Теоретическая гравитация - Theoretical gravity - Wikipedia

В геодезия и геофизика, теоретическая гравитация или же нормальная гравитация является приближением истинной гравитации на земной шар поверхность с помощью математическая модель представляющий (физически сглаженную) Землю. Самая распространенная модель сглаженной Земли - это Эллипсоид Земли, или, точнее, Земля сфероид (т.е. эллипсоид вращения).

Основные формулы

Различные, все более уточняемые формулы для вычисления теоретической силы тяжести называются Международная формула гравитации, первая из которых была предложена в 1930 г. Международная ассоциация геодезии. Общая форма этой формулы:

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}$

в котором грамм(φ) - сила тяжести как функция географическая широта φ позиции, гравитация которой должна быть определена, ${\displaystyle g_{e}}$ обозначает силу тяжести на экваторе (как определено измерением), а коэффициенты А и B являются параметрами, которые необходимо выбрать, чтобы обеспечить хорошее глобальное соответствие истинной гравитации.^[1]

Используя значения GRS80 В системе отсчета обычно используется конкретная реализация приведенной выше формулы:

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[1]

Используя соответствующие формула двойного угла в сочетании с Пифагорейская идентичность, это можно переписать в эквивалентном виде

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}$

Вплоть до 1960-х годов формулы на основе Эллипсоид Хейфорда (1924) и известного немецкого геодезиста Helmert (1906).^{[нужна цитата ]} Разница между большой полуосью (экваториальным радиусом) эллипсоида Хейфорда и современной WGS84 эллипсоид 251 кв.м.; для эллипсоида Гельмерта это только 63 кв.м..

Более поздней теоретической формулой гравитации как функции широты является Международная формула гравитации 1980 г. (IGF80), также основанная на эллипсоиде WGS80, но теперь использующая Уравнение сомильяны:

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}$

куда,^[2]

• ${\displaystyle a,b}$ - экваториальная и полярная полуоси соответственно;
• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$ это сфероид эксцентриситет, в квадрате;
• ${\displaystyle g_{e},g_{p}}$ - заданная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
• ${\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}$ (постоянная формула);

обеспечение,

${\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[1]

Более поздняя доработка, основанная на WGS84 эллипсоид, это WGS (Мировая геодезическая система ) 1984 Формула эллипсоидальной гравитации:^[2]

${\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

(куда ${\displaystyle g_{p}}$ = 9,8321849378 мс⁻²)

Разница с IGF80 незначительна при использовании для геофизический цели,^[1] но может иметь значение для других целей.

Более подробная информация

Формула Сомильяны

Для нормальной гравитации ${\displaystyle \gamma _{0}}$ эллипсоида уровня моря, то есть высота h = 0, эта формула Сомильяны (1929) применяется (после Карло Сомильяна (1860–1955)^[3]):

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

с

• ${\displaystyle \gamma _{a}}$ = Нормальная гравитация на экваторе
• ${\displaystyle \gamma _{b}}$ = Нормальная гравитация на полюсах
• а = большая полуось (Экваториальный радиус)
• б = малая полуось (Радиус полюса)
• ${\displaystyle \varphi }$ = широта

Из-за числовой проблем, формула упрощается до следующего:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

с

• ${\displaystyle p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1}$
• ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad e}$ это эксцентриситет

Для Геодезическая справочная система 1980 г. (GRS 80) параметры устанавливаются на эти значения:

${\displaystyle a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$

${\displaystyle \Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}$

Формула аппроксимации из разложения в ряд

Формула Somigliana была аппроксимирована различными расширения серии, следуя этой схеме:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}$

Международная формула гравитации 1930 г.

Формула нормальной гравитации Джино Кассинис был определен в 1930 г. Международный союз геодезии и геофизики как международная формула гравитации вместе с Эллипсоид Хейфорда. Параметры:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

С течением времени значения снова были улучшены за счет более новых знаний и более точных методов измерения.

Гарольд Джеффрис улучшил значения в 1948 году на:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Международная формула гравитации 1967

Формула нормальной силы тяжести Геодезической системы координат 1967 определяется следующими значениями:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Международная формула гравитации 1980 г.

Из параметров GRS 80 выходит классическое расширение серии:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}}$

Точность около ± 10⁻⁶ РС².

В GRS 80 также представлено следующее расширение серии:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )}$

Таким образом, параметры следующие:

• c₁ = 5.279 0414·10⁻³
• c₂ = 2.327 18·10⁻⁵
• c₃ = 1.262·10⁻⁷
• c₄ = 7·10⁻¹⁰

Точность составляет около ± 10⁻⁹ РС² точный. Если точность не требуется, приведенные ниже термины можно опустить. Но рекомендуется использовать эту доработанную формулу.

Зависимость от высоты

Кассини определил зависимость от высоты как:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}$

Средний рок плотность ρ больше не рассматривается.

Начиная с GRS 1967 зависимость от эллипсоидальное возвышение  час является:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}$

Другое выражение:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}$

с параметрами, полученными из GSR80:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }$

Эта регулировка подходит для обычных высот в Авиация; Но для высоты до космическое пространство (более 100 километров) это вне диапазона.

Формула WELMEC

Во всем немецком бюро стандартов ускорение свободного паденияграмм рассчитывается относительно средней широты φ и средней высота над уровнем моря  час с WELMEC –Форма:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

Формула основана на Международной формуле гравитации 1967 года.

Масштаб ускорения свободного падения в определенном месте должен быть определен с точностью измерения нескольких механических величин. Весы, масса которого измеряется из-за веса, зависит от ускорения свободного падения, поэтому для использования они должны быть подготовлены с разными константами в разных местах использования. Благодаря концепции так называемых гравитационных зон, которые делятся с использованием нормальной силы тяжести, производитель может откалибровать весы перед использованием.^[4]

Пример

Ускорение свободного падения в Schweinfurt:

Данные:

• Широта: 50 ° 3 ′ 24 ″ = 50,0567 °.
• Высота над уровнем моря: 229,7 м
• Плотность каменных плит: ок. 2,6 г / см³
• Измеренное ускорение свободного падения: g = 9,8100 ± 0,0001 м / с²

Ускорение свободного падения, рассчитанное по формулам нормальной силы тяжести:

• Кассини: грамм = 9,8 · 1038 м / с²
• Джеффрис: грамм = 9,8 · 1027 м / с²
• WELMEC: грамм = 9,81004 м / с²

Смотрите также

• Аномалия силы тяжести
• Справочный эллипсоид
• EGM96 (Гравитационная модель Земли 1996 г.)
• Стандартная гравитация : 9.806 65 м / с²

Рекомендации

1. Уильям Дж. Хинце; Ральф Р. Б. фон Фрезе; Афиф Х. Саад (2013). Гравитационные и магнитные исследования: принципы, практика и применение. Издательство Кембриджского университета. п. 130. ISBN  978-1-107-32819-8.
2. Мировая геодезическая система Министерства обороны 1984 года - ее определение и взаимосвязь с местными геодезическими системами, NIMA TR8350.2, 3-е изд., Табл. 3.4, уравнение. 4-1
3. Биография Сомильянас В архиве 2010-12-07 в Wayback Machine (курсив.)
4. Роман Шварц, Андреас Линдау. "Das europäische Gravitationszonenkonzept nach WELMEC" (PDF) (на немецком). Получено 26 февраля 2011. 700 КБ

дальнейшее чтение

• Карл Ледерштегер: Astronomische und Physikalische Geodäsie. Handbuch der Vermessungskunde Band 5, 10. Auflage. Мецлер, Штутгарт, 1969 г.
• Б. Хофманн-Велленхоф, Гельмут Мориц: Физическая геодезия, ISBN  3-211-23584-1, Springer-Verlag Wien 2006.
• Вольфганг Торге: Geodäsie. 2. Auflage. Вальтер де Грюйтер, Берлин u.a. 2003 г. ISBN  3-11-017545-2
• Вольфганг Торге: Geodäsie. Вальтер де Грюйтер, Берлин u.a. 1975 г. ISBN  3-11-004394-7

внешняя ссылка

• Определение геодезической справочной системы 1980 г. (GRS80) (pdf, англ .; 70 kB)
• Информационная система гравитации дер Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, англ.
• Online-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln