Кристаллические когомологии

В математике кристаллические когомологии это Теория когомологий Вейля за схемы Икс над базовым полем k. Его ценности ЧАС^п(Икс/W) находятся модули над звенеть W из Векторы Витта над k. Он был представлен Александр Гротендик (1966, 1968 ) и разработан Пьер Бертло (1974 ).

Кристаллическая когомология частично вдохновлена п-адический доказательство в Дворк (1960) части Гипотезы Вейля и тесно связан с алгебраической версией когомологии де Рама это было введено Гротендик (1963). Грубо говоря, кристаллические когомологии разнообразие Икс в характеристике п - когомологии де Рама гладкого лифта Икс характеристике 0, а когомологии де Рама Икс - приведенная модификация кристаллических когомологий п (с учетом более высоких Торs ).

Идея кристаллических когомологий, грубо говоря, состоит в замене Открытые наборы Зарисского схемы бесконечно малыми утолщениями открытых множеств Зарисского с разделенные силовые структуры. Причина в том, что его можно вычислить, взяв локальный подъем схемы от характеристики п к характеристике 0 и используя соответствующую версию алгебраических когомологий де Рама.

Кристаллические когомологии хорошо работают только для гладких правильных схем. Жесткие когомологии распространяет его на более общие схемы.

Приложения

Для схем в характеристика п теория кристаллических когомологий может ответить на вопросы о п-кручение в группах когомологий лучше, чем п-адические этальные когомологии. Это делает его естественным фоном для большей части работы над p-адические L-функции.

Кристаллические когомологии, с точки зрения теории чисел, заполняют пробел в l-адические когомологии информация, которая возникает именно там, где есть «равные характеристические простые числа». Традиционно заповедник теория разветвления, кристаллические когомологии превращают эту ситуацию в Модуль Дьедонне теория, дающая важные сведения об арифметических задачах. Предположения с широким размахом о том, как превратить это в формальные утверждения, были высказаны Жан-Марк Фонтен, разрешение которого называется p-адическая теория Ходжа.

Коэффициенты

Если Икс является многообразием над алгебраически замкнутым полем характеристика п > 0, то ${displaystyle ell}$ -адические когомологии группы для ${displaystyle ell}$ любое простое число кроме п дать удовлетворительные группы когомологий Икс, с коэффициентами в кольце ${displaystyle mathbb {Z} _ {ell}}$ из ${displaystyle ell}$ -адические целые числа. Найти аналогичные группы когомологий с коэффициентами в п-адические числа (или рациональные числа, или целые числа).

Классическая причина (из-за Серра) заключается в том, что если Икс это суперсингулярная эллиптическая кривая, то его кольцо эндоморфизмов генерирует кватернионная алгебра над Q который не разделен на п и бесконечность. Если Икс имеет группу когомологий над п-адические целые числа с ожидаемой размерностью 2, кольцо эндоморфизмов имело бы двумерное представление; и это невозможно, так как он не разделен на п. (Довольно тонкий момент заключается в том, что если Икс - суперсингулярная эллиптическая кривая над простым полем с п элементов, то его кристаллические когомологии являются свободным модулем ранга 2 над п-адические целые числа. Приведенные аргументы неприменимы в этом случае, потому что некоторые из эндоморфизмов суперсингулярных эллиптических кривых определены только над квадратичное расширение области заказа п.)

Теория кристаллических когомологий Гротендика обходит это препятствие, потому что принимает значения в кольце Векторы Витта над наземное поле. Итак, если поле земли алгебраическое замыкание области заказа п, его значения являются модулями над п-адическое завершение максимальное неразветвленное расширение из п-адические целые числа, гораздо большее кольцо, содержащее пкорни единства для всех п не делится на п, а не через п-адические целые числа.

Мотивация

Одна идея для определения теории когомологий Вейля многообразия Икс над полем k характерных п состоит в том, чтобы «поднять» его до разнообразия Икс* над кольцом векторов Витта k (это возвращает Икс на редуцирование мод p ), затем рассмотрим когомологии де Рама этого лифта. Проблема в том, что вовсе не очевидно, что эта когомология не зависит от выбора подъема.

Идея кристаллических когомологий в характеристике 0 состоит в том, чтобы найти прямое определение теории когомологий как когомологий постоянных пучков на подходящем сайт

Inf (Икс)

над Икс, называется бесконечно малый сайт а затем покажите, что это то же самое, что и когомологии де Рама любого лифта.

Сайт Inf (Икс) - категория, объекты которой можно рассматривать как своего рода обобщение обычных открытых множеств Икс. В характеристике 0 его объекты представляют собой бесконечно малые утолщения. U→Т из Зариски открытый подмножества U из Икс. Это означает, что U замкнутая подсхема схемы Т определяемый нильпотентным пучком идеалов на Т; например, Spec (k) → Спец (k[Икс]/(Икс²)).

Гротендик показал, что для гладких схем Икс над C, когомологии пучка О_Икс на Inf (Икс) совпадает с обычными (гладкими или алгебраическими) когомологиями де Рама.

В характеристике п наиболее очевидный аналог кристаллического узла, определенного выше в характеристике 0, не работает. Причина примерно в том, что для доказательства точности комплекса де Рама нужна какая-то Лемма Пуанкаре, доказательство которого, в свою очередь, использует интегрирование, а интегрирование требует различных разделенных степеней, которые существуют в характеристике 0, но не всегда в характеристике п. Гротендик решил эту проблему, определив объекты кристаллического узла Икс быть примерно бесконечно малыми утолщениями открытых подмножеств Зарисского Иксвместе с разделенная структура власти предоставление необходимых разделенных полномочий.

Будем работать над кольцом W_п = W/п^пW из Векторы Витта длины п над идеальным полем k характерных п> 0. Например, k может быть конечным полем порядка п, и W_п тогда кольцо Z/п^пZ. (В более общем плане можно работать над базовой схемой S имеющий фиксированный пучок идеалов я с разделенной властной структурой.) Если Икс это схема над k, то кристаллический сайт Икс относительно W_п, обозначенный Cris (Икс/W_п), имеет в качестве объектов парыU→Т состоящее из замкнутого погружения открытого подмножества Зарисского U из Икс в некоторые W_п-схема Т определяется пучком идеалов J, вместе с разделенной властной структурой на J совместим с одним на W_п.

Кристаллические когомологии схемы. Икс над k определяется как обратный предел

{displaystyle H ^ {i} (X / W) = varprojlim H ^ {i} (X / W_ {n})}

куда

{displaystyle H ^ {i} (X / W_ {n}) = H ^ {i} (имя оператора {Cris} (X / W_ {n}), O)}

- когомология кристаллического узла Икс/W_п со значениями в пучке колец О := О_{W_п}.

Ключевым моментом теории является то, что кристаллические когомологии гладкой схемы Икс над k часто можно вычислить в терминах алгебраических когомологий де Рама правильного и гладкого подъема Икс к схеме Z над W. Есть канонический изоморфизм

{displaystyle H ^ {i} (X / W) = H_ {DR} ^ {i} (Z / W) quad (= H ^ {i} (Z, Омега _ {Z / W} ^ {*}) = varprojlim H ^ {i} (Z, Омега _ {Z / W_ {n}} ^ {*}))}

кристаллических когомологий Икс с когомологиями де Рама Z над формальная схема из W(обратный предел гиперкогомологий комплексов дифференциальных форм), и наоборот, когомологии де Рама Икс может быть восстановлен как мод сокращения п его кристаллических когомологий (после принятия более высоких Торs во внимание).

Кристаллы

Если Икс это схема над S затем связка О_Икс/S определяется О_Икс/S(Т) = координатное кольцо Т, где мы пишем Т как сокращение для объекта U → Т Криса (Икс/S).

А кристалл на сайте Крис (Икс/S) является пучком F из О_Икс/S модули, которые жесткий в следующем смысле:

для любой карты ж между объектами Т, Т′ Криса (Икс/S), естественное отображение из ж^*F(Т) к F(Т′) Является изоморфизмом.

Это похоже на определение квазикогерентный пучок модулей в топологии Зарисского.

Примером кристалла является сноп О_Икс/S.

Период, термин кристалл связанных с теорией, объясненной в письме Гротендика к Тейт (1966), была метафорой, вдохновленной определенными свойствами алгебраические дифференциальные уравнения. Они сыграли роль в п-адические теории когомологий (предшественники кристаллической теории, введенные в различных формах Dwork, Монски, Вашницер, Любкин и Кац ) особенно в работе Дворка. Такие дифференциальные уравнения достаточно легко сформулировать с помощью алгебраических Кошульские связи, но в п-адическая теория аналог аналитическое продолжение загадочнее (так как п-адические диски скорее не пересекаются, чем перекрываются). Указом кристалл имел бы «жесткость» и «распространение», заметные в случае аналитического продолжения комплексных аналитических функций. (См. Также жесткие аналитические пространства представлен Джон Тейт, в 1960-е годы, когда эти вопросы активно обсуждались.)

Кристаллические когомологии - Crystalline cohomology

Содержание

Приложения

Коэффициенты

Мотивация

Кристаллические когомологии

Кристаллы

Смотрите также

Рекомендации