Система Хитчина - Hitchin system

В математика, то Интегрируемая система Хитчина является интегрируемая система в зависимости от выбора комплексной редуктивной группы и компактной римановой поверхности, введенной Найджел Хитчин в 1987 году. Он расположен на перекрестке алгебраическая геометрия, теория Алгебры Ли и теория интегрируемых систем. Он также играет важную роль в геометрическое соответствие Ленглендса над полем сложные числа; относится к конформная теория поля. Аналог системы Хитчина нулевого рода возникает как некоторый предел Уравнения Книжника – Замолодчикова. Практически все интегрируемые системы классическая механика могут быть получены как частные случаи системы Хитчина (или ее мероморфного обобщения или в сингулярном пределе).

В Расслоение Хитчина отображение из пространства модулей Пары Хитчина характеристическим многочленам. Нго (2006, 2010 ) использовал расслоения Хитчина над конечными полями в своем доказательстве основная лемма.

Описание

Говоря языком алгебраической геометрии, фазовое пространство системы является частичной компактификацией котангенсный пучок к пространство модулей стабильного грамм-бандлы для некоторых восстановительная группа грамм, на некоторой компактной алгебраической кривой. Это пространство наделено канонической симплектической формой. Предположим для простоты, что грамм= GL (п), общая линейная группа; то гамильтонианы можно описать следующим образом: касательное пространство к грамм-бандлы в связке F является

${displaystyle H^{1}(operatorname {End} (F)),}$

который по Двойственность Серра двойственен

${displaystyle Phi in H^{0}(operatorname {End} (F)otimes K),}$

так пара

${displaystyle (F,Phi )}$

называется парой Хитчина или Связка Хиггса, определяет точку в пучке котангенса. Принимая

${displaystyle operatorname {Tr} (Phi ^{k}),qquad k=1,ldots ,operatorname {rank} (G)}$

можно получить элементы в

${displaystyle H^{0}(K^{otimes k}),}$

которое является векторным пространством, не зависящим от ${displaystyle (F,Phi )}$. Таким образом, взяв любой базис в этих векторных пространствах, мы получим функции ЧАС_я, которые являются гамильтонианами Хитчина. Конструкция для общей редуктивной группы аналогична и использует инвариантные многочлены на Алгебра Ли изграмм.

По тривиальным причинам эти функции алгебраически независимы, и некоторые вычисления показывают, что их количество составляет ровно половину размерности фазового пространства. Нетривиальная часть является доказательством Коммутативность Пуассона этих функций.

Рекомендации

• Хитчин, Найджел (1987), "Стабильные расслоения и интегрируемые системы", Математический журнал герцога, 54 (1): 91–114, Дои:10.1215 / S0012-7094-87-05408-1
• Нго, Бао Чау (2006), "Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces" (PDF), Международный конгресс математиков. Vol. II, Евро. Математика. Soc., Zürich, стр. 1213–1225, МИСТЕР  2275642
• Нго, Бао Чау (2010), «Фибрация де Хитчин и эндоскопия», Inventiones Mathematicae, 164 (2): 399–453, arXiv:математика / 0406599, Bibcode:2006InMat.164..399N, Дои:10.1007 / s00222-005-0483-7, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  2218781