Теорема Акс-Кохена - Ax–Kochen theorem

В Теорема Акс-Кохена, названный в честь Джеймс Экс и Саймон Б. Кочен, утверждает, что для каждого положительного целого числа d есть конечное множество Y_d простых чисел, таких что если п любое простое число не в Y_d то всякий однородный многочлен степени d над p-адические числа по крайней мере d² + 1 переменная имеет нетривиальный нуль.^[1]

Доказательство теоремы

В доказательстве теоремы широко используются методы из математическая логика, такие как теория моделей.

Одно первое доказывает Серж Ланг теорема, утверждающая, что аналогичная теорема верна для поля F_п((т)) формальных Серия Laurent через конечное поле F_п с участием ${displaystyle Y_{d}=varnothing }$. Другими словами, каждый однородный многочлен степени d с более чем d² переменных имеет нетривиальный нуль (так что F_п((т)) это C₂ поле ).

Тогда один показывает, что если два Хенселян ценится поля имеют эквивалентные оценочные группы и поля вычетов, а поля вычетов имеют характеристика 0, то они элементарно эквивалентны (что означает, что предложение первого порядка верно для одного тогда и только тогда, когда оно верно для другого).

Затем применяется это к двум полям, одному из которых задается сверхпродукт по всем простым полям F_п((т)), а другой - ультрапроизведение по всем простым числам п-адические поля Q_пОба поля вычетов задаются ультрапроизведением над полями F_п, поэтому изоморфны и имеют характеристику 0, и обе группы значений одинаковы, поэтому ультрапродукты элементарно эквивалентны. (Взятие ультрапроизведений используется для того, чтобы заставить поле вычетов иметь характеристику 0; поля вычетов F_п((т))и Q_п оба имеют ненулевую характеристику п.)

Из элементарной эквивалентности этих ультрапроизведений следует, что для любого предложения на языке значных полей существует конечное множество Y исключительных простых чисел, таких что для любого п не в этом наборе предложение верно для F_п((т)) тогда и только тогда, когда это верно для поля п-адические числа. Применяя это к предложению о том, что каждый непостоянный однородный многочлен степени d по крайней мере d²+1 переменная представляет 0, и, используя теорему Лэнга, можно получить теорему Акс-Кохена.

Альтернативное доказательство

Ян Денеф нашел чисто геометрическое доказательство гипотезы Жан-Луи Коллио-Телен которое обобщает теорему Акс-Кохена.^[2][3]

Исключительные простые числа

Эмиль Артин предположил эту теорему с конечным исключительным множеством Y_d быть пустым (то есть все п-адические поля C₂ ), но Гай Терджанян^[4] нашел следующий 2-адический контрпример для d = 4. Определить

${displaystyle G(x)=G(x_{1},x_{2},x_{3})=sum x_{i}^{4}-sum _{i,<,j}x_{i}^{2}x_{j}^{2}-x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}).}$

потом г имеет свойство 1 mod 4, если некоторые Икс нечетно, иначе 0 по модулю 16. Отсюда легко следует, что однородная форма

г(Икс) + г(y) + г(z) + 4г(ты) + 4г(v) + 4г(ш)

степени d = 4 из 18>d² переменных не имеет нетривиальных нулей над 2-адическими целыми числами.

Позднее Терджанян^[5] показал, что для каждого простого п и несколько d > 2 из п(п - 1), над п-адические числа степени d с более чем d² переменные, но нет нетривиальных нулей. Другими словами, для всех d > 2, Y_d содержит все простые числа п такой, что п(п - 1) делит d.

Браун (1978) дал явную, но очень большую оценку исключительного множества простых чиселп. Если степень d равно 1, 2 или 3, исключительное множество пусто. Хит-Браун (2010) показал, что если d = 5 исключительное множество ограничено числом 13, и Вули (2008) показал, что для d = 7 исключительное множество ограничено числом 883 и при d = 11 ограничено числом 8053.

Смотрите также

• Теорема Брауэра о формах
• Квазиалгебраическое замыкание

Заметки

1. Джеймс Экс и Саймон Кочен, Диофантовы проблемы над локальными полями I., Американский журнал математики, 87, страницы 605–630, (1965)
2. Денеф, янв. «Доказательство гипотезы Коллио-Телен» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 11 апреля 2017 г.
3. Денеф, янв (2016), Геометрические доказательства теорем Акс-Кочена и Эрсова., arXiv:1601.03607, Bibcode:2016arXiv160103607D
4. Терджанян, Гай (1966). «Неудачный пример из гипотезы Артина». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, серия A-B (На французском). 262: A612. Zbl  0133.29705.
5. Гай Терджанян, Формы п-adiques анизотропы. (Французский) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 313 (1980), страницы 217–220

использованная литература

• Браун, Скотт Шори (1978), «Границы принципов переноса для алгебраически замкнутых и полных дискретнозначных полей», Мемуары Американского математического общества, 15 (204), Дои:10.1090 / memo / 0204, ISBN  978-0-8218-2204-3, ISSN  0065-9266, Г-Н  0494980
• Chang, C.C .; Кейслер, Х. Джером (1989). Модельная теория (третье изд.). Эльзевир. ISBN  978-0-7204-0692-4. (Следствие 5.4.19)
• Хит-Браун, Д. Р. (2010), "Нули p-адических форм", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 100 (2): 560–584, arXiv:0805.0534, Дои:10.1112 / plms / pdp043, ISSN  0024-6115, Г-Н  2595750
• Вули, Тревор Д. (2008), «Гипотеза Артина для септических и неидектических форм», Acta Arithmetica, 133 (1): 25–35, Bibcode:2008AcAri.133 ... 25 Вт, Дои:10.4064 / aa133-1-2, ISSN  0065-1036, Г-Н  2413363