Теория поля локальных классов - Local class field theory

В математика, теория поля локальных классов, представлен Хельмут Хассе,^[1] это изучение абелевы расширения из местные поля; здесь «локальное поле» означает поле, которое является полным по модулю или дискретной оценке с конечным полем вычетов: следовательно, каждое локальное поле является изоморфный (как топологическое поле) к действительные числа р, то сложные числа C, а конечное расширение из п-адические числа Q_п (где п есть ли простое число ), либо конечное расширение поля формальная серия Laurent F_q((Т)) через конечное поле F_q.

Подходы к теории локальных полей классов

Теория поля локальных классов дает описание Группа Галуа г максимального абелевого расширения локального поля K через карту взаимности, которая действует из мультипликативной группы K^×=K {0}. Для конечного абелевого расширения L из K отображение взаимности индуцирует изоморфизм фактор-группы K^×/N(L^×) из K^× по группе норм N(L^×) расширения L^× группе Галуа Gal (L/K) расширения.^[2]

Теорема существования в локальной теории полей классов устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми подгруппами конечного индекса в мультипликативной группе K^× и конечные абелевы расширения поля K. Для конечного абелевого расширения L из K соответствующая открытая подгруппа конечного индекса является группой норм N(L^×). Карта взаимности отправляет более высокие группы единиц в более высокие подгруппы ветвления, см., Например, Гл. IV оф.^[3]

Используя локальное отображение взаимности, можно определить символ Гильберта и его обобщения. Нахождение явных формул для него - одно из направлений теории локальных полей, оно имеет долгую и богатую историю, см., Например, Сергей Востоков обзор.^[4]

Существуют когомологические подходы и некогомологические подходы к локальной теории полей классов. Когомологические подходы, как правило, не являются явными, поскольку они используют куб-произведение первых групп когомологий Галуа.

О различных подходах к локальной теории полей классов см. Гл. IV и разд. 7 гл. IV из ^[5] Они включают подход Хассе с использованием группы Брауэра, когомологический подходов, явные методы Юрген Нойкирх, Мишель Хазевинкель, то Теория Любина-Тейта и другие.

Обобщения локальной теории полей классов

Обобщения локальной теории полей классов на локальные поля с квазиконечным полем вычетов были легким расширением теории, полученной Дж. Уэплсом в 1950-х годах, см. Главу V книги.^{[требуется разъяснение ]}.^[6]

Явная теория поля p-класса для локальных полей с совершенными и несовершенными полями вычетов, которые не являются конечными, должна иметь дело с новым вопросом о группах норм бесконечного индекса. Соответствующие теории были построены Иван Фесенко.^[7][8]Некоммутативная локальная теория полей классов Фесенко для арифметически проконечных расширений Галуа локальных полей изучает соответствующее отображение локального коцикла взаимности и его свойства.^[9] Эту арифметическую теорию можно рассматривать как альтернативу теоретическому представлению локального соответствия Ленглендса.

Теория поля высшего локального класса

Для многомерное локальное поле ${\displaystyle K}$ существует более высокое локальное отображение взаимности, которое описывает абелевы расширения поля в терминах открытых подгрупп конечного индекса в Милнор К-групп поля. А именно, если ${\displaystyle K}$ является ${\displaystyle n}$-мерное локальное поле, тогда используется ${\displaystyle \mathrm {K} _{n}^{\mathrm {M} }(K)}$ или его разделенное частное с подходящей топологией. Когда ${\displaystyle n=1}$ теория становится обычной локальной теорией поля классов. В отличие от классического случая K-группы Милнора не удовлетворяют модульному спуску Галуа, если ${\displaystyle n>1}$. Общая многомерная теория локальных полей классов была развита К. Като и И. Фесенко.

Теория поля высшего локального класса является частью теория поля высшего класса который изучает абелевы расширения (соответственно абелевы накрытия) полей рациональных функций правильных регулярных схем, плоских над целыми числами.

Смотрите также

• Высшее местное поле
• Гипотезы местного Ленглендса
• Группа норм

использованная литература

1. Хассе, Х. (1930), "Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen"., Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком), 162: 145–154, Дои:10.1515 / crll.1930.162.145, ISSN  0075-4102, JFM  56.0165.03
2. Фесенко Иван и Востоков Сергей, Локальные поля и их расширения, 2-е изд., Американское математическое общество, 2002, ISBN  0-8218-3259-X
3. Фесенко Иван и Востоков Сергей, Локальные поля и их расширения, 2-е изд., Американское математическое общество, 2002, ISBN  0-8218-3259-X
4. "Сергей В. Востоков, Явные формулы для символа Гильберта, Приглашение в высшие локальные поля". Монографии по геометрии и топологии. 3: 81–90. 2000. Дои:10.2140 / gtm.2000.3.
5. Фесенко Иван и Востоков Сергей, Локальные поля и их расширения, 2-е изд., Американское математическое общество, 2002, ISBN  0-8218-3259-X
6. "Сергей В. Востоков, Явные формулы для символа Гильберта, Приглашение в высшие локальные поля". Монографии по геометрии и топологии. 3: 81–90. 2000. Дои:10.2140 / gtm.2000.3.
7. И. Фесенко (1994). "Локальная теория полей классов: случай совершенного поля вычетов". Известия Математики. Российская академия наук. 43 (1): 65–81.
8. Фесенко, И. (1996). «Об общих локальных картах взаимности». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 473: 207–222.
9. Фесенко, И. (2001). «Неабелевские локальные карты взаимности». Теория поля классов - ее столетие и перспективы, углубленные исследования чистой математики. С. 63–78. ISBN  4-931469-11-6.

дальнейшее чтение

• Фесенко, Иван; Востоков, Сергей (2002), Локальные поля и их расширения (2-е изд.) Американского математического общества, ISBN  978-0-19-504030-2
• Фесенко, Иван Борисович; Курихара, Масато, ред. (2000), Приглашение на высшие местные поля, Монографии по геометрии и топологии, 3 (Первое изд.), Уорикский университет: Издательства математических наук, Дои:10.2140 / gtm.2000.3, ISSN  1464-8989, Zbl  0954.00026
• Ивасава, Кенкичи (1986), Теория поля локальных классов, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-504030-2, Г-Н  0863740
• Нойкирх, Юрген (1986), Теория поля классов, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 280, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-15251-4, Г-Н  0819231
• Серр, Жан-Пьер (1967), "Теория поля локальных классов", в Касселсе, Джон Уильям Скотт; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 128–161, ISBN  978-0-9502734-2-6, Г-Н  0220701
• Серр, Жан-Пьер (1979) [1962], Corps Locaux (английский перевод: Local Fields), Тексты для выпускников по математике, 67, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90424-5, Г-Н  0150130