduln", Ежеквартально J. Math. Оксфорд, 2, 32: 349–370, Дои:10.1093 / qmath / 32.3.349.
2. Мейсон, Р. К. (1984), Диофантовы уравнения над функциональными полями, Серия лекций Лондонского математического общества, 96, Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета..
3. Ланг, Серж (2002). Алгебра. Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 194. ISBN  0-387-95385-X.
4. Снайдер, Ноа (2000), «Альтернативное доказательство теоремы Мейсона» (PDF), Elemente der Mathematik, 55 (3): 93–94, Дои:10.1007 / с000170050074, МИСТЕР  1781918.
5. Сильверман, Дж. Х. (1984), "Уравнение S-единицы над функциональными полями", Proc. Camb. Филос. Soc., 95: 3–4
6. Волоч, Дж. Ф. (1985), "Диагональные уравнения над функциональными полями", Бол. Soc. Бюстгальтеры. Мат., 16: 29–39
7. Brownawell, W. D .; Массер, Д. В. (1986), "Исчезающие суммы в функциональных полях", Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc., 100: 427–434

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Мейсона". MathWorld.
• Теорема Мейсона-Стотерса и гипотеза ABC, Вишал-лама. Уточненная версия доказательства из книги Лэнга.