Теорема Клеро - Clairauts theorem - Wikipedia

Не путать с Отношение Клеро в дифференциальной геометрии или Теорема Клеро о равенстве смешанных частных в исчислении.

Рисунок 1: Эллипсоид

Рисунок 2: Каркасная визуализация эллипсоида (сплюснутый сфероид)

Теорема Клеро характеризует поверхностную гравитацию на вязком вращающемся эллипсоид в равновесии под действием его гравитационного поля и центробежной силы. Он был опубликован в 1743 г. Алексис Клод Клеро в трактате^[1] который синтезировал физические и геодезические доказательства того, что Земля представляет собой сжатую вращательную эллипсоид.^[2][3] Первоначально он использовался, чтобы связать гравитацию в любой точке на поверхности Земли с положением этой точки, что позволяло эллиптичность Земли, который будет рассчитан на основе измерений силы тяжести на разных широтах. Сегодня его в значительной степени вытеснил Уравнение сомильяны.

История

Хотя с древних времен было известно, что Земля сферическая, к 17 веку накапливались свидетельства того, что это не идеальная сфера. В 1672 г. Жан Рише нашли первое свидетельство того, что гравитация не постоянна над Землей (как было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы к Cayenne, Французская Гвиана и обнаружил, что потерял2 ¹⁄₂ минут в день по сравнению со скоростью в Париже.^[4][5] Это указывало на ускорение свободного падения на Кайенне было меньше, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали использовать в путешествиях в отдаленные уголки мира, и постепенно было обнаружено, что гравитация плавно увеличивается с увеличением широты, причем гравитационное ускорение на полюсах примерно на 0,5% больше, чем на экваторе.

Британский физик Исаак Ньютон объяснил это в своем Principia Mathematica (1687), в котором он изложил свою теорию и расчеты формы Земли. Ньютон правильно предположил, что Земля не совсем сфера, но имеет сплюснутый эллипсоидальный форма, слегка приплюснутая на полюсах из-за центробежная сила его вращения. Поскольку поверхность Земли находится ближе к центру на полюсах, чем на экваторе, гравитация там сильнее. Используя геометрические вычисления, он привел конкретные аргументы в пользу гипотетической эллипсоидной формы Земли.^[6]

Цель Principia заключалась не в том, чтобы дать точный ответ на естественные явления, а в теоретическом обосновании возможных решений этих неразрешенных в науке факторов. Ньютон подтолкнул ученых к более глубокому изучению необъяснимых переменных. Два выдающихся исследователя, которых он вдохновил, были Алексис Клеро и Пьер Луи Мопертюи. Они оба стремились доказать справедливость теории Ньютона о форме Земли. Для этого они отправились в экспедицию в Лапландия в попытке точно измерить дуга меридиана. По таким измерениям они могли рассчитать эксцентриситет Земли, степень ее отклонения от идеальной сферы. Клеро подтвердил, что теория Ньютона о том, что Земля имеет форму эллипса, верна, но его расчеты были ошибочными, и написал письмо Лондонское королевское общество с его выводами.^[7] Общество опубликовало статью в Философские труды в следующем году, в 1737 году, обнаружилось его открытие. Клеро показал, насколько неверны уравнения Ньютона, и не доказал, что Земля имеет форму эллипсоида.^[8] Однако он исправил проблемы с теорией, что фактически подтвердило правильность теории Ньютона. Клеро считал, что у Ньютона были причины для выбора той формы, которую он сделал, но он не поддерживал ее в Principia. Статья Клеро также не содержала действительного уравнения, подтверждающего его аргументы. Это вызвало много споров в научном сообществе.

Только когда Клеро написал Теория де ла фигура де ла терр в 1743 г. был дан правильный ответ. В ней он провозгласил то, что сегодня более формально известно как теорема Клеро.

Формула

Формула Клеро для ускорения свободного падения грамм на поверхности сфероида на широте φ была:^[9][10]

${\displaystyle g(\varphi )=G_{e}\left[1+\left({\frac {5}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi \right]\ ,}$

куда ${\displaystyle G_{e}}$ - величина ускорения свободного падения на экваторе, м отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе, и ж то сплющивание из меридиан участок земли, определяемый как:

${\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}\ ,}$

(куда а = большая полуось, б = малая полуось).

Клеро вывел формулу в предположении, что тело состоит из концентрических коаксиальных сфероидальных слоев постоянной плотности.^[11] Эту работу впоследствии продолжили Лаплас, который ослабил первоначальное предположение о том, что поверхности одинаковой плотности являются сфероидами.^[12]Стокса в 1849 году показал, что теорема применима к любому закону плотности, если внешняя поверхность является сфероидом равновесия.^[13][14] История предмета и более подробные уравнения для грамм можно найти в Хан.^[15]

Уравнение сомильяны

Вышеприведенное выражение для грамм был вытеснен уравнением Сомильяны (после Карло Сомильяна ):

${\displaystyle g(\varphi )=G_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\right],\,\!}$

куда,

• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$ это сфероид эксцентриситет, в квадрате;
• ${\displaystyle G_{e},G_{p}}$ - заданная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
• ${\displaystyle k={\frac {bG_{p}-aG_{e}}{aG_{e}}}}$ (постоянная формула);

Для Земли, ${\displaystyle G_{e}}$ = 9,7803253359 мс⁻²; ${\displaystyle G_{p}}$ = 9,8321849378 мс⁻²; k = 0.00193185265241 ; е² = 0.00669437999013:^{[16] [17]}

${\displaystyle g(\varphi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}\varphi }}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

Геодезия

Смотрите также: Теоретическая гравитация

Сфероидальная форма Земли - результат взаимодействия между сила тяжести и центробежная сила вызванный вращением Земли вокруг своей оси.^[18][19] В его Principia, Ньютон предложил равновесную форму однородной вращающейся Земли в виде эллипсоида вращения с уплощением ж дано 1/230.^[20][21] В результате сила тяжести увеличивается от экватора к полюсам. Применяя теорему Клеро, Лаплас из 15 значений силы тяжести найдено, что ж = 1/330. Современная оценка - 1 / 298,25642.^[22] Видеть Фигура Земли для более подробной информации.

Для подробного описания конструкции эталонная модель Земли геодезии см. Chatfield.^[23]

Рекомендации

1. Теория де ла фигура де ла терр, tirée des Principes de l'hydrostatique (Теория формы Земли, основанная на принципах гидростатики) Из каталога научных книг библиотеки Королевского общества.
2. Вольфганг Торге (2001). Геодезия: Введение (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 10. ISBN  3-11-017072-8.
3. Эдвард Джон Раус (2001). Трактат по аналитической статике с многочисленными примерами. Vol. 2. Адамант Медиа Корпорация. п. 154. ISBN  1-4021-7320-2. Переиздание оригинальной работы, опубликованной в 1908 году издательством Cambridge University Press.
4. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд.. Лондон: Charles Griffin & Co., стр.20.
5. Виктор Ф., Лензен; Роберт П. Мултауф (1964). "Документ 44: Развитие гравитационных маятников в XIX веке". Бюллетень 240 Национального музея США: Вклад Историко-технологического музея, перепечатанный в Бюллетене Смитсоновского института. Вашингтон: Пресса Смитсоновского института. п. 307. Получено 2009-01-28.
6. Ньютон, Исаак. Принципы, Книга III, Предложение XIX, Проблема III.
7. Гринбург, Джон (1995). Проблема формы Земли от Ньютона до Клеро. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр.132. ISBN  0-521-38541-5.
8. Клеро, Алексис; Колсон, Джон (1737). «Исследование о фигуре таких планет, которые вращаются вокруг оси, предполагая, что плотность постоянно меняется от центра к поверхности». Философские труды. JSTOR  103921.
9. У. В. Роуз Болл Краткое изложение истории математики (4-е издание, 1908 г.)
10. Уолтер Уильям Роуз Болл (1901). Краткое изложение истории математики (3-е изд.). Макмиллан. п.384. Краткое изложение истории математики »(4-е издание, 1908 г.) У. У. Роуз Болл.
11. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд.. Лондон: Charles Griffin & Co., стр.22 –23.
12. Исаак Тодхантер. История математических теорий притяжения и фигуры Земли со времен Ньютона до времени Лапласа. Vol. 2. Элиброн Классикс. ISBN  1-4021-1717-5. Перепечатка оригинального издания 1873 года, опубликованного Macmillan and Co.
13. Осмонд Фишер (1889). Физика земной коры. Macmillan and Co. п. 27.
14. Джон Генри Пойнтинг; Джозеф Джон Томсон (1907). Учебник физики. К. Гриффин. п.22. Теорема Клеро.
15. Дело НАСА О равновесной фигуре земли Мохаммад А. Хан (1968)
16. Мировая геодезическая система Министерства обороны 1984 года - ее определение и взаимосвязь с местными геодезическими системами, NIMA TR8350.2, 3-е изд., Табл. 3.4, уравнение. 4-1
17. Уравнение 2.57 в заметках MIT Essentials of Geophysics OpenCourseWare
18. Джон П. Винти; Gim J. Der; Нино Л. Бонавито (1998). Орбитальная и небесная механика. Успехи в космонавтике и воздухоплавании, т. 177. Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 171. ISBN  1-56347-256-2.
19. Артур Гордон Вебстер (1904). Динамика частиц и твердых, упругих и жидких тел: лекции по математической физике. Б.Г. Teubner. п.468.
20. Исаак Ньютон: Principia Книга III Предложение XIX Проблема III, стр. 407 в переводе Эндрю Мотта.
21. Увидеть Principia на линии в Эндрю Мотт Перевод
22. Таблица 1.1 Численные стандарты IERS (2003 г.) )
23. Аверил Б. Чатфилд (1997). Основы высокоточной инерциальной навигации. Объем 174 дюйма Прогресс в космонавтике и воздухоплавании. Американский институт аэронавтики и астронавтики. Глава 1, Часть VIII с. 7. ISBN  1-56347-243-0.