Основная лемма (программа Ленглендса) - Fundamental lemma (Langlands program)

В математической теории автоморфные формы, то основная лемма связывает орбитальные интегралы на восстановительная группа через местное поле к устойчивым орбитальным интегралам на его эндоскопические группы. Это было предположено Роберт Лэнглендс (1983 ) в процессе разработки Программа Langlands. Основная лемма доказана Жерар Лаумон и Нго Бо Чау в случае унитарные группы а затем Нго (2010) для общих редуктивных групп, основываясь на серии важных сокращений, сделанных Жан-Лу Вальдспургер в случае Алгебры Ли. Время Журнал поместил доказательство Нго в список «10 лучших научных открытий 2009 года».^[1] В 2010 году Нго был награжден Медаль Филдса для этого доказательства.

Мотивация и история

Ленглендс обрисовал в общих чертах стратегию доказательства локального и глобального Гипотезы Ленглендса с использованием Формула следа Артура – Сельберга, но для того, чтобы этот подход работал, геометрические стороны формулы следа для разных групп должны быть связаны определенным образом. Эти отношения принимают форму идентичности между орбитальные интегралы на редуктивные группы грамм и ЧАС над неархимедовым местное поле F, где группа ЧАС, называется эндоскопическая группа из грамм, построен из грамм и некоторые дополнительные данные.

Первый рассмотренный случай был ${ Displaystyle G = { rm {SL}} _ {2}}$ (Лабесс и Ленглендс, 1979 г. ). Ленглендс и Диана Шелстад (1987 ) затем разработал общую основу теории эндоскопического переноса и сформулировал конкретные гипотезы. Однако в течение следующих двух десятилетий был достигнут лишь частичный прогресс в доказательстве основной леммы.^[2]^[3] Харрис назвал это «узким местом, ограничивающим прогресс в решении множества арифметических вопросов».^[4] Сам Ленглендс, писавший о происхождении эндоскопии, прокомментировал:

... не основная лемма как таковая имеет решающее значение для аналитической теории автоморфных форм и для арифметики Сорта Шимура; это стабилизированная (или стабильная) формула следа, сведение самой формулы следа к стабильной формуле следа для группы и ее эндоскопических групп, а также стабилизация Формула Гротендика – Лефшеца. Все это невозможно без основной леммы, и ее отсутствие делало прогресс почти невозможным более чем на двадцать лет.^[5]

Заявление

Основная лемма утверждает, что орбитальный интеграл О для группы грамм равен устойчивому орбитальному интегралу ТАК для эндоскопической группы ЧАС, с точностью до коэффициента передачи Δ (Надлер 2012 ):

{ displaystyle SO _ { gamma _ {H}} (1_ {K_ {H}}) = Delta ( gamma _ {H}, gamma _ {G}) O _ { gamma _ {G}} ^ { kappa} (1_ {K_ {G}})}

куда

F это местное поле
грамм неразветвленная группа, определенная над F, другими словами, квазирасщепленная редуктивная группа, определенная над F который разделяется на неразветвленное расширение F
ЧАС представляет собой неразветвленную эндоскопическую группу грамм связанный с κ
K_грамм и K_ЧАС являются гиперспециальными максимальными компактными подгруппами в грамм и ЧАС, что примерно означает, что они являются подгруппами точек с коэффициентами в кольце целых чисел F.
1_{K_грамм} и 1_{K_ЧАС} являются характеристическими функциями K_грамм и K_ЧАС.
Δ (γ_ЧАС, γ_грамм) - коэффициент передачи, некоторое элементарное выражение, зависящее от γ_ЧАС и γ_грамм
γ_ЧАС и γ_грамм являются элементами грамм и ЧАС представляющие стабильные классы сопряженности, такие что стабильный класс сопряженности грамм является переносом стабильного класса сопряженности ЧАС.
κ является характером группы классов сопряженности в стабильном классе сопряженности γ_грамм
ТАК и О устойчивые орбитальные интегралы и орбитальные интегралы в зависимости от их параметров.

Подходы

Шелстад (1982) доказал основную лемму для архимедовых полей.

Вальдспургер (1991) проверил основную лемму для общих линейных групп.

Коттвиц (1992) и Блазиус и Рогавски (1992) проверил некоторые случаи основной леммы для 3-мерных унитарных групп.

Хейлз (1997) и Вайссауэр (2009) проверили основную лемму для симплектической и общей симплектической групп Sp₄, GSp₄.

Бумага Джордж Люстиг и Давид Каждан указал, что орбитальные интегралы можно интерпретировать как подсчет точек на некоторых алгебраических многообразиях над конечными полями. Кроме того, рассматриваемые интегралы могут быть вычислены способом, который зависит только от поля вычетов F; и проблема может быть сведена к версии алгебры Ли орбитальных интегралов. Затем проблема была переформулирована с точки зрения Спрингер волокна алгебраических групп.^[6] Круг идей был связан с предположение о чистоте; Лаумон дал условное доказательство, основанное на такой гипотезе, для унитарных групп. Лаумон и Нго (2008 ) затем доказал основную лемму для унитарных групп, используя Расслоение Хитчина введен Нго (2006 ), который является абстрактным геометрическим аналогом Система Хитчина комплексной алгебраической геометрии.Вальдспургер (2006) показал для алгебр Ли, что случай функционального поля влечет фундаментальную лемму для всех локальных полей, и Вальдспургер (2008) показал, что из фундаментальной леммы для алгебр Ли следует фундаментальная лемма для групп.

Примечания

^ «10 лучших научных открытий 2009 года». Время.
^ Коттвица и Рогавски за ${ displaystyle { rm {U}} _ {3}}$ , Wadspurger для ${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$ , Хейлз и Вайссауэр для ${ displaystyle { rm {Sp}} _ {4}}$ .
^ Основная лемма и расслоение Хитчина., Жерар Лаумон, 13 мая 2009 г.
^ ВВЕДЕНИЕ В «СТАБИЛЬНУЮ ФОРМУЛУ СЛЕДА, СОРТА ШИМУРА И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ» В архиве 2009-07-31 на Wayback Machine, п. 1. Майкл Харрис
^ публикации.ias.edu
^ Основная лемма для унитарных групп. В архиве 2010-06-12 на Wayback Machine, на стр. 12. Жерар Лаумон

внешняя ссылка

Лекция Жерара Лаумона по фундаментальной лемме для унитарных групп
Баскен, Пол (12 сентября 2010 г.). «Понимание основной леммы Ленглендса». Хроника высшего образования.

[1] «10 лучших научных открытий 2009 года». Время.

[2] Коттвица и Рогавски за ${ displaystyle { rm {U}} _ {3}}$ , Wadspurger для ${ displaystyle { rm {SL}} _ {n}}$ , Хейлз и Вайссауэр для ${ displaystyle { rm {Sp}} _ {4}}$ .

[3] Основная лемма и расслоение Хитчина., Жерар Лаумон, 13 мая 2009 г.

[4] ВВЕДЕНИЕ В «СТАБИЛЬНУЮ ФОРМУЛУ СЛЕДА, СОРТА ШИМУРА И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ» В архиве 2009-07-31 на Wayback Machine, п. 1. Майкл Харрис

[5] публикации.ias.edu

[6] Основная лемма для унитарных групп. В архиве 2010-06-12 на Wayback Machine, на стр. 12. Жерар Лаумон

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]