Теория Зайберга – Виттена - Seiberg–Witten theory

Для приложений к 4-многообразиям см. Инварианты Зайберга – Виттена..

В теоретическая физика, Теория Зайберга – Виттена теория, определяющая точное низкоэнергетическое эффективное действие (для безмассовых степеней свободы) ${displaystyle {mathcal {N}}=2}$ суперсимметричная калибровочная теория, а именно метрика пространство модулей вакуума.

Кривые Зайберга – Виттена

Вообще говоря, эффективные лагранжианы суперсимметричных калибровочных теорий в значительной степени определяются их голоморфными свойствами и поведением вблизи особенностей. В частности, в калибровочная теория с ${displaystyle {mathcal {N}}=2}$ расширенная суперсимметрия, пространство модулей вакуума является особым Кэлерово многообразие и его кэлерский потенциал ограничен вышеуказанными условиями.

В оригинальном подходе^[1][2], к Зайберг и Виттен, ограничения голоморфности и электромагнитной дуальности достаточно сильны, чтобы почти однозначно ограничивать препотенциал и, следовательно, метрику пространства модулей вакуума для теорий с ${displaystyle SU(2)}$ калибровочная группа.

В более общем плане рассмотрим пример с калибровочной группой SU (n). Классический потенциал

${displaystyle V(x)={frac {1}{g^{2}}}operatorname {Tr} [phi ,{ar {phi }}]^{2},}$

(1)

Это исчезает на пространстве модулей, так что вакуумное математическое ожидание ${displaystyle phi }$ калибровочно повернуть в подалгебру Картана, сделав ее бесследной диагональной комплексной матрицей ${displaystyle a}$.

Потому что поля ${displaystyle phi }$ больше не исчезают ожидаемое значение вакуума, другие поля становятся тяжелыми из-за эффекта Хиггса. Они интегрированы, чтобы найти эффективные ${displaystyle {mathcal {N}}=2}$ Абелева калибровочная теория. Его двухпроизводное, четырехфермионное низкоэнергетическое действие может быть выражено через одну голоморфную функцию ${displaystyle {mathcal {F}}}$, следующее:

${displaystyle {frac {1}{4pi }}operatorname {Im} {Bigl [}int d^{4} heta {frac {d{mathcal {F}}}{dA}}{ar {A}}+int d^{2} heta {frac {1}{2}}{frac {d^{2}{mathcal {F}}}{dA^{2}}}W_{alpha }W^{alpha }{Bigr ]},}$

(3)

${displaystyle {mathcal {F}}={frac {i}{2pi }}{mathcal {A}}^{2}operatorname {ln } {frac {{mathcal {A}}^{2}}{Lambda ^{2}}}+sum _{k=1}^{infty }{mathcal {F}}_{k}{frac {Lambda ^{4k}}{{mathcal {A}}^{4k}}}{mathcal {A}}^{2},}$

(4)

Первый член представляет собой расчет пертурбативного цикла, а второй - Немедленное включение часть, где k обозначает фиксированные номера инстантонов. В теориях, калибровочные группы которых являются продуктами унитарных групп, ${displaystyle {mathcal {F}}}$ можно точно вычислить, используя локализацию,^[3] и методы предельной формы.^[4]

Из ${displaystyle {mathcal {F}}}$ мы можем получить массу BPS частицы.

${displaystyle Mapprox |na+ma_{D}|,}$

(5)

${displaystyle a_{D}={frac {d{mathcal {F}}}{da}},}$

(6)

Один из способов интерпретировать это состоит в том, что эти переменные ${displaystyle a}$ и его дуал может быть выражен как периоды мероморфного дифференциала на римановой поверхности, называемой кривой Зайберга – Виттена.

Отношение к интегрируемым системам

Специальная кэлерова геометрия на пространстве модулей вакуума в теории Зайберга – Виттена может быть отождествлена ​​с геометрией базы комплексных полностью интегрируемая система. Полная фаза этой сложной полностью интегрируемой системы может быть отождествлена ​​с пространством модулей вакуума 4d теории, компактифицированным на окружности. Видеть Система Хитчина.

Препотенциал Зайберга – Виттена через инстантонный счет

Используя суперсимметричные методы локализации, можно явно определить инстантонную статистическую сумму ${displaystyle {mathcal {N}}=2}$ супер теория Янга-Миллса. Затем препотенциал Зайберга-Виттена может быть извлечен с использованием подхода локализации.^[5] из Никита Некрасов. Возникает в пределе плоского пространства ${displaystyle varepsilon _{1}}$, ${displaystyle varepsilon _{2} o 0}$, статистической суммы теории с учетом так называемого ${displaystyle Omega }$-фон. Последнее представляет собой специфический фон четырехмерного ${displaystyle {mathcal {N}}=2}$ супергравитация. Формально это можно спроектировать, подняв теория супер Янга – Миллса до шести измерений, затем компактифицируясь на 2-торе, в то же время скручивая четырехмерное пространство-время вокруг двух несжимаемых циклов. Кроме того, фермионы скручивают так, чтобы получить ковариантно постоянные спиноры, порождающие ненарушенные суперсимметрии. Два параметра ${displaystyle varepsilon _{1}}$, ${displaystyle varepsilon _{2}}$из ${displaystyle Omega }$-фон соответствуют углам вращения пространства-времени.

В Ω-фоне мы можем проинтегрировать все ненулевые моды, поэтому интеграл по путям с граничным условием ${displaystyle phi o a}$ в ${displaystyle x o infty }$ может быть выражена как сумма по инстантонному числу произведений и соотношений фермионных и бозонных детерминант, давая так называемые Некрасов статистическая сумма. В пределе, когда ${displaystyle varepsilon _{1}}$, ${displaystyle varepsilon _{2}}$ При приближении к 0 в этой сумме доминирует единственная седловая точка. С другой стороны, когда ${displaystyle varepsilon _{1}}$, ${displaystyle varepsilon _{2}}$ подход 0,

${displaystyle Z(a;varepsilon _{1},varepsilon _{2},Lambda )=exp left(-{frac {1}{varepsilon _{1}varepsilon _{2}}}left({mathcal {F}}(a;Lambda )+{mathcal {O}}(varepsilon _{1},varepsilon _{2})ight)ight),}$

(10)

держит.

Смотрите также

• Теория Гинзбурга – Ландау

Рекомендации

1. Зайберг, Натан; Виттен, Эдвард (1994). «Электромагнитная дуальность, монопольная конденсация и удержание в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса». Nucl. Phys. B. 426: 19–52. arXiv:hep-th / 9407087. Дои:10.1016/0550-3213(94)90124-4.
2. Зайберг, Натан; Виттен, Эдвард (1994). «Монополи, двойственность и нарушение киральной симметрии в N = 2 суперсимметричной КХД». Nucl. Phys. B. 431: 484–550. arXiv:hep-th / 9408099. Дои:10.1016/0550-3213(94)90214-3.
3. Некрасов, Никита (2002). "Препотенциал Зайберга-Виттена из инстантонного счета". Успехи теоретической и математической физики. 7 (5): 831–864. arXiv:hep-th / 0206161. Дои:10.4310 / ATMP.2003.v7.n5.a4.
4. Некрасов, Никита; Окуньков, Андрей (2003). «Теория Зайберга-Виттена и случайные разбиения». Прог. Математика. 244: 525–596. arXiv:hep-th / 0306238. Дои:10.1007/0-8176-4467-9_15.
5. Некрасов, Никита (2002). "Препотенциал Зайберга-Виттена из инстантонного счета". Успехи теоретической и математической физики. 7 (5): 831–864. arXiv:hep-th / 0206161. Дои:10.4310 / ATMP.2003.v7.n5.a4.

• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ. Springer-Verlag. ISBN  3-540-42627-2. (См. Раздел 7.2.)

внешняя ссылка

• «Монопольная конденсация и удержание в N = 2 суперсимметричной теории Янга – Миллса». arXiv:hep-th / 9407087. Отсутствует или пусто | url = (помощь)