BRST квантование - BRST quantization

В теоретическая физика, то БРСТ формализм, или же BRST квантование (где BRST относится к Бекки, Руэ, Stora и Тютин ) обозначает относительно строгий математический подход к квантование а теория поля с калибровочная симметрия. Квантование правила ранее квантовая теория поля (QFT) структуры напоминали «рецепты» или «эвристику» больше, чем доказательства, особенно в неабелев QFT, где использование "призрачные поля "с внешне причудливыми свойствами почти неизбежно по техническим причинам, связанным с перенормировка и отмена аномалии.

BRST global суперсимметрия введенные в середине 1970-х годов, быстро поняли, что рационализировали введение этих Призраки Фаддеева – Попова и их исключение из «физических» асимптотических состояний при выполнении вычислений QFT. Важно отметить, что эта симметрия интеграла по путям сохраняется в порядке цикла и, таким образом, предотвращает введение контрчленов, которые могут испортить перенормируемость калибровочных теорий. Работа других авторов несколько лет спустя связала оператор BRST с существованием строгой альтернативы интегралы по путям при квантовании калибровочной теории.

Только в конце 1980-х, когда QFT была переформулирована в пучок волокон язык для приложения к проблемам в топология низкоразмерных многообразий (топологическая квантовая теория поля ), стало ли очевидным, что БРСТ "преобразование" носит принципиально геометрический характер. В этом свете «BRST-квантование» становится больше, чем альтернативным способом достижения призраков, устраняющих аномалии. Это другой взгляд на то, что представляют собой призрачные поля, почему работает метод Фаддеева – Попова и как он связан с использованием Гамильтонова механика построить пертурбативный каркас. Отношения между калибровочная инвариантность а «БРСТ-инвариантность» заставляет выбирать гамильтонову систему, состояния которой состоят из «частиц» в соответствии с правилами, известными из каноническое квантование формализм. Это условие эзотерической согласованности очень близко подходит к объяснению того, как кванты и фермионы возникают в физике с самого начала.

В некоторых случаях, особенно сила тяжести и супергравитация, BRST должен быть заменен более общим формализмом, Формализм Баталина – Вилковиского.

Техническое резюме

BRST-квантование - это дифференциально-геометрический подход к выполнению последовательного, аномалия -свободный пертурбативные вычисления в неабелев калибровочная теория. Аналитическая форма "преобразования" БРСТ и ее актуальность для перенормировка и отмена аномалии были описаны Карло Мария Бекки, Ален Руэ, и Раймонд Стора в серии статей, завершившихся в 1976 г. «Перенормировкой калибровочных теорий». Эквивалентное преобразование и многие его свойства были независимо открыты Игорь Викторович Тютин. Его значение для строгих каноническое квантование из Теория Янга – Миллса и его правильное применение к Пространство фока мгновенных конфигураций поля были выяснены Тайчиро Куго и Идзуми Одзима. Более поздние работы многих авторов, особенно Томаса Шюккера и Эдвард Виттен, прояснил геометрическое значение оператора BRST и связанных полей и подчеркнул его важность для топологическая квантовая теория поля и теория струн.

В подходе BRST выбирается удобный для возмущения крепление датчика процедура для принцип действия калибровочной теории с использованием дифференциальная геометрия из пучок датчиков на котором живет теория поля. Один тогда квантует теория для получения Гамильтонова система в картинка взаимодействия таким образом, что "нефизические" поля, вводимые процедурой фиксации калибровки, разрешают калибровочные аномалии не входя в асимптотику состояния теории. В результате получается набор Правила Фейнмана для использования в Серия Дайсон пертурбативное расширение из S-матрица которые гарантируют, что это унитарный и перенормируемый на каждом порядок цикла - вкратце, техника когерентной аппроксимации для физических предсказаний результатов эксперименты по рассеянию.

Классический БРСТ

Это связано с суперсимплектический многообразие где чистые операторы градуированы интегралами числа призраков и у нас есть BRST когомология.

Калибровочные преобразования в КТП

С практической точки зрения квантовая теория поля состоит из принцип действия и набор процедур для выполнения пертурбативные вычисления. Существуют и другие виды «проверок работоспособности», которые могут быть выполнены в квантовой теории поля, чтобы определить, соответствует ли она качественным явлениям, таким как удержание кварка и асимптотическая свобода. Однако большинство предсказательных успехов квантовой теории поля от квантовая электродинамика до настоящего времени были определены количественно путем сопоставления S-матрица расчеты по результатам рассеяние эксперименты.

В первые дни QFT можно было бы сказать, что квантование и перенормировка рецепты были такой же частью модели, как и Плотность лагранжиана, особенно когда они полагались на мощные, но математически неточно определенные формализм интеграла по путям. Быстро стало ясно, что QED был почти «волшебным» в своей относительной управляемости, и что большинство способов, которые можно было вообразить для его расширения, не дадут рациональных расчетов. Однако один класс полевых теорий оставался многообещающим: калибровочные теории, в котором объекты теории представляют классы эквивалентности физически неразличимых конфигураций поля, любые две из которых связаны калибровочное преобразование. Это обобщает идею QED о местное изменение фазы к более сложному Группа Ли.

КЭД сама по себе является калибровочной теорией, как и общая теория относительности, хотя последний оказался устойчивым к квантованию по причинам, связанным с перенормировкой. Другой класс калибровочных теорий с неабелева группа датчиков, начиная с Теория Янга – Миллса, стал поддающимся квантованию в конце 1960-х - начале 1970-х годов, во многом благодаря работе Людвиг Д. Фаддеев, Виктор Попов, Брайс ДеВитт, и Герардус т Хофт. Однако до появления метода BRST работать с ними было очень сложно. Метод BRST предоставил методы вычислений и доказательства перенормируемости, необходимые для извлечения точных результатов как из "несломленных" теорий Янга – Миллса, так и из теорий, в которых Механизм Хиггса приводит к спонтанное нарушение симметрии. Представители этих двух типов систем Янга – Миллса -квантовая хромодинамика и электрослабая теория - появляются в Стандартная модель из физика элементарных частиц.

Доказать, что существование неабелевой квантовой теории поля в строгом смысле, чем получение точных предсказаний с использованием полуэвристических схем вычислений. Это связано с тем, что для анализа квантовой теории поля требуются две математически взаимосвязанные точки зрения: Лагранжева система на основе функционал действия, состоящий из поля с различными значениями в каждой точке пространства-времени и местные операторы которые действуют на них, и Гамильтонова система в Картина Дирака, состоящий из состояния которые характеризуют всю систему в данный момент времени и полевые операторы которые действуют на них. Что делает это настолько трудным в калибровочной теории, так это то, что объекты теории на самом деле не являются локальными полями в пространстве-времени; они есть правоинвариантный местные поля на основной калибровочный пучок, и разные местные разделы через часть калибровочного пучка, связанного с пассивный преобразования, производят различные картины Дирака.

Более того, описание системы в целом в терминах набора полей содержит множество избыточных степеней свободы; различные конфигурации теории классы эквивалентности конфигураций полей, так что два описания, которые связаны друг с другом калибровочным преобразованием, на самом деле являются одной и той же физической конфигурацией. «Решения» квантованной калибровочной теории существуют не в простом пространстве полей со значениями в каждой точке пространства-времени, а в некотором пространстве. факторное пространство (или же когомология ), элементами которого являются классы эквивалентности конфигураций полей. В формализме БРСТ скрывается система параметризации вариаций, связанных со всеми возможными активными калибровочными преобразованиями, и правильного учета их физической несущественности во время преобразования лагранжевой системы в гамильтонову.

Калибровочная фиксация и теория возмущений

Принцип калибровочная инвариантность необходим для построения работоспособной квантовой теории поля. Но, как правило, невозможно выполнить пертурбативное вычисление в калибровочной теории без предварительной «фиксации калибровки» - добавления членов к Плотность лагранжиана принципа действия, который «нарушает калибровочную симметрию» для подавления этих «нефизических» степеней свободы. Идея крепление датчика возвращается к Датчик Лоренца подход к электромагнетизму, который подавляет большую часть избыточных степеней свободы в четырехпотенциальный сохраняя манифест Лоренц-инвариантность. Калибровка Лоренца является большим упрощением по сравнению с подходом Максвелла к измерению напряженности поля. классическая электродинамика, и иллюстрирует, почему полезно иметь дело с избыточными степенями свободы в представление объектов теории на лагранжевой стадии, прежде чем перейти к Гамильтонова механика через Превращение Лежандра.

Плотность гамильтониана связана с производной Ли плотности лагранжиана по единичному времениподобному горизонтальному векторному полю на калибровочном расслоении. В квантовомеханическом контексте это обычно масштабируется с коэффициентом ${displaystyle ihbar}$ . Интегрирование его по частям в пространственноподобном поперечном сечении восстанавливает форму подынтегрального выражения, знакомую по каноническое квантование. Поскольку определение гамильтониана включает единичное векторное поле времени в базовом пространстве, горизонтальный подъем к пространству расслоения, а пространственноподобная поверхность "нормальная" (в Метрика Минковского ) к единичному векторному полю времени в каждой точке базового многообразия, оно зависит как от связь и выбор Лоренца Рамка, и это далеко не глобальное определение. Но это существенный компонент пертурбативной структуры квантовой теории поля, в которую квантованный гамильтониан входит через Серия Дайсон.

Для пертурбативных целей мы собираем конфигурацию всех полей нашей теории на всем трехмерном горизонтальном пространственноподобном сечении п в один объект ( Состояние Фока ), а затем описать "эволюцию" этого состояния во времени с помощью картинка взаимодействия. В Пространство фока охватывает многочастичные собственные состояния части "невозмущенной" или "невзаимодействующей" ${displaystyle {mathcal {H}} _ {0}}$ из Гамильтониан ${displaystyle {mathcal {H}}}$ . Следовательно, мгновенное описание любого фоковского состояния представляет собой взвешенную по комплексной амплитуде сумму собственных состояний ${displaystyle {mathcal {H}} _ {0}}$ . В картине взаимодействия мы связываем фоковские состояния в разное время, предписывая, чтобы каждое собственное состояние невозмущенного гамильтониана испытывало постоянную скорость вращения фазы, пропорциональную его энергия (соответствующий собственное значение невозмущенного гамильтониана).

Следовательно, в нулевом приближении набор весов, характеризующих фоковское состояние, не изменяется со временем, но соответствующая конфигурация поля изменяется. В более высоких приближениях веса также меняются; коллайдер эксперименты в физика высоких энергий сводятся к измерениям скорости изменения этих весов (или, скорее, их интегралов по распределениям, представляющим неопределенность в начальных и конечных условиях события рассеяния). Серия Dyson отражает эффект несоответствия между ${displaystyle {mathcal {H}} _ {0}}$ и истинный гамильтониан ${displaystyle {mathcal {H}}}$ , в виде степенного ряда по константа связи грамм; это основной инструмент для получения количественных предсказаний на основе квантовой теории поля.

Чтобы использовать ряд Дайсона для вычисления чего-либо, нужно нечто большее, чем калибровочно-инвариантная плотность лагранжиана; также необходимы предписания по квантованию и фиксации калибра, которые входят в Правила Фейнмана теории. Ряд Дайсона дает бесконечные интегралы различных видов, когда применяется к гамильтониану конкретной КТП. Частично это связано с тем, что все используемые на сегодняшний день квантовые теории поля необходимо учитывать. эффективные теории поля, описывая только взаимодействия в определенном диапазоне масштабов энергии, которые мы можем исследовать экспериментально и, следовательно, уязвимы для ультрафиолетовые расхождения. Это приемлемо, если с ними можно справиться стандартными методами перенормировка; они не столь терпимы, когда они приводят к бесконечной серии бесконечных перенормировок или, что еще хуже, к явно нефизическому предсказанию, такому как неотмененный калибровочная аномалия. Между перенормируемостью и калибровочной инвариантностью существует глубокая взаимосвязь, которая легко теряется в ходе попыток получить поддающиеся обработке правила Фейнмана, фиксируя калибровку.

Pre-BRST подходы к креплению датчиков

Традиционные предписания по установке калибра сплошная электродинамика выберите уникального представителя из каждого класса эквивалентности, связанного с калибровочным преобразованием, используя уравнение связи такой как Датчик Лоренца ${displaystyle partial ^ {mu} A_ {mu} = 0}$ . Такой рецепт можно применить к Абелева калибровочная теория Такие как QED, хотя это приводит к некоторым затруднениям в объяснении того, почему Идентификаторы прихода классической теории переносятся на квантовую теорию - другими словами, почему Диаграммы Фейнмана содержащие внутренние продольно поляризованный виртуальные фотоны не способствовать S-матрица расчеты. Этот подход также не подходит для неабелевы калибровочные группы такие как СУ (2) Янга – Миллса и электрослабая теория и SU (3) квантовая хромодинамика. Он страдает от Грибовские двусмысленности и от трудности определения ограничения, фиксирующего калибровку, которое в некотором смысле «ортогонально», к физически значимым изменениям в конфигурации поля.

Более сложные подходы не пытаются применить дельта-функция ограничение на степени свободы калибровочного преобразования. Вместо «привязки» калибровки к определенной «поверхности связи» в конфигурационном пространстве, можно нарушить калибровочную свободу с помощью дополнительного, не калибровочно-инвариантного члена, добавленного к плотности лагранжиана. Чтобы воспроизвести успехи фиксации калибровки, этот член выбран минимальным для выбора калибровки, который соответствует желаемому ограничению, и квадратично зависящим от отклонения датчика от поверхности ограничения. Посредством приближение стационарной фазы на котором Интеграл по путям Фейнмана Основанная на теории возмущений, преобладающий вклад в пертурбативные вычисления будет вноситься конфигурациями поля в окрестности ограничивающей поверхности.

Пертурбативное разложение, связанное с этим лагранжианом, с использованием метода функциональное квантование, обычно называют р_ξ измерять. В случае абелевой U (1) калибровки он сводится к тому же множеству Правила Фейнмана что получается методом каноническое квантование. Но есть важное отличие: нарушенная калибровочная свобода появляется в функциональный интеграл как дополнительный фактор в общей нормализации. Этот фактор может быть извлечен из пертурбативного разложения (и проигнорирован) только тогда, когда вклад в лагранжиан возмущения вдоль калибровочных степеней свободы не зависит от конкретной «физической» конфигурации поля. Это условие не выполняется для неабелевых калибровочных групп. Если игнорировать проблему и попытаться использовать правила Фейнмана, полученные в результате «наивного» функционального квантования, можно обнаружить, что его вычисления содержат неустранимые аномалии.

Проблема пертурбативных расчетов в КХД решалась введением дополнительных полей, известных как Призраки Фаддеева – Попова, чей вклад в лагранжиан с фиксированной калибровкой компенсирует аномалию, вызванную взаимодействием «физических» и «нефизических» возмущений неабелевого калибровочного поля. С точки зрения функционального квантования, «нефизические» возмущения конфигурации поля (калибровочные преобразования) образуют подпространство пространства всех (бесконечно малых) возмущений; в неабелевом случае вложение этого подпространства в большее пространство зависит от конфигурации, вокруг которой происходит возмущение. Призрачный член в лагранжиане представляет собой функциональный детерминант из Якобиан этого вложения, а свойства фантомного поля продиктованы показателем степени, требуемым на определителе, чтобы исправить функциональная мера на остальных «физических» осях возмущения.

Математический подход к BRST

Конструкция BRST применима к ситуации гамильтоново действие компактной связной группы Ли грамм на фазовое пространство M.^[1]^[2] Позволять ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ быть алгеброй Ли грамм и ${displaystyle 0in {mathfrak {g}} ^ {*}}$ регулярное значение карта моментов ${displaystyle Phi: M o {mathfrak {g}} ^ {*}}$ . Позволять ${displaystyle M_ {0} = Phi ^ {- 1} (0)}$ . Предположим, что грамм-действие на M₀ свободно и правильно, и рассмотрите пространство ${displaystyle {widetilde {M}} = M_ {0} / G}$ из грамм-орбит на M₀, который также известен как Симплектическое сокращение частное ${displaystyle {widetilde {M}} = M // G}$ .

Во-первых, используя регулярную последовательность функций, определяющих M₀ внутри M, построить Кошульский комплекс

{displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} иногда C ^ {infty} (M).}

Дифференциал δ на этом комплексе является нечетным C^∞(M) -линейный вывод градуированной C^∞(M)-алгебра ${displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} иногда C ^ {infty} (M)}$ . Это нечетное дифференцирование определяется расширением гомоморфима алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {g}} o C ^ {infty} (M)}$ из гамильтоново действие. Получившийся комплекс Кошул является комплексом Кошул ${displaystyle S ({mathfrak {g}})}$ -модуль C^∞(M), куда ${displaystyle S ({mathfrak {g}})}$ симметрическая алгебра ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ , а структура модуля происходит от гомоморфизма колец ${displaystyle S ({mathfrak {g}}) o C ^ {infty} (M)}$ вызванный гамильтоново действие ${displaystyle {mathfrak {g}} o C ^ {infty} (M)}$ .

Этот Кошульский комплекс резолюция ${displaystyle S ({mathfrak {g}})}$ -модуль ${displaystyle C ^ {infty} (M_ {0})}$ , т.е.

{displaystyle H ^ {j} (Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} иногда C ^ {infty} (M), delta) = {egin {cases} C ^ {infty} (M_ {0}) & j = 0 0 & jeq 0end {case}}}

Затем рассмотрим коцепной комплекс Шевалле-Эйленберга для комплекса Кошуля ${displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} иногда C ^ {infty} (M)}$ рассматривается как dg-модуль над алгеброй Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ :

{displaystyle K ^ {cdot, cdot} = C ^ {cdot} left ({mathfrak {g}}, Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} иногда C ^ {infty} (M) ight) = Lambda ^ { cdot} {mathfrak {g}} ^ {*} иногда Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} иногда C ^ {infty} (M).}

«Горизонтальный» дифференциал ${displaystyle d: K ^ {i, cdot} o K ^ {i + 1, cdot}}$ определяется на коэффициентах

{displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} иногда C ^ {infty} (M)}

действием ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ и дальше ${displaystyle Lambda ^ {cdot} {mathfrak {g}} ^ {*}}$ как внешнюю производную правоинвариантных дифференциальных форм на группе Ли грамм, алгебра Ли которой ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ .

Пусть Tot (K) - такой комплекс, что

{displaystyle operatorname {Tot} (K) ^ {n} = igoplus olimits _ {i-j = n} K ^ {i, j}}

с дифференциалом D = d + δ. Группы когомологий (Tot (K), D) вычисляются с использованием спектральной последовательности, связанной с двойным комплексом ${displaystyle (K ^ {cdot, cdot}, d, delta)}$ .

Первый член спектральной последовательности вычисляет когомологии «вертикального» дифференциала δ:

{displaystyle E_ {1} ^ {i, j} = H ^ {j} (K ^ {i, cdot}, delta) = Lambda ^ {i} {mathfrak {g}} ^ {*} иногда C ^ {infty } (M_ {0})}

, если j = 0 и ноль в противном случае.

Первый член спектральной последовательности можно интерпретировать как комплекс вертикальных дифференциальных форм

{displaystyle (Omega _ {operatorname {vert}} ^ {cdot} (M_ {0}), d_ {operatorname {vert}})}

для пучка волокон ${displaystyle M_ {0} o {widetilde {M}}}$ .

Второй член спектральной последовательности вычисляет когомологии «горизонтального» дифференциала d на ${displaystyle E_ {1} ^ {cdot, cdot}}$ :

{displaystyle E_ {2} ^ {i, j} cong H ^ {i} (E_ {1} ^ {cdot, j}, d) = C ^ {infty} (M_ {0}) ^ {g} = C ^ {infty} ({widetilde {M}})}

, если

{displaystyle i = j = 0}

и ноль в противном случае.

Спектральная последовательность схлопывается на втором члене, так что ${displaystyle E_ {infty} ^ {i, j} = E_ {2} ^ {i, j}}$ , которая сосредоточена в нулевой степени.

Следовательно,

{displaystyle H ^ {p} (имя оператора {Tot} (K), D) = C ^ {infty} (M_ {0}) ^ {g} = C ^ {infty} ({widetilde {M}})}

, если п = 0 и 0 в противном случае.

Оператор БРСТ и асимптотическое пространство Фока

Следует сделать два важных замечания по поводу оператора BRST. Во-первых, вместо работы с группой датчиков грамм можно использовать только действие калибровочной алгебры ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ на полях (функции на фазовом пространстве).

Во-вторых, вариация любого "BRST точная форма " s_BИкс относительно локального калибровочного преобразования dλ - это

{displaystyle left [i_ {delta lambda}, s_ {B} ight] s_ {B} X = i_ {delta lambda} (s_ {B} s_ {B} X) + s_ {B} left (i_ {delta lambda} (s_ {B} X) ight) = s_ {B} left (i_ {delta lambda} (s_ {B} X) ight),}

что само по себе является точной формой.

Что еще более важно для гамильтонова пертурбативного формализма (который осуществляется не на расслоении слоев, а на локальном сечении), добавление точного члена BRST к калибровочно-инвариантной плотности лагранжиана сохраняет соотношение s_BИкс = 0. Как мы увидим, отсюда следует, что существует связанный оператор Q_B на пространстве состояний, для которого ${displaystyle [Q_ {B}, {mathcal {H}}] = 0}$ -я. е., BRST-оператор на фоковских состояниях является сохраненный заряд из Гамильтонова система. Это означает, что оператор эволюции во времени в расчете ряда Дайсона не будет развиваться конфигурация поля, подчиняющаяся ${displaystyle Q_ {B} | Psi _ {i} angle = 0}$ в более позднюю конфигурацию с ${displaystyle Q_ {B} | Psi _ {f} angle eq 0}$ (или наоборот).

Другой способ взглянуть на нильпотентность оператора BRST - сказать, что его изображение (пространство BRST точные формы ) полностью лежит в его ядро (пространство BRST закрытые формы ). («Истинный» лагранжиан, который считается инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований, находится в ядре оператора BRST, но не в его образе.) Предыдущий аргумент говорит, что мы можем ограничить нашу совокупность начальных и конечных условий асимптотическими »состояниями. "- конфигурации поля во времениподобной бесконечности, где лагранжиан взаимодействия" выключен ", - лежащие в ядре Q_B и при этом получить унитарную матрицу рассеяния. (БРСТ-замкнутые и точные состояния определяются аналогично БРСТ-замкнутым и точным полям; замкнутые состояния аннигилируют Q_B, а точные состояния можно получить, применяя Q_B к некоторой произвольной конфигурации поля.)

Мы также можем подавить состояния, которые находятся внутри образа Q_B при определении асимптотических состояний нашей теории - но рассуждения немного тоньше. Поскольку мы постулировали, что «истинный» лагранжиан нашей теории является калибровочно-инвариантным, истинные «состояния» нашей гамильтоновой системы являются классами эквивалентности относительно локального калибровочного преобразования; другими словами, два начальных или конечных состояния в гамильтоновой картине, которые различаются только БРСТ-точным состоянием, физически эквивалентны. Однако использование предписания нарушения точной калибровки БРСТ не гарантирует, что гамильтониан взаимодействия сохранит какое-либо конкретное подпространство замкнутых конфигураций поля, которое мы можем назвать «ортогональным» пространству точных конфигураций. (Это важный момент, который часто неправильно понимается в учебниках QFT. априори внутренний продукт на полевых конфигурациях встроен в принцип действия; мы строим такое внутреннее произведение как часть нашего гамильтонова пертурбативного аппарата.)

Поэтому мы сосредотачиваемся на векторном пространстве BRST-замкнутых конфигураций в конкретный момент времени с намерением преобразовать его в Пространство фока промежуточных состояний, подходящих для гамильтонова возмущения. С этой целью мы наделим его лестничные операторы для собственных конфигураций энергии-импульса (частиц) каждого поля, в комплекте с соответствующими (анти-) правилами коммутации, а также положительный полуопределенный внутренний продукт. Мы требуем, чтобы внутренний продукт быть единственное число исключительно вдоль направлений, соответствующих БРСТ-точным собственным состояниям невозмущенного гамильтониана. Это гарантирует, что из двух классов эквивалентности асимптотических полевых конфигураций, соответствующих конкретным начальным и конечным собственным состояниям (неразрывного) гамильтониана свободного поля, можно свободно выбирать любую пару БРСТ-замкнутых состояний Фока, которая нам нравится.

Желаемые рецепты квантования также обеспечат частное Пространство Фока, изоморфное пространству БРСТ-когомологии, в котором каждый БРСТ-класс замкнутой эквивалентности промежуточных состояний (отличающийся только точным состоянием) представлен ровно одним состоянием, не содержащим квантов БРСТ-точных полей. Это то пространство Фока, которое мы хотим асимптотический положения теории; хотя, как правило, нам не удается выбрать конкретную окончательную конфигурацию поля, к которой привязана калибровка Лагранжиан динамика могла бы развить эту начальную конфигурацию, сингулярность скалярного произведения по точным степеням свободы BRST гарантирует, что мы получим правильные элементы для физической матрицы рассеяния.

(На самом деле, нам, вероятно, следует построить Пространство Крейна для BRST-замкнутых промежуточных фоковских состояний, причем оператор обращения времени играет роль «фундаментальной симметрии», связывающей лоренц-инвариантные и положительные полуопределенные скалярные произведения. Асимптотическое пространство состояний предположительно является гильбертовым пространством, полученным путем факторизации BRST точных состояний из этого пространства Крейна.)

В итоге, никакое поле, введенное как часть процедуры фиксации калибровки BRST, не появится в асимптотических состояниях теории фиксированной калибровки. Однако это не означает, что мы можем обойтись без этих «нефизических» полей в промежуточных состояниях пертурбативного расчета! Это связано с тем, что пертурбативные вычисления выполняются в картинка взаимодействия. Они неявно включают начальное и конечное состояния гамильтониана невзаимодействия ${displaystyle {mathcal {H}} _ {0}}$ , постепенно переходящие в состояния полного гамильтониана в соответствии с адиабатическая теорема "включив" гамильтониан взаимодействия (манометрическая муфта). Расширение Серия Дайсон с точки зрения Диаграммы Фейнмана будет включать вершины, которые соединяют «физические» частицы (те, которые могут появляться в асимптотических состояниях свободного гамильтониана) с «нефизическими» частицами (состояниями полей, которые живут вне ядро из s_B или внутри изображение из s_B) и вершины, соединяющие друг с другом «нефизические» частицы.

Ответ Куго – Одзимы на вопросы унитарности

Т. Куго и И. Одзима обычно приписывают открытие основной КХД ограничение цвета критерий. Их роль в получении правильной версии формализма BRST в лагранжевой структуре, по-видимому, менее широко оценена. Полезно рассмотреть их вариант преобразования BRST, в котором подчеркивается эрмитский свойства вновь введенных полей, прежде чем исходить из полностью геометрического угла. Ниже приведена калибровочная фиксированная плотность лагранжиана; два члена в скобках образуют связь между калибровочным и фантомным секторами, а последний член становится гауссовым взвешиванием для функциональной меры на вспомогательном поле. B.

{displaystyle {mathcal {L}} = {mathcal {L}} _ {extrm {atter}} (psi ,, A_ {mu} ^ {a}) - {frac {1} {4}} F_ {mu u} ^ {a} F ^ {a ,, mu u} - (i (частично ^ {mu} {ar {c}} ^ {a}) D_ {mu} ^ {ab} c ^ {b} + (частично ^ {mu} B ^ {a}) A_ {mu} ^ {a}) + {frac {1} {2}} alpha _ {0} B ^ {a} B ^ {a}}

В Призрак Фаддеева – Попова поле c является уникальным среди новых областей нашей теории с фиксированной калибровкой тем, что имеет геометрический смысл, выходящий за рамки формальных требований процедуры BRST. Это версия Форма Маурера – Картана на ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ , который связывает каждое правоинвариантное вертикальное векторное поле ${displaystyle delta lambda в V {mathfrak {E}}}$ к его представлению (с точностью до фазы) в виде ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ -значное поле. Это поле должно входить в формулы для бесконечно малых калибровочных преобразований объектов (таких как фермионы ψ, калибровочные бозоны А_μ, и призрак c сам), несущие нетривиальное представление калибровочной группы. Таким образом, преобразование БРСТ относительно δλ имеет вид:

{displaystyle {egin {выравнивается} delta psi _ {i} & = delta lambda D_ {i} c delta A_ {mu} & = delta lambda D_ {mu} c delta c & = - delta lambda {frac {g} { 2}} [c, c] delta {ar {c}} & = idelta lambda B delta B & = 0end {выровнено}}}

Здесь мы опустили детали сектора материи ψ и оставили неопределенной форму оператора Уорда на нем; они не важны, пока представление калибровочной алгебры на полях материи совместимо с их связью с δА_μ. Свойства других добавленных нами полей в основном аналитические, а не геометрические. Предвзятость, которую мы внесли в связи с ${displaystyle partial ^ {mu} A_ {mu} = 0}$ зависит от калибровки и не имеет особого геометрического значения. Анти-призрак ${displaystyle {ar {c}}}$ есть не что иное, как множитель Лагранжа для члена, фиксирующего калибровку, а свойства скалярного поля B полностью продиктованы отношениями ${displaystyle delta {ar {c}} = idelta lambda B}$ . (Новые поля все эрмитовы в соглашениях Куго – Одзимы, но параметр δλ является антиэрмитовым "антикоммутирующим". c-номер ". Это приводит к некоторой ненужной неудобству в отношении фаз и передачи бесконечно малых параметров через операторы; это будет разрешено путем изменения соглашений в геометрической трактовке ниже.)

Из связи оператора БРСТ с внешней производной и призрака Фаддеева – Попова с формой Маурера – Картана мы уже знаем, что призрак c соответствует (с точностью до фазы) ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ -значная 1-форма на ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ . Для интеграции такого термина, как ${displaystyle -i (частично ^ {mu} {ar {c}}) D_ {mu} c}$ чтобы иметь смысл, анти-призрак ${displaystyle {ar {c}}}$ должен нести представления этих двух алгебр Ли - вертикальный идеал ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ и калибровочная алгебра ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ - по сравнению с теми, которые несет призрак. В геометрическом выражении ${displaystyle {ar {c}}}$ должно быть послойно двойственным к ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ и одного ранга не хватает верхняя форма на ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ . Точно так же вспомогательное поле B должен нести такое же представление ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ (до фазы) как ${displaystyle {ar {c}}}$ , а также представление ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ двойственный своему тривиальному представлению на А_μ-я. е., B - послойная ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ -двойная верхняя форма на ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ .

Кратко остановимся на одночастичных состояниях теории в адиабатически развязанном пределе грамм → 0. В пространстве Фока гамильтониана с фиксированной калибровкой есть два типа квантов, которые, как мы ожидаем, полностью лежат вне ядра БРСТ-оператора: кванты анти-призрака Фаддеева – Попова ${displaystyle {ar {c}}}$ и калибровочный бозон с прямой поляризацией. Это потому, что никакая комбинация полей, содержащих ${displaystyle {ar {c}}}$ уничтожен s_B и мы добавили к лагранжиану член, нарушающий калибровку, который с точностью до расходимости равен

{displaystyle s_ {B} left ({ar {c}} left (ipartial ^ {mu} A_ {mu} - {frac {1} {2}} alpha _ {0} s_ {B} {ar {c}}) ight) ight).}

Точно так же есть два типа квантов, которые будут полностью лежать в образе оператора BRST: кванты призрака Фаддеева – Попова c и скалярное поле B, который "съедается" путем заполнения квадрата в функциональном интеграле и превращается в калибровочный бозон с обратной поляризацией. Это четыре типа «нефизических» квантов, которые не появятся в асимптотических состояниях пертурбативного вычисления:если мы правильно понимаем наши правила квантования.

Анти-призрак считается Скаляр Лоренца ради инвариантности Пуанкаре в ${displaystyle -i (частично ^ {mu} {ar {c}}) D_ {mu} c}$ . Однако его (анти) закон коммутации относительно c-я. е., его рецепт квантования, который игнорирует спин-статистическая теорема Давая Статистика Ферми – Дирака частице со спином 0 - будет дано требованием, чтобы внутренний продукт на нашей Пространство фока асимптотических состояний быть единственное число вдоль направлений, соответствующих повышающим и понижающим операторам некоторой комбинации не BRST-замкнутых и BRST-точных полей. Это последнее утверждение является ключом к «BRST-квантованию», в отличие от простой «BRST-симметрии» или «BRST-преобразования».

(Необходимо дополнить на языке BRST-когомологий со ссылкой на трактовку Куго – Одзима асимптотического пространства Фока.)

Пучки калибров и вертикальный идеал

Чтобы отдать должное BRST-методу, мы должны переключиться с картины «алгеброзначные поля в пространстве Минковского», типичной для текстов по квантовой теории поля (и вышеприведенного изложения), на язык пучки волокон, в котором есть два совершенно разных подхода к калибровочному преобразованию: как изменение местная секция (также известный в общая теория относительности как пассивное преобразование ) или как откат конфигурации поля вдоль вертикальный диффеоморфизм из основной пакет. Именно последний вид калибровочного преобразования входит в метод BRST. В отличие от пассивного преобразования, оно корректно определено глобально на главном расслоении с любой структурной группой над произвольным многообразием. (Однако для конкретности и актуальности для традиционной КТП в этой статье мы будем рассматривать случай главного калибровочного расслоения с компактным слоем над 4-мерным пространством Минковского.)

А основной калибровочный пучок п над 4-многообразием M локально изоморфен U × F, куда U ⊂ р⁴ и волокно F изоморфен Группа Ли грамм, то группа датчиков теории поля (это изоморфизм структур многообразий, а не структур групп; специальной поверхности в п соответствует 1 в грамм, поэтому правильнее сказать, что волокно F это грамм-торсор ). Таким образом, (физическое) главное калибровочное расслоение связано с (математическим) основной G-пучок но имеет больше структуры. Его самое основное свойство как пучок волокон это «проекция на базовое пространство» π:п → M, который определяет "вертикальные" направления на п (лежащие внутри слоя π⁻¹(п) по каждой точке п в M). Как пучок датчиков оно имеет левое действие из грамм на п который уважает структуру волокна, и как основной пакет он также имеет правильное действие из грамм на п который также учитывает структуру волокна и коммутирует с левым действием.

Левое действие структурная группа грамм на п соответствует простому изменению система координат на отдельном волокне. (Глобальное) правильное действие р_грамм : п → п для фиксированного грамм в грамм соответствует фактическому автоморфизм каждого слоя и, следовательно, к отображению п себе. Для того чтобы п квалифицироваться как принципал грамм-связь, глобальное правильное действие каждого грамм в грамм должен быть автоморфизмом по отношению к структуре многообразия п с плавной зависимостью от грамм-я. е., диффеоморфизм п × грамм → п.

Существование глобального правого действия структурной группы выделяет особый класс правый инвариант геометрические объекты на п- те, которые не меняются, когда они вытащил обратно вдоль р_грамм для всех значений грамм в грамм. Наиболее важные правые инвариантные объекты на главном расслоении - это правые инварианты. векторные поля, которые образуют идеальный ${displaystyle {mathfrak {E}}}$ из Алгебра Ли из бесконечно малые диффеоморфизмы на п. Эти векторные поля на п которые одновременно инвариантны справа и вертикальны, образуют идеал ${displaystyle V {mathfrak {E}}}$ из ${displaystyle {mathfrak {E}}}$ , который имеет отношение ко всему пакету п аналогично тому из Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ из группа датчиков грамм к человеку грамм-торсор или волокно F.

Интересующая «теория поля» определяется в терминах набора «полей» (гладких отображений в различные векторные пространства), определенных на главном калибровочном расслоении. п. Разные поля несут разные представления калибровочной группы грамми, возможно, других группы симметрии коллектора, такого как Группа Пуанкаре. Можно определить пространство Pl из локальные полиномы в этих областях и их производных. Предполагается, что фундаментальная плотность лагранжиана теории лежит в подпространстве Pl₀ действительных и инвариантных полиномов относительно любых ненарушенных некалибровочных групп симметрий. Также предполагается, что он инвариантен не только относительно левого действия (пассивные преобразования координат) и глобального правого действия калибровочной группы, но также и относительно локальные калибровочные преобразования —откат вдоль бесконечно малый диффеоморфизм связанный с произвольным выбором правоинвариантного вертикального векторного поля ${displaystyle epsilon in V {mathfrak {E}}}$ .

Отождествление локальных калибровочных преобразований с конкретным подпространством векторных полей на многообразии п дает нам лучшую основу для работы с бесконечномерными бесконечно малыми: дифференциальная геометрия и внешнее исчисление. Изменение скалярного поля при откате по бесконечно малому автоморфизму фиксируется в Производная Ли, а идея сохранения только члена, линейного по масштабу векторного поля, реализуется путем разделения его на внутренняя производная и внешняя производная. (В этом контексте «формы» и внешнее исчисление относятся исключительно к степеням свободы, которые двойственны векторным полям. на пучке датчиков, а не к степеням свободы, выраженным в (греческих) тензорных индексах на базовом многообразии или (римских) матричных индексах на калибровочной алгебре.)

Производная Ли на многообразии - это глобально корректно определенная операция в том смысле, что частная производная не является. Правильное обобщение Теорема Клеро к нетривиальной структуре многообразия п дается Скобка Ли векторных полей и нильпотентность из внешняя производная. И мы получаем важный инструмент для вычислений: обобщенная теорема Стокса, что позволяет нам интегрировать по частям и отбрасывать поверхностный член до тех пор, пока подынтегральное выражение спадает достаточно быстро в направлениях, где есть открытая граница. (Это нетривиальное предположение, но с ним можно справиться перенормировка такие методы, как размерная регуляризация при условии, что поверхностный член можно сделать калибровочно-инвариантным.)

БРСТ формализм

В теоретическая физика, то БРСТ формализм это метод реализации первоклассные ограничения. Буквы BRST обозначают Бекки, Руэ, Стора и (независимо) Тютин, открывшие этот формализм. Это сложный метод рассмотрения квантовых физических теорий с калибровочная инвариантность. Например, методы BRST часто применяются для калибровочная теория и квантованный общая теория относительности.

Квантовая версия

Пространство состояний не является гильбертовым пространством (см. Ниже). Этот векторное пространство оба Z₂-квалифицированный и р-квалифицированный. Если хотите, можете думать об этом как о Z₂ × р-градуированное векторное пространство. Первая оценка - это четность, которая может быть четной или нечетной. Последняя оценка - это номер призрака. Обратите внимание, что это р и нет Z потому что, в отличие от классического случая, мы можем иметь нецелые числа-призраки. Операторы, действующие в этом пространстве, также Z₂ × р-оцененный очевидным образом. Особенно, Q нечетно и имеет призрачное число 1.

Позволять ЧАС_п подпространство всех состояний с призрачным числом п. Потом, Q ограниченный ЧАС_п карты ЧАС_п к ЧАС_п+1. С Q² = 0 имеем коцепьевой комплекс описывая когомология.

Физические состояния идентифицируются как элементы когомология оператора Q, т.е. как векторы из Ker (Q_п+1)/Я(Q_п). Теория BRST фактически связана с стандартное разрешение в Когомологии алгебры Ли.

Напомним, что пространство состояний Z₂-квалифицированный. Если А - чисто градуированный оператор, то преобразование БРСТ отображает А к [Q, А) где суперкоммутатор. BRST-инвариантные операторы - это операторы, для которых [Q, А) = 0. Поскольку операторы также градуируются призрачными числами, это преобразование BRST также образует когомологии для операторов, поскольку [Q, [Q, А)) = 0.

Хотя формализм BRST является более общим, чем Крепление датчика Фаддеева-Попова, в частном случае, когда он является производным от него, оператор BRST также полезен для получения правильного Якобиан связаны с ограничениями, которые калибровочно фиксируют симметрию.

Оператор BRST - это суперсимметрия. Это порождает Супералгебра Ли с нульмерной четной частью и одномерной нечетной частью, натянутой на Q. [Q, Q) = {Q, Q} = 0, где [,) - Суперкронштейн лжи (т.е. Q² = 0). Это означает Q действует как антидеривация.

Потому что Q является Эрмитский и его квадрат равен нулю, но Q отличен от нуля, это означает, что векторное пространство всех состояний до когомологической редукции имеет неопределенная норма! Это означает, что это не Гильбертово пространство.

Для более общих потоков, которые не могут быть описаны ограничениями первого класса, см. Формализм Баталина – Вилковиского.

Пример

Для особого случая калибровочные теории (обычного вида, описанного разделы из основной G-пучок ) с квантовой форма подключения А, а Начисление BRST (иногда также плата за BRS) является оператор обычно обозначается Q.

Пусть ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ -значен крепление датчика условия быть ${displaystyle G = xi partial ^ {mu} A_ {mu}}$ где ξ - положительное число, определяющее калибровку. Есть много других возможных креплений калибра, но они здесь не рассматриваются. Поля - это ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ -значная форма подключения А, ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ -значное скалярное поле с фермионной статистикой, b, c и a ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ -значное скалярное поле с бозонной статистикой B. c занимается калибровочными преобразованиями, тогда как b и B имеют дело с фиксациями калибровки. На самом деле с креплением манометра связаны некоторые тонкости из-за Грибовские двусмысленности но здесь они не рассматриваются.

{displaystyle QA = Dc}

куда D это ковариантная производная.

{displaystyle Qc = {frac {i} {2}} [c, c] _ {L}}

куда [ , ]_L это Кронштейн лжи.

{displaystyle QB = 0}

{displaystyle Qb = B}

Q является антидеривация.

БРСТ Плотность лагранжиана

{displaystyle {mathcal {L}} = - {frac {1} {4g ^ {2}}} имя оператора {Tr} [F ^ {mu u} F_ {mu u}] + {1 over 2g ^ {2}} имя оператора {Tr} [BB] - {1 над g ^ {2}} имя оператора {Tr} [BG] - {xi над g ^ {2}} имя оператора {Tr} [частичное ^ {mu} bD_ {mu} c] }

Хотя плотность лагранжиана не является BRST-инвариантом, ее интеграл по всему пространству-времени, действие, является.

Оператор Q определяется как

{displaystyle Q = c ^ {i} left (L_ {i} - {frac {1} {2}} {{f_ {i}} ^ {j}} _ {k} b_ {j} c ^ {k} ight)}

куда ${displaystyle c ^ {i}, b_ {i}}$ являются Призраки Фаддеева – Попова и антипризраки (поля с отрицательным номер призрака ), соответственно, L_я являются бесконечно малые генераторы из Группа Ли, и ${displaystyle f_ {ij} {} ^ {k}}$ - его структурные константы.

Смотрите также

внешняя ссылка

Первые когомологии на arxiv.org

[1] Фигероа-О'Фаррилл и Кимура, 1991, стр. 209–229

[2] Костант и Штернберг, 1987 г., стр. 49–113

[1]

[2]

BRST квантование - BRST quantization

Содержание