Теорема Шевалле – Предупреждение - Chevalley–Warning theorem

В теории чисел Теорема Шевалле – Предупреждение подразумевает, что определенные полиномиальные уравнения от достаточно многих переменных над конечное поле есть решения. Это доказал Эвальд Предупреждение (1935 ) и несколько более слабую форму теоремы, известную как Теорема Шевалле, было доказано Chevalley  (1935 ). Из теоремы Шевалле следует гипотеза Артина и Диксона о том, что конечные поля являются квазиалгебраически замкнутые поля (Артин 1982, стр. x).

Формулировка теорем

Позволять ${\displaystyle \mathbb {F} }$ - конечное поле и ${\displaystyle \{f_{j}\}_{j=1}^{r}\subseteq \mathbb {F} [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ - набор многочленов такой, что количество переменных удовлетворяет

${\displaystyle n>\sum _{j=1}^{r}d_{j}}$

куда ${\displaystyle d_{j}}$ это общая степень из ${\displaystyle f_{j}}$. Эти теоремы представляют собой утверждения о решениях следующей системы полиномиальных уравнений

${\displaystyle f_{j}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\quad {\text{for}}\,j=1,\ldots ,r.}$

• Теорема Шевалле – Предупреждение заявляет, что количество общих решений ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {F} ^{n}}$ делится на характеристика ${\displaystyle p}$ из ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Или, другими словами, мощность исчезающего множества ${\displaystyle \{f_{j}\}_{j=1}^{r}}$ является ${\displaystyle 0}$ по модулю ${\displaystyle p}$.
• Теорема Шевалле утверждает, что если система имеет тривиальное решение ${\displaystyle (0,\dots ,0)\in \mathbb {F} ^{n}}$, т.е. если полиномы не имеют постоянных членов, то система также имеет нетривиальное решение ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {F} ^{n}\backslash \{(0,\dots ,0)\}}$.

Теорема Шевалле является непосредственным следствием теоремы Шевалле – Предупреждения, поскольку ${\displaystyle p}$ не меньше 2.

Обе теоремы являются наилучшими в том смысле, что при любом ${\displaystyle n}$, список ${\displaystyle f_{j}=x_{j},j=1,\dots ,n}$ имеет общую степень ${\displaystyle n}$ и только тривиальное решение. В качестве альтернативы, используя только один полином, мы можем взять ж₁ быть степень п полином, заданный норма из Икс₁а₁ + ... + Икс_па_п где элементы а составляют основу конечного поля порядка п^п.

Уорнинг доказал другую теорему, известную как вторая теорема Уординга, которая утверждает, что если система полиномиальных уравнений имеет тривиальное решение, то она имеет не менее ${\displaystyle q^{n-d}}$ решения, где ${\displaystyle q}$ - размер конечного поля и ${\displaystyle d:=d_{1}+\dots +d_{r}}$. Теорема Шевалле также непосредственно следует из этого.

Доказательство теоремы Предупреждения

Замечание: Если ${\displaystyle i<q-1}$ тогда

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbb {F} }x^{i}=0}$

итак сумма больше ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ любого полинома от ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ степени меньше чем ${\displaystyle n(q-1)}$ тоже пропадает.

Общее количество общих решений по модулю ${\displaystyle p}$ из ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}=0}$ равно

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbb {F} ^{n}}(1-f_{1}^{q-1}(x))\cdot \ldots \cdot (1-f_{r}^{q-1}(x))}$

потому что каждый член равен 1 для решения и 0 в противном случае. Если сумма степеней многочленов ${\displaystyle f_{i}}$ меньше чем п то это исчезает по замечанию выше.

Гипотеза Артина

Это следствие теоремы Шевалле, что конечные поля являются квазиалгебраически замкнутый. Это было предположено Эмиль Артин в 1935 г. Мотивацией гипотезы Артина было его наблюдение, что квазиалгебраически замкнутые поля имеют тривиальные Группа Брауэра вместе с тем фактом, что конечные поля имеют тривиальную группу Брауэра в силу Теорема Веддерберна.

Теорема Акс-Каца

В Теорема Акс-Каца, названный в честь Джеймс Экс и Николас Кац, более точно определяет мощность ${\displaystyle q^{b}}$ мощности ${\displaystyle q}$ из ${\displaystyle \mathbb {F} }$ разделение количества решений; здесь, если ${\displaystyle d}$ самый большой из ${\displaystyle d_{j}}$, то показатель степени ${\displaystyle b}$ можно рассматривать как функция потолка из

${\displaystyle {\frac {n-\sum _{j}d_{j}}{d}}.}$

Результат Axe – Katz имеет интерпретацию в этальные когомологии как результат делимости для (обратных) нулей и полюсов локальная дзета-функция. А именно та же мощность ${\displaystyle q}$ разделяет каждый из этих алгебраические целые числа.

Смотрите также

• Комбинаторный Nullstellensatz

Рекомендации

• Артин, Эмиль (1982), Lang, Serge .; Тейт, Джон (ред.), Сборник статей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90686-7, МИСТЕР  0671416
• Топор, Джеймс (1964), «Нули многочленов над конечными полями», Американский журнал математики, 86: 255–261, Дои:10.2307/2373163, МИСТЕР  0160775
• Шевалле, Клод (1935), "Демонстрация гипотезы М. Артина", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (На французском), 11: 73–75, Дои:10.1007 / BF02940714, JFM  61.1043.01, Zbl  0011.14504
• Кац, Николас М. (1971), «Об одной теореме Ax», Амер. J. Math., 93 (2): 485–499, Дои:10.2307/2373389
• Предупреждение, Эвальд (1935), "Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (на немецком), 11: 76–83, Дои:10.1007 / BF02940715, JFM  61.1043.02, Zbl  0011.14601
• Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики, стр.5–6, ISBN  0-387-90040-3

внешняя ссылка

• "Доказательства теоремы Шевалле-Предупреждения".