Разделенная структура власти - Divided power structure

В математика, конкретно коммутативная алгебра, а разделенная структура власти это способ выражения формы ${displaystyle x^{n}/n!}$ имеет смысл, даже когда фактически невозможно разделить на ${displaystyle n!}$.

Определение

Позволять А быть коммутативное кольцо с идеальный я. А разделенная структура власти (или же PD-структура, после французского divisées puissances) на я это коллекция карт ${displaystyle gamma _{n}:I o I}$ за п = 0, 1, 2, ... такое, что:

1. ${displaystyle gamma _{0}(x)=1}$ и ${displaystyle gamma _{1}(x)=x}$ за ${displaystyle xin I}$, пока ${displaystyle gamma _{n}(x)in I}$ за п > 0.
2. ${displaystyle gamma _{n}(x+y)=sum _{i=0}^{n}gamma _{n-i}(x)gamma _{i}(y)}$ за ${displaystyle x,yin I}$.
3. ${displaystyle gamma _{n}(lambda x)=lambda ^{n}gamma _{n}(x)}$ за ${displaystyle lambda in A,xin I}$.
4. ${displaystyle gamma _{m}(x)gamma _{n}(x)=((m,n))gamma _{m+n}(x)}$ за ${displaystyle xin I}$, куда ${displaystyle ((m,n))={frac {(m+n)!}{m!n!}}}$ целое число.
5. ${displaystyle gamma _{n}(gamma _{m}(x))=C_{n,m}gamma _{mn}(x)}$ за ${displaystyle xin I}$, куда ${displaystyle C_{n,m}={frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}}$ целое число.

Для удобства обозначений ${displaystyle gamma _{n}(x)}$ часто пишется как ${displaystyle x^{[n]}}$ когда ясно, что имеется в виду разделенная структура власти.

Период, термин идеал разделенной мощности относится к идеалу с данной структурой разделенной власти, и кольцо разделенной мощности относится к кольцу с заданным идеалом с разделенной структурой власти.

Гомоморфизмы алгебр разделенных степеней - это гомоморфизмы колец, которые уважают структуру разделенных степеней в их источнике и цели.

Примеры

• Свободная алгебра разделенных степеней над ${displaystyle mathbb {Z} }$ на одном генераторе:

${displaystyle mathbb {Z} langle {x}angle :=mathbb {Z} left[x,{ frac {x^{2}}{2}},ldots ,{ frac {x^{n}}{n!}},ldots ight]subset mathbb {Q} [x].}$

• Если А является алгеброй над ${displaystyle mathbb {Q} ,}$ тогда каждый идеал я имеет уникальную структуру разделенной власти, где ${displaystyle gamma _{n}(x)={ frac {1}{n!}}cdot x^{n}.}$^[1] Действительно, это пример, который в первую очередь мотивирует определение.

• Если M является А-модуль, пусть ${displaystyle S^{ullet }M}$ обозначить симметрическая алгебра из M над А. Тогда его двойственный ${displaystyle (S^{ullet }M)^{vee }={ ext{Hom}}_{A}(S^{ullet }M,A)}$ имеет каноническую структуру разделенного силового кольца. Фактически, он канонически изоморфен естественному завершение из ${displaystyle Gamma _{A}({check {M}})}$ (см. ниже), если M имеет конечный ранг.

Конструкции

Если А есть любое кольцо, существует кольцо разделенной мощности

${displaystyle Alangle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}angle }$

состоящий из полиномы разделенной степени в переменных

${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},}$

это сумма мономы с разделенной степенью формы

${displaystyle cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}cdots x_{n}^{[i_{n}]}}$

с ${displaystyle cin A}$. Здесь идеал разделенной мощности - это набор полиномов разделенной мощности с постоянным коэффициентом 0.

В более общем смысле, если M является А-модуль, есть универсальный А-алгебра, называемая

${displaystyle Gamma _{A}(M),}$

с PD идеал

${displaystyle Gamma _{+}(M)}$

и А-линейная карта

${displaystyle M o Gamma _{+}(M).}$

(Случай полиномов разделенной степени является частным случаем, когда M это бесплатный модуль над А конечного ранга.)

Если я любой идеал кольца А, Существует универсальная конструкция который расширяет А с разделенными полномочиями элементов я чтобы получить разделенная огибающая мощности из я в А.

Приложения

Разделенная огибающая мощности - фундаментальный инструмент в теории Дифференциальные операторы ПД и кристаллические когомологии, где он используется для преодоления технических трудностей, возникающих в положительных характеристика.

Функтор разделенной мощности используется при построении ко-функторов Шура.

Рекомендации

1. Единственность следует из легко проверяемого факта, что, вообще говоря, ${displaystyle x^{n}=n!gamma _{n}(x)}$.

• Бертело, Пьер; Огус, Артур (1978). Заметки о кристаллических когомологиях. Анналы математических исследований. Princeton University Press. Zbl  0383.14010.
• Хазевинкель, Михиэль (1978). Формальные группы и приложения. Чистая и прикладная математика, серия монографий и учебников. 78. Эльзевир. п. 507. ISBN  0123351502. Zbl  0454.14020.