Скаляр Лоренца - Lorentz scalar - Wikipedia

В релятивистская теория из физика, а Скаляр Лоренца это выражение, составленное из элементов теории, которое дает результат скаляр, инвариантный под любым Преобразование Лоренца. Скаляр Лоренца может быть сгенерирован, например, из скалярного произведения векторов или из сжимающих тензоров теории. В то время как компоненты векторов и тензоров, как правило, изменяются при преобразованиях Лоренца, скаляры Лоренца остаются неизменными.

Не всегда сразу видно, что скаляр Лоренца является инвариантным скаляром в математический смысл, но полученное скалярное значение инвариантно относительно любого преобразования базиса, применяемого к векторному пространству, на котором основана рассматриваемая теория. Простой скаляр Лоренца в Пространство-время Минковского это расстояние в пространстве-времени («длина» их разницы) двух фиксированных событий в пространстве-времени. В то время как «позиции» -4-векторы событий меняются между разными инерциальными системами отсчета, их пространственно-временное расстояние остается неизменным при соответствующем преобразовании Лоренца. Другими примерами скаляров Лоренца являются «длина» 4-скоростей (см. Ниже) или Кривизна Риччи в точке пространства-времени от Общая теория относительности, что является сокращением Тензор кривизны Римана там.

Простые скаляры в специальной теории относительности

Длина вектора положения

Мировые линии для двух частиц с разной скоростью.

В специальная теория относительности расположение частицы в 4-мерном пространство-время дан кем-то

${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$

куда ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$ - положение частицы в трехмерном пространстве, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ - скорость в трехмерном пространстве и ${\displaystyle c}$ это скорость света.

«Длина» вектора является скаляром Лоренца и определяется выражением

${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}}$

куда ${\displaystyle \tau }$ - собственное время, измеренное часами в системе координат покоя частицы, а Метрика Минковского дан кем-то

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

Это показатель времени.

Часто альтернативная подпись Метрика Минковского используется, в котором знаки поменяны местами.

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Это метрика, подобная пространству.

В метрике Минковского пространственноподобный интервал ${\displaystyle s}$ определяется как

${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}}$.

В оставшейся части статьи мы будем использовать пространственно-подобную метрику Минковского.

Длина вектора скорости

Векторы скорости в пространстве-времени для частицы с двумя разными скоростями. В теории относительности ускорение эквивалентно вращению в пространстве-времени.

Скорость в пространстве-времени определяется как

${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)}$

куда

${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}}$.

Величина 4-скорости является скаляром Лоренца,

${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,}$.

Следовательно, c - скаляр Лоренца.

Внутренний продукт ускорения и скорости

4-ускорение определяется выражением

${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }}$.

4-е ускорение всегда перпендикулярно 4-скоростной.

${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }}$.

Следовательно, мы можем рассматривать ускорение в пространстве-времени как просто вращение 4-скорости. Внутреннее произведение ускорения и скорости является скаляром Лоренца и равно нулю. Это вращение - просто выражение сохранения энергии:

${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot {\mathbf {v} }}$

куда ${\displaystyle E}$ энергия частицы и ${\displaystyle \mathbf {F} }$ - это 3-сила, действующая на частицу.

Энергия, масса покоя, 3-импульс и 3-скорость от 4-го импульса

4-импульс частицы равен

${\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma {m\mathbf {v} }\right)=\left(\gamma mc,{\mathbf {p} }\right)=\left({E \over c},{\mathbf {p} }\right)}$

куда ${\displaystyle m}$ - масса покоя частицы, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ - импульс в трехмерном пространстве, а

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}$

это энергия частицы.

Измерение энергии частицы

Рассмотрим вторую частицу с 4-скоростной ${\displaystyle u}$ и трехскоростной ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$. В системе покоя второй частицы внутренний продукт ${\displaystyle u}$ с ${\displaystyle p}$ пропорциональна энергии первой частицы

${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-{E_{1}}}$

где нижний индекс 1 указывает на первую частицу.

Поскольку соотношение истинно в системе отсчета второй частицы, оно верно в любой системе отсчета. ${\displaystyle E_{1}}$, энергия первой частицы в системе отсчета второй частицы является скаляром Лоренца. Следовательно,

${\displaystyle {E_{1}}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}$

в любой инерциальной системе отсчета, где ${\displaystyle E_{1}}$ по-прежнему является энергией первой частицы в системе отсчета второй частицы.

Измерение массы покоя частицы

В системе покоя частицы внутреннее произведение импульса равно

${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,}$.

Следовательно, масса покоя (m) является скаляром Лоренца. Взаимосвязь остается верной независимо от системы отсчета, в которой вычисляется внутренний продукт. Во многих случаях масса покоя записывается как ${\displaystyle m_{0}}$ чтобы избежать путаницы с релятивистской массой, которая ${\displaystyle \gamma m_{0}}$

Измерение 3-импульса частицы

Обратите внимание, что

${\displaystyle \left(p_{\mu }u^{\mu }/c\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}$.

Квадрат величины 3-импульса частицы, измеренный в системе отсчета второй частицы, является скаляром Лоренца.

Измерение 3-х скоростей частицы

Трехскоростная в системе второй частицы может быть построена из двух скаляров Лоренца.

${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={{\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}c^{4}} \over {E_{1}^{2}}}}$.

Более сложные скаляры

Скаляры также могут быть построены из тензоров и векторов, из сжатия тензоров (таких как ${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$) или комбинации сжатий тензоров и векторов (например, ${\displaystyle g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}$).

Рекомендации

• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория поля (Четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7.