Теорема Тийдеманса - Tijdemans theorem - Wikipedia

В теория чисел, Теорема Тийдемана утверждает, что существует не более конечного числа последовательных степеней. Другими словами, множество решений в целых числах Икс, у, п, м из экспоненциальное диофантово уравнение

для экспонентов п и м больше единицы, конечно.[1][2]

История

Теорема была доказана голландским теоретиком чисел. Роберт Тийдеман в 1976 г.[3] используя Метод Бейкера в трансцендентная теория чисел дать эффективный верхняя граница для Икс,у,м,п. Мишель Ланжевен вычислил значение exp exp exp exp exp 730 для границы.[1][4][5]

Теорема Тейдемана дала мощный импульс к окончательному доказательству Гипотеза Каталана к Преда Михайлеску.[6] Теорема Михайлеску утверждает, что есть только один член в наборе последовательных пар степеней, а именно 9 = 8 + 1.[7]

Обобщенная проблема Тийдемана

То, что полномочия являются последовательными, существенно для доказательства Тийдемана; если мы заменим разницу 1 любой другой разницей k и спросите количество решений

с п и м больше одного у нас есть нерешенная проблема,[8] называется обобщенной проблемой Тейдемана. Предполагается, что это множество также будет конечным. Это следует из еще более сильной гипотезы Суббайя Шивасанкаранараяна Пиллай (1931), см. Гипотеза Каталана, утверждая, что уравнение имеет только конечное число решений. Истинность гипотезы Пиллаи, в свою очередь, вытекала бы из истинности гипотеза abc.[9]

Рекомендации

  1. ^ а б Наркевич, Владислав (2011), Рациональная теория чисел в 20 веке: от PNT к FLT, Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag, п. 352, ISBN  978-0-857-29531-6
  2. ^ Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовы приближения и диофантовы уравнения, Конспект лекций по математике, 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag, п. 207, ISBN  978-3-540-54058-8, Zbl  0754.11020
  3. ^ Тийдеман, Роберт (1976), "Об уравнении каталонского языка", Acta Arithmetica, 29 (2): 197–209, Дои:10.4064 / aa-29-2-197-209, Zbl  0286.10013
  4. ^ Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций о Великой теореме Ферма, Springer-Verlag, п. 236, г. ISBN  978-0-387-90432-0, Zbl  0456.10006
  5. ^ Ланжевен, Мишель (1977), "Quelques application de nouveaux résultats de Van der Poorten", Семинэр Деланж-Пизо-Пуату, Анне 17 (1975/76), Теория де Номбр, 2 (G12), МИСТЕР  0498426
  6. ^ Метсянкюля, Тауно (2004), «Гипотеза Каталонии: решена еще одна старая диофантова проблема» (PDF), Бюллетень Американского математического общества, 41 (1): 43–57, Дои:10.1090 / S0273-0979-03-00993-5
  7. ^ Михэилеску, Преда (2004), "Первичные циклотомические единицы и доказательство гипотезы Каталонии", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 2004 (572): 167–195, Дои:10.1515 / crll.2004.048, МИСТЕР  2076124
  8. ^ Shorey, Tarlok N .; Тийдеман, Роберт (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения. Кембриджские трактаты по математике. 87. Издательство Кембриджского университета. п. 202. ISBN  978-0-521-26826-4. МИСТЕР  0891406. Zbl  0606.10011.
  9. ^ Наркевич (2011), стр. 253–254