Инварианты Зайберга – Виттена. - Seiberg–Witten invariants - Wikipedia
В математике и особенно калибровочная теория, Инварианты Зайберга – Виттена. инварианты компактных гладких ориентированных 4-коллектор представлен Эдвард Виттен (1994 ), с использованием Теория Зайберга – Виттена изучен Натан Зайберг и Виттен (1994a, 1994b ) во время исследования Калибровочная теория Зайберга – Виттена.
Инварианты Зайберга – Виттена подобны Инварианты Дональдсона и может использоваться для доказательства аналогичных (но иногда немного более сильных) результатов о гладких 4-многообразиях. С ними технически намного проще работать, чем с инвариантами Дональдсона; Например, пространства модулей решений из Уравнения Зайберга – Виттена имеет тенденцию быть компактным, поэтому можно избежать сложных проблем, связанных с компактификацией пространств модулей в теории Дональдсона.
Подробное описание инвариантов Зайберга – Виттена см. В (Дональдсон 1996 ), (Мур 2001 ), (Морган 1996 ), (Николаеску 2000 ), (Скорпан 2005, Глава 10). Относительно симплектических многообразий и Инварианты Громова – Виттена. видеть (Таубес 2000 ). О ранней истории см. (Джексон 1995 ).
Вращениеc-конструкции
Вращениеc группа (в измерении 4)
где действует как знак обоих факторов. Группа имеет естественный гомоморфизм в SO (4) = Spin (4) / ± 1.
Для компактного ориентированного 4-многообразия выберем гладкое Риманова метрика с Леви Чивита связь . Это сокращает структурную группу из связной компоненты GL (4)+ к SO (4) и безвреден с гомотопической точки зрения. Спинc-структура или сложная спиновая структура на M является редукцией структурной группы к Spinc, т.е. поднятие структуры SO (4) на касательном расслоении к группе Spinc. По теореме Hirzebruch и Хопф, каждое гладкое ориентированное компактное 4-многообразие допускает вращениеc структура.[1] Существование спинаc структура эквивалентна наличие лифта второй Класс Штифеля-Уитни в класс Наоборот, такой подъем определяет спинc конструкция до 2 кручений в А спиновая структура правильный требует более строгих
Спинc структура определяет (и определяется) спинорный пучок исходящий из 2 сложных размерных положительных и отрицательных спинор представление Spin (4), на котором U (1) действует умножением. У нас есть . Спинорный пучок поставляется с градуированным представлением расслоения алгебры Клиффорда, т.е. такое, что для каждой 1 формы у нас есть и . Есть уникальная эрмитова метрика на s.t. косоэрмитово для форм вещественной 1 . Он дает индуцированное действие форм путем антисимметризации. В частности, это дает изоморфизм самодуальных двух форм с бесследными косоэрмитовыми эндоморфизмами которые затем идентифицируются.
Уравнения Зайберга – Виттена
Позволять быть детерминантный линейный пучок с . Для каждого подключения с на , существует уникальная спинорная связь на т.е. такое соединение, что за каждую 1 форму и векторное поле . Затем связь Клиффорда определяет оператор Дирака на . Группа карт действует как калибровочная группа на множестве всех связностей на . Действие может быть "фиксированным калибром", например по условию , оставляя эффективную параметризацию пространства всех таких связей с остаточным калибровочная группа действий.
Написать для спинорного поля положительной киральности, т. е. участка . Уравнения Зайберга – Виттена для есть сейчас
Здесь замкнутая 2-форма кривизны , - его самодуальная часть, а σ - отображение квадрата из бесследному эрмитову эндоморфизму отождествляется с воображаемой самодуальной 2-формой, и это настоящая самодуальная двойная форма, часто принимаемая за ноль или гармоническую. Калибровочная группа действует в пространстве решений. После добавления манометра условие фиксации невязка U (1) действует свободно, за исключением «приводимых решений» с . По техническим причинам уравнения фактически определены в подходящих Соболевские пространства достаточно высокой регулярности.
Применение формулы Вайтценбека
и личность
решениям уравнений дает равенство
- .
Если максимально , так что это показывает, что для любого решения sup-норма является априори ограничена оценкой, зависящей только от скалярной кривизны из и самодвойственная форма . После добавления условия фиксации калибровки эллиптическая регулярность уравнения Дирака показывает, что на самом деле решения априори ограничены в соболевских нормах произвольной регулярности, что показывает, что все решения гладкие, а пространство всех решений с точностью до калибровочной эквивалентности компактно.
Решения уравнений Зайберга – Виттена называются монополи, поскольку эти уравнения являются уравнения поля безмассового магнитные монополи на коллекторе .
Пространство модулей решений
На пространство решений действует калибровочная группа, и фактор по этому действию называется пространство модулей монополей.
Пространство модулей обычно представляет собой многообразие. Для общих метрик после фиксации калибровки уравнения вырезают пространство решений в поперечном направлении и таким образом определяют гладкое многообразие. Остаточная U (1) «калибровочно фиксированная» калибровочная группа U (1) действует свободно, за исключением приводимых монополей, т.е. решений с . Посредством Теорема Атьи-Зингера об индексе пространство модулей конечномерно и имеет «виртуальную размерность»
что для общих показателей является фактическим измерением, отличным от приводимых. Это означает, что пространство модулей в общем случае пусто, если виртуальная размерность отрицательна.
Для самостоятельной двойной формы 2 , приводимые решения имеют , а значит, определяются связями на такой, что для некоторой антисамодуальной 2-формы . Посредством Разложение Ходжа, поскольку замкнуто, единственное препятствие к решению этого уравнения для данный и , - гармоническая часть и , а гармоническая часть или, что то же самое, (де Рама) класс когомологий формы кривизны, т.е. . Таким образом, поскольку необходимое и достаточное условие приводимого решения:
куда пространство гармонических антисамодуальных 2-форм. Две формы является -допустимое, если это условие нет встречаются и решения обязательно неприводимы. В частности, для , пространство модулей является (возможно, пустым) компактным многообразием для метрик общего положения и допустимым . Обратите внимание, что если пространство -допустимые две формы связаны, тогда как если он состоит из двух связанных компонентов (камер). Пространству модулей можно дать естественную ориентацию из ориентации на пространстве положительных гармонических 2 форм и первых когомологий.
В априори оценка решений, также дает априори границы на . Следовательно, (для фиксированного ) только конечное число , а значит, только конечное число Spinc структуры с непустым пространством модулей.
Инварианты Зайберга – Виттена.
Инвариант Зайберга – Виттена четырехмерного многообразия. M с б2+(M) ≥ 2 - отображение из спинаc структуры на M к Z. Значение инварианта на спинеc Структуру проще всего определить, когда пространство модулей нульмерно (для общей метрики). В данном случае значение - это количество элементов пространства модулей, подсчитанное со знаками.
Инвариант Зайберга – Виттена также можно определить, когда б2+(M) = 1, но тогда это зависит от выбора камеры.
Многообразие M Говорят, что из простой тип если инвариант Зайберга-Виттена обращается в нуль всякий раз, когда ожидаемая размерность пространства модулей отлична от нуля. В гипотеза простого типа заявляет, что если M просто связано и б2+(M) ≥ 2, то многообразие простого типа. Это верно для симплектических многообразий.
Если коллектор M имеет метрику положительной скалярной кривизны и б2+(M) ≥ 2, то все инварианты Зайберга – Виттена M исчезнуть.
Если коллектор M - связная сумма двух многообразий, каждое из которых имеет б2+ ≥ 1, то все инварианты Зайберга – Виттена M исчезнуть.
Если коллектор M односвязно и симплектично и б2+(M) ≥ 2, то он имеет спинc структура s на котором инвариант Зайберга – Виттена равен 1. В частности, его нельзя разбить как связную сумму многообразий с б2+ ≥ 1.
Рекомендации
- ^ Hirzebruch, F .; Хопф, Х. (1958). "Felder von Flächenelementen в 4-х мерном Mannigfaltigkeiten". Математика. Анна. 136: 156–172. Дои:10.1007 / BF01362296. HDL:21.11116 / 0000-0004-3A18-1.
- Дональдсон, Саймон К. (1996), "Уравнения Зайберга-Виттена и топология 4-многообразий", Бюллетень Американского математического общества, (Н.С.), 33 (1): 45–70, Дои:10.1090 / S0273-0979-96-00625-8, МИСТЕР 1339810
- Джексон, Аллин (1995), Революция в математике, заархивировано из оригинал 26 апреля 2010 г.
- Морган, Джон В. (1996), Уравнения Зайберга – Виттена и приложения к топологии гладких четырехмерных многообразий, Математические заметки, 44, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. viii + 128, ISBN 978-0-691-02597-1, МИСТЕР 1367507
- Мур, Джон Дуглас (2001), Лекции по инвариантам Зайберга-Виттена, Конспект лекций по математике, 1629 (2-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, стр. Viii + 121, CiteSeerX 10.1.1.252.2658, Дои:10.1007 / BFb0092948, ISBN 978-3-540-41221-2, МИСТЕР 1830497
- Нэш, гл. (2001) [1994], «Уравнения Зайберга-Виттена», Энциклопедия математики, EMS Press
- Николаеску, Ливиу И. (2000), Заметки по теории Зайберга-Виттена (PDF), Аспирантура по математике, 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xviii + 484, Дои:10,1090 / г / м2 / 028, ISBN 978-0-8218-2145-9, МИСТЕР 1787219
- Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3749-8, МИСТЕР 2136212.
- Зайберг, Натан; Виттен, Эдвард (1994a), "Электромагнитная двойственность, монопольная конденсация и удержание в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса", Ядерная физика B, 426 (1): 19–52, arXiv:hep-th / 9407087, Bibcode:1994НуФБ.426 ... 19С, Дои:10.1016/0550-3213(94)90124-4, МИСТЕР 1293681; "Опечатка", Ядерная физика B, 430 (2): 485–486, 1994, Bibcode:1994НуФБ.430..485., Дои:10.1016/0550-3213(94)00449-8, МИСТЕР 1303306
- Зайберг, Н.; Виттен, Э. (1994b), "Монополи, двойственность и нарушение киральной симметрии в N = 2 суперсимметричной КХД", Ядерная физика B, 431 (3): 484–550, arXiv:hep-th / 9408099, Bibcode:1994НуФБ.431..484С, Дои:10.1016/0550-3213(94)90214-3, МИСТЕР 1306869
- Таубс, Клиффорд Генри (2000), Вентворт, Ричард (редактор), Инварианты Зайберга, Виттена и Громова для симплектических 4-многообразий, Первая серия международных лекций для прессы, 2, Somerville, MA: International Press, стр. Vi + 401, ISBN 978-1-57146-061-5, МИСТЕР 1798809
- Виттен, Эдвард (1994), «Монополи и четырехмерные многообразия»., Письма о математических исследованиях, 1 (6): 769–796, arXiv:hep-th / 9411102, Bibcode:1994MRLet ... 1..769W, Дои:10.4310 / MRL.1994.v1.n6.a13, МИСТЕР 1306021, заархивировано из оригинал на 2013-06-29