Кватернионная алгебра - Quaternion algebra

В математика, а кватернионная алгебра над полем F это центральная простая алгебра А над F^[1][2] что имеет размерность 4 больше F. Каждая кватернионная алгебра становится матричной алгеброй по расширение скаляров (эквивалентно, натяжение с расширением поля), т.е.для подходящего расширение поля K из F, ${\displaystyle A\otimes _{F}K}$ изоморфна 2 × 2 матричная алгебра над K.

Понятие кватернионной алгебры можно рассматривать как обобщение теории Гамильтона. кватернионы произвольному базовое поле. Кватернионы Гамильтона представляют собой алгебру кватернионов (в указанном выше смысле) над ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ (в поле действительных чисел ), и действительно единственный ${\displaystyle \mathbb {R} }$ кроме 2 × 2 вещественная матрица алгебра, до изоморфизм. Когда ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$, то бикватернионы образуют алгебру кватернионов над F.

Структура

Кватернионная алгебра здесь означает нечто более общее, чем алгебра Гамильтона. кватернионы. Когда поле коэффициентов F не имеет характеристики 2, любая алгебра кватернионов над F можно описать как 4-мерную F-векторное пространство с основанием ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$, со следующими правилами умножения:

${\displaystyle i^{2}=a}$

${\displaystyle j^{2}=b}$

${\displaystyle ij=k}$

${\displaystyle ji=-k}$

где а и б любые заданные ненулевые элементы F. Из этих правил получаем:

${\displaystyle k^{2}=ijij=-iijj=-ab}$

Классические примеры, когда ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ - кватернионы Гамильтона (а = б = −1) и сплит-кватернионы (а = −1, б = +1). В сплит-кватернионах ${\displaystyle k^{2}=+1}$ и ${\displaystyle jk=-i}$, вопреки уравнениям Гамильтона.

Определенная таким образом алгебра обозначается (а,б)_F или просто (а,б).^[3] Когда F имеет характеристику 2, другое явное описание в терминах базиса из 4 элементов также возможно, но в любом случае определение алгебры кватернионов над F как 4-мерную центральную простую алгебру над F применяется единообразно по всем характеристикам.

Алгебра кватернионов (а,б)_F является либо алгебра с делением или изоморфен матричная алгебра матриц 2 × 2 над F: последний случай называется Трещина.^[4] В форма нормы

${\displaystyle N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}\ }$

определяет структуру алгебра с делением тогда и только тогда, когда норма анизотропная квадратичная форма, то есть ноль только на нулевом элементе. В конический C(а,б) определяется

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}\ }$

имеет смысл (Икс,у,z) с координатами в F в раздельном случае.^[5]

заявка

Кватернионные алгебры применяются в теория чисел особенно для квадратичные формы. Это бетонные конструкции, которые порождают элементы второго порядка в Группа Брауэра из F. Для некоторых полей, включая поля алгебраических чисел, каждый элемент порядка 2 в своей группе Брауэра представлен алгеброй кватернионов. Теорема о Александр Меркурьев означает, что каждый элемент порядка 2 в группе Брауэра любого поля представлен тензорное произведение кватернионных алгебр.^[6] В частности, более п-адические поля построение кватернионных алгебр можно рассматривать как квадратичную Символ Гильберта из теория поля локальных классов.

Классификация

Это теорема Фробениус что существует только две вещественные алгебры кватернионов: матрицы 2 × 2 над действительными числами и действительные кватернионы Гамильтона.

Аналогичным образом по любому местное поле F есть ровно две алгебры кватернионов: матрицы 2 × 2 над F и алгебра с делением. Но кватернионная алгебра с делением над локальным полем обычно не Кватернионы Гамильтона над полем. Например, над п-адические числа Кватернионы Гамильтона являются алгеброй с делением только тогда, когда п равно 2. Для нечетного простого числа п, то п-адические кватернионы Гамильтона изоморфны матрицам 2 × 2 над п-adics. Чтобы увидеть п-адические кватернионы Гамильтона не являются алгеброй с делением нечетных простых чисел. пзаметим, что сравнение Икс² + у² = −1 мод п разрешима и поэтому Лемма Гензеля - вот где п быть нечетным - уравнение

Икс² + у² = −1

разрешима в п-адические числа. Следовательно, кватернион

xi + yj + k

имеет норму 0 и, следовательно, не имеет мультипликативный обратный.

Один из способов классификации F-алгебр изоморфизм классы всех кватернионных алгебр для данного поля, F заключается в использовании взаимно однозначного соответствия между классами изоморфизма кватернионных алгебр над F и классы изоморфизма их формы нормы.

Каждой кватернионной алгебре А, можно сопоставить квадратичную форму N (называется форма нормы ) на А такой, что

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

для всех Икс и у в А. Оказывается, что возможные формы нормы для кватерниона F-алгебры - это в точности Пфистер 2-формы.

Кватернионные алгебры над рациональными числами

Алгебры кватернионов над рациональными числами имеют арифметическую теорию, аналогичную, но более сложную, чем теория квадратичных расширений ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Позволять ${\displaystyle B}$ быть кватернионной алгеброй над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и разреши ${\displaystyle \nu }$ быть место из ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, с завершением ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ (так что либо п-адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ для некоторых премьер п или реальные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Определить ${\displaystyle B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B}$, которая является кватернионной алгеброй над ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$. Итак, есть два варианта для${\displaystyle B_{\nu }}$: матрицы 2 на 2 над ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ или алгебра с делением.

Мы говорим что ${\displaystyle B}$ является Трещина (или неразветвленный) в ${\displaystyle \nu }$ если ${\displaystyle B_{\nu }}$ изоморфна матрицам 2 × 2 над ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$. Мы говорим что B является неразделенный (или разветвленный) в ${\displaystyle \nu }$ если ${\displaystyle B_{\nu }}$ алгебра кватернионов с делением над ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$. Например, рациональные кватернионы Гамильтона не расщепляются в 2 и в ${\displaystyle \infty }$ и разделить на все нечетные простые числа. Рациональные матрицы 2 на 2 разбиваются во всех местах.

Алгебра кватернионов над рациональными числами, которая расщепляется на ${\displaystyle \infty }$ аналогичен настоящему квадратичное поле и тот, который не разделен на ${\displaystyle \infty }$ аналогично мнимому квадратичному полю. Аналогия исходит из квадратичного поля, имеющего вещественные вложения, когда минимальный многочлен для генератора разбивается на действительные числа, и нереальных вложений в противном случае. Одна из иллюстраций силы этой аналогии касается группы единиц в порядке рациональной алгебры кватернионов: он бесконечен, если алгебра кватернионов расщепляется в ${\displaystyle \infty }$^{[нужна цитата ]} и конечно иначе^{[нужна цитата ]}, так же, как группа единиц порядка в квадратичном кольце бесконечна в вещественно-квадратичном случае и конечна в противном случае.

Число мест, где разветвляется кватернионная алгебра над рациональными числами, всегда четно, и это эквивалентно квадратичный закон взаимности над рациональными числами. B разветвляется определяет B с точностью до изоморфизма как алгебры. (Другими словами, неизоморфные алгебры кватернионов над рациональными числами не имеют одного и того же набора разветвленных мест.) Произведение простых чисел, в которых B разветвляется называется дискриминант из B.

Смотрите также

• Составная алгебра
• Циклическая алгебра
• Октонионная алгебра
• Кватернионный порядок Гурвица
• Кватернион Гурвица

Заметки

1. См. Пирса. Ассоциативные алгебры. Springer. Лемма на странице 14.
2. См. Milies & Sehgal, Введение в групповые кольца, упражнение 17, глава 2.
3. Гилле и Самуэли (2006) стр.2
4. Гилле и Самуэли (2006) стр.3
5. Гилле и Самуэли (2006) стр.7
6. Лам (2005) стр.139

использованная литература

• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа. Кембриджские исследования в области высшей математики. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511607219. ISBN  0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. Г-Н  2104929. Zbl  1068.11023.

дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр; Рост, Маркус; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций. Публикации коллоквиума. 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0904-0. Г-Н  1632779. Zbl  0955.16001.
• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003). Арифметика трехмерных гиперболических многообразий. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4757-6720-9. ISBN  0-387-98386-4. Г-Н  1937957. См. Главу 2 (Алгебры кватернионов I) и главу 7 (Алгебры кватернионов II).
• Чисхолм, Хью, изд. (1911). "Алгебра". Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. (См. Раздел о кватернионах.)
• Кватернионная алгебра в Энциклопедия математики.