Гипотеза Ферма – Каталонии - Fermat–Catalan conjecture

В теория чисел, то Гипотеза Ферма – Каталонии является обобщением Последняя теорема Ферма и из Гипотеза Каталонии, отсюда и название. Гипотеза утверждает, что уравнение

${displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}quad }$

(1)

имеет только конечное число решений (а,б,c,м,п,k) с различными тройками значений (а^м, б^п, c^k) куда а, б, c положительные совмещать целые числа и м, п, k натуральные числа, удовлетворяющие

${displaystyle {frac {1}{m}}+{frac {1}{n}}+{frac {1}{k}}<1.}$

(2)

Неравенство на м, п, и k является необходимой частью гипотезы. Без неравенства решений было бы бесконечно много, например с k = 1 (для любого а, б, м, и п и с c = а^м + б^п) или с м, п, и k все равны двум (для бесконечно многих известных Пифагорейские тройки ).

Известные решения

По состоянию на 2015 год известны следующие десять решений уравнения (1), отвечающих критериям уравнения (2):^[1]

${displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2};}$ (за ${displaystyle m>6}$ чтобы удовлетворить уравнение. 2)

${displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4};}$

${displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9};}$

${displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2};}$

${displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2};}$

${displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3};}$

${displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7};}$

${displaystyle 9262^{3}[phone]^{2}=113^{7};}$

${displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2};}$

${displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2};}$

Первый из них (1^м + 2³ = 3²) - единственное решение, в котором одно из а, б или же c равно 1, согласно Каталонское предположение, доказано в 2002 г. Преда Михайлеску. Хотя этот случай приводит к бесконечному числу решений (1) (так как можно выбрать любое м за м > 6), эти решения дают только одну тройку значений (а^м, б^п, c^k).

Частичные результаты

Он известен по теореме Дармона – Гранвилля, в которой используется Теорема Фальтингса, что для любого фиксированного выбора натуральных чисел м, п и k удовлетворяющие (2), только конечное число взаимно простых троек (а, б, c) решения (1) существуют.^{[2][3]:п. 64} Однако полная гипотеза Ферма – Каталана сильнее, поскольку она допускает экспоненты м, п и k варьироваться.

В гипотеза abc следует гипотеза Ферма – Каталана.^[4]

Список результатов для невозможных комбинаций показателей см. Гипотеза Била # частичные результаты. Гипотеза Биля верна тогда и только тогда, когда все решения Ферма – Каталонии имеют м = 2, п = 2 или k = 2.

Смотрите также

• Суммы полномочий, список связанных гипотез и теорем

Рекомендации

1. Померанс, Карл (2008), «Вычислительная теория чисел», в Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.), Принстонский компаньон математики, Princeton University Press, стр. 361–362, ISBN  978-0-691-11880-2.
2. Darmon, H .; Гранвилл, А. (1995). "Об уравнениях z^м = F(Икс, у) и Топор^п + К^q = Чехия^р". Бюллетень Лондонского математического общества. 27: 513–43. Дои:10.1112 / blms / 27.6.513.
3. Элкис, Ноам Д. (2007). "Азбука теории чисел" (PDF). Обзор математики Гарвардского колледжа. 1 (1).
4. Вальдшмидт, Мишель (2015). "Лекция по ${displaystyle abc}$ гипотеза и некоторые ее следствия ». Математика в 21 веке (PDF). Springer Proc. Математика. Стат. 98. Базель: Springer. С. 211–230. Дои:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. МИСТЕР  3298238.

внешняя ссылка

• Perfect Powers: работы Пиллаи и их разработки. Вальдшмидт, М.