Цен ранг - Tsen rank

В математика, то Цен ранг из поле описывает условия, при которых система полиномиальные уравнения должен иметь решение в поле. Концепция названа в честь К. К. Цен, которые представили свое исследование в 1936 году.

Мы рассматриваем систему м полиномиальные уравнения в п переменные над полем F. Предположим, что все уравнения имеют постоянный член ноль, так что (0, 0, ..., 0) является общим решением. Мы говорим что F это Т_я-поле если каждая такая система степеней d₁, ..., d_м имеет общее ненулевое решение всякий раз, когда

${\displaystyle n>d_{1}^{i}+\cdots +d_{m}^{i}.\,}$

В Цен ранг из F самый маленький я такой, что F я сидела_я-поле. Мы говорим, что ранг Цен F бесконечно, если это не T_я-поле для любого я (например, если это формально реальный ).

Характеристики

• Поле имеет нулевой ранг Цен тогда и только тогда, когда оно алгебраически замкнутый.
• Конечное поле имеет ранг Tsen 1: это Теорема Шевалле – Предупреждение.
• Если F алгебраически замкнуто, то поле рациональных функций F(Икс) имеет ранг Цен 1.
• Если F имеет ранг Цен я, то поле рациональных функций F(Икс) имеет ранг Цен не более я + 1.
• Если F имеет ранг Цен я, то алгебраическое расширение F имеет ранг Цен не вышея.
• Если F имеет ранг Цен я, то продолжение F из степень трансцендентности k имеет ранг Цен не выше я + k.
• Существуют поля ранга Цен я для каждого целого числа я ≥ 0.

Форма нормы

Мы определяем нормальная форма уровня i на поле F быть однородным многочленом степени d в п=d^я переменные только с тривиальным нулем над F (исключаем случай п=d= 1). Наличие формы нормы на уровне я на F подразумевает, что F имеет ранг Цен не ниже я - 1. Если E является продолжением F конечной степени п > 1, то поле форма нормы за E/F - нормальная форма уровня 1. Если F допускает форму нормы уровня я тогда поле рациональных функций F(Икс) допускает форму нормы уровня я + 1. Это позволяет нам продемонстрировать существование полей любого заданного ценового ранга.

Диофантово измерение

В Диофантово измерение поля - наименьшее натуральное число k, если оно существует, такое, что поле класса C_k: то есть такой, что любой однородный многочлен степени d в N переменные имеют нетривиальный ноль всякий раз, когда N >  d^k. Алгебраически замкнутые поля имеют диофантову размерность 0; квазиалгебраически замкнутые поля размерности 1.^[1]

Ясно, что если поле T_я тогда это C_я, и т₀ и C₀ эквивалентны, каждый из которых эквивалентен алгебраической замкнутости. Неизвестно, равны ли в целом ранг Цена и диофантова размерность.

Смотрите также

• Теорема Цена

Рекомендации

1. Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 361. ISBN  3-540-37888-X.

• Цен, К. (1936). "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper". J. Chinese Math. Soc. 171: 81–92. Zbl  0015.38803.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы. Springer. ISBN  978-0-387-72487-4.