Теория когомологий Вейля - Weil cohomology theory

В алгебраическая геометрия, а Когомологии Вейля или же Теория когомологий Вейля это когомология удовлетворяющие определенным аксиомам о взаимодействии алгебраические циклы и группы когомологий. Название в честь Андре Вайль. Теории когомологий Вейля играют важную роль в теории мотивы, поскольку категория из Чау-мотивы универсален для теорий когомологий Вейля в том смысле, что любая теория когомологий Вейля влияет на мотивы Чжоу. Отметим, что, однако, категория мотивов Чжоу не дает теории когомологий Вейля, поскольку она не является абелевский.

Определение

А Теория когомологий Вейля это контравариантный функтор:

${\displaystyle H^{*}:\{{\text{smooth projective varieties over a field }}k\}\longrightarrow \{{\text{graded }}K{\text{-algebras}}\},}$

в соответствии с аксиомами ниже. Обратите внимание, что поле K не следует путать с k; первое - поле нулевой характеристики, называемое поле коэффициентов, а базовое поле k может быть произвольным. Предполагать Икс гладкий проективное алгебраическое многообразие измерения п, то оцененный K-алгебра

${\displaystyle H^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{i}H^{i}(X)}$

подлежит следующему:

• ${\displaystyle H^{i}(X)}$ конечномерны K-векторные пространства.

• ${\displaystyle H^{i}(X)}$ исчезнуть для я <0 или я > 2п.

• ${\displaystyle H^{2n}(X)}$ изоморфен K (так называемая карта ориентации).

• Есть Двойственность Пуанкаре, т.е. невырожденное спаривание:

${\displaystyle H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K.}$

• Есть канонический Кюннет изоморфизм:

${\displaystyle H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y).}$

• Существует велосипедная карта:

${\displaystyle \gamma _{X}:Z^{i}(X)\to H^{2i}(X),}$

где первая группа означает алгебраические циклы коразмерности я, удовлетворяющие определенным условиям совместности по функториальности ЧАС, изоморфизм Кюннета и такой, что для Икс точка, карта цикла - это включение Z ⊂ K.

• Слабая аксиома Лефшеца: Для любого гладкого сечение гиперплоскости j: W ⊂ Икс (т.е. W = Икс ∩ ЧАС, ЧАС некоторая гиперплоскость в объемлющем проективном пространстве) карты:

${\displaystyle j^{*}:H^{i}(X)\to H^{i}(W),}$

являются изоморфизмами для ${\displaystyle i\leqslant n-2}$ и мономорфизм для ${\displaystyle i\leqslant n-1.}$

• Жесткая аксиома Лефшеца: Позволять W быть сечением гиперплоскости и ${\displaystyle w=\gamma _{X}(W)\in H^{2}(X)}$ быть его изображением под картой классов цикла. В Оператор Лефшеца определяется как

${\displaystyle {\begin{cases}L:H^{i}(X)\to H^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w\end{cases}}}$

где точка обозначает произведение в алгебре ${\displaystyle H^{*}(X).}$ потом

${\displaystyle L^{i}:H^{n-i}(X)\to H^{n+i}(X)}$

является изоморфизмом для я = 1, ..., п.

Примеры

Существует четыре так называемых классических теории когомологий Вейля:

• особые (= Бетти) когомологии, относительно сортов более C как топологические пространства, используя их аналитическая топология (видеть ГАГА )

• когомологии де Рама над базовым полем характеристика ноль: более C определяется дифференциальные формы и вообще с помощью комплекса кэлеровых дифференциалов (см. алгебраические когомологии де Рама )

• l-адические когомологии для многообразий над полями характеристики, отличной от л

• кристаллические когомологии

Доказательства аксиом в случае когомологий Бетти и де Рама сравнительно просты и классичны, тогда как для л-адических когомологий, например, большинство перечисленных выше свойств являются глубокими теоремами.

Обнуление групп когомологий Бетти, размерность которых превышает удвоенную, ясно из того факта, что (комплексное) многообразие комплексной размерности п имеет реальное измерение 2п, поэтому эти высшие группы когомологий исчезают (например, сравнивая их с симплициальные (ко) гомологии ). Карта цикла также имеет простое объяснение: с учетом любого (сложного)я-мерное подмногообразие в (компактное многообразие) Икс сложного измерения п, можно проинтегрировать дифференциал (2n − i) -форма по этому подмногообразию. Классическое утверждение Двойственность Пуанкаре состоит в том, что это дает невырожденное спаривание:

${\displaystyle H_{i}(X)\otimes H_{\text{dR}}^{2n-i}(X)\to \mathbf {C} ,}$

таким образом (посредством сравнения когомологий де Рама и когомологий Бетти) получается изоморфизм:

${\displaystyle H_{i}(X)\cong H_{\text{dR}}^{2n-i}(X)^{\vee }\cong H^{i}(X).}$

Рекомендации

• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Wiley, Дои:10.1002/9781118032527, ISBN  978-0-471-05059-9, МИСТЕР  1288523 (содержит доказательства всех аксиом когомологий Бетти и де-Рама)
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7 (то же самое для л-адические когомологии)
• Клейман, С. Л. (1968), "Алгебраические циклы и гипотезы Вейля", Dix Exposés sur la cohomologie des schémas, Амстердам: Северная Голландия, стр. 359–386, МИСТЕР  0292838