Сфероид - Spheroid

Сфероиды с вертикальными осями вращения
сплюснутый		вытянутый

А сфероид, или эллипсоид вращения, это квадрика поверхность получено вращающийся ан эллипс около одной из его главных осей; другими словами, эллипсоид с двумя равными полудиаметры. Сфероид имеет круговая симметрия.

Если эллипс вращается вокруг своей большой оси, результатом будет вытянутый (удлиненный) сфероид, имеющий форму Американский футбол или регби мяч. Если эллипс вращается вокруг своей малой оси, результатом будет сплюснутый (сплющенный) сфероид, имеющий форму чечевица. Если образующий эллипс представляет собой круг, результатом будет сфера.

Благодаря комбинированному воздействию сила тяжести и вращение, то фигура Земли (и всего планеты ) не совсем сфера, а немного сплющенный в направлении его оси вращения. По этой причине в картография и геодезия Землю часто аппроксимируют сплюснутым сфероидом, известным как опорный эллипсоид, вместо сферы. Электрический ток Мировая геодезическая система модель использует сфероид с радиусом 6 378,137 км (3 963,191 миль) в Экватор и 6,356,752 км (3,949,903 миль) на полюса.

Слово сфероид Первоначально означало "приблизительно сферическое тело", допускающее неоднородности даже за пределами двух- или трехосной эллипсоидальной формы, и именно так этот термин используется в некоторых более старых работах по геодезии (например, имея в виду усеченное сферическое гармоническое расширение Земли ).^[1]

Уравнение

Назначение полуосей на сфероиде. Это сжато, если

c < а

(слева) и вытянутый, если

c > а

(правильно).

Уравнение трехосного эллипсоида с центром в начале координат с полуосями $а$ , $б$ и $c$ по координатным осям

{ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + { frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1.}

Уравнение сфероида с $z$ как ось симметрии дается установкой $а = б$ :

{ displaystyle { frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1.}

Полуось $а$ - экваториальный радиус сфероида, а $c$ - расстояние от центра до полюса по оси симметрии. Возможны два случая:

$c < а$ : сплюснутый сфероид
$c > а$ : вытянутый сфероид

Случай $а = c$ сводится к сфере.

Свойства

Площадь

Сплюснутый сфероид с $c < а$ имеет площадь поверхности

{ displaystyle S _ { rm {сжатый}} = 2 pi a ^ {2} left (1 + { frac {1-e ^ {2}} {e}} { text {artanh}} , e right) = 2 pi a ^ {2} + pi { frac {c ^ {2}} {e}} ln left ({ frac {1 + e} {1-e}} справа) quad { mbox {where}} quad e ^ {2} = 1 - { frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}.}

Сплюснутый сфероид создается вращением вокруг $z$ - ось эллипса с большой полуосью $а$ и малая полуось $c$ , следовательно $е$ может быть идентифицирован как эксцентриситет. (Увидеть эллипс.)^[2]

Вытянутый сфероид с $c > а$ имеет площадь поверхности

{ Displaystyle S _ { rm {вытянутый}} = 2 pi a ^ {2} left (1 + { frac {c} {ae}} arcsin , e right) qquad { mbox {где }} qquad e ^ {2} = 1 - { frac {a ^ {2}} {c ^ {2}}}.}

Вытянутый сфероид создается вращением вокруг $z$ - ось эллипса с большой полуосью $c$ и малая полуось $а$ ; следовательно, $е$ снова может быть идентифицирован как эксцентриситет. (Увидеть эллипс.) ^[3]

Эти формулы идентичны в том смысле, что формула для $S сплюснутый$ может использоваться для расчета площади поверхности вытянутого сфероида и наоборот. Однако, $е$ затем становится воображаемый и больше не может напрямую отождествляться с эксцентриситетом. Оба эти результата могут быть представлены во многих других формах, используя стандартные математические тождества и отношения между параметрами эллипса.

Объем

Объем внутри сфероида (любого вида) равен ${ displaystyle { frac {4 pi} {3}} a ^ {2} c приблизительно 4.19a ^ {2} c}$ . Если ${ displaystyle A = 2a}$ - экваториальный диаметр, а ${ displaystyle C = 2c}$ - полярный диаметр, объем - ${ displaystyle { frac { pi} {6}} A ^ {2} C приблизительно 0,523A ^ {2} C}$ .

Кривизна

Если сфероид параметризован как

{ Displaystyle { vec { sigma}} ( бета, лямбда) = (а соз бета соз лямбда, а соз бета грех лямбда, с грех бета); , !}

где $β$ это уменьшенный или параметрическая широта, $λ$ это долгота, и $- π / 2 < β < + π / 2$ и $-π < λ <+ π$ , то его Гауссова кривизна является

{ Displaystyle К ( бета, лямбда) = {c ^ {2} over left (a ^ {2} + left (c ^ {2} -a ^ {2} right) cos ^ { 2} beta right) ^ {2}}; , !}

и это средняя кривизна является

{ Displaystyle Н ( бета, лямбда) = {с влево (2a ^ {2} + влево (с ^ {2} -a ^ {2} вправо) соз ^ {2} бета вправо ) over 2a left (a ^ {2} + left (c ^ {2} -a ^ {2} right) cos ^ {2} beta right) ^ { frac {3} {2 }}}. , !}

Обе эти кривизны всегда положительны, так что каждая точка сфероида эллиптическая.

Соотношение сторон

В соотношение сторон сплющенного сфероида / эллипса, $c : а$ , - отношение полярной длины к экваториальной, а длина сплющивание (также называемое сжатостью) $ж$ , - отношение разности экваториально-полярных длин к экваториальной длине:

{ displaystyle f = { frac {a-c} {a}} = 1 - { frac {c} {a}}.}

Первый эксцентриситет (обычно просто эксцентриситет, как указано выше) часто используется вместо сплющивания.^[4] Это определяется:

{ displaystyle e = { sqrt {1 - { frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}

Отношения между эксцентриситетом и уплощением следующие:

{ Displaystyle е = { sqrt {2f-f ^ {2}}}}

,

{ displaystyle f = 1 - { sqrt {1-e ^ {2}}}}

Все современные геодезические эллипсоиды определяются большой полуосью плюс малой полуосью (задающей соотношение сторон), уплощением или первым эксцентриситетом. Хотя эти определения математически взаимозаменяемы, реальные вычисления должны терять некоторую точность. Чтобы избежать путаницы, эллипсоидальное определение считает, что его собственные значения являются точными в той форме, которую оно дает.

Приложения

Наиболее распространенные формы распределения плотности протонов и нейтронов в атомное ядро находятся сферический, вытянутой и сжатой сфероидальной формы, где полярная ось считается осью вращения (или направлением вращения угловой момент вектор). Деформированные формы ядер возникают в результате конкуренции между электромагнитный отталкивание между протонами, поверхностное натяжение и квант эффекты оболочки.

Сплюснутые сфероиды

Планета Юпитер сплюснутый сфероид с сплющивание из 0,06487

Сплюснутый сфероид - это приблизительная форма вращающегося планеты и другие небесные тела, включая Землю, Сатурн, Юпитер, и быстро вращающаяся звезда Альтаир. Сатурн - самая сжатая планета в Солнечная система, с сплющивание 0,09796. Просвещение ученый Исаак Ньютон, работая с Жан Рише маятниковые эксперименты и Кристиан Гюйгенс теории для их интерпретации, аргументировал, что Юпитер и Земля сплюснутые сфероиды из-за их центробежная сила.^[5]^[6] Разнообразные картографические и геодезические системы Земли основаны на справочные эллипсоиды, все они сжатые.

А научная фантастика пример чрезвычайно сжатой планеты Месклин от Хэл Клемент роман Миссия гравитации.

Вытянутые сфероиды

Австралийские правила футбол.

Вытянутый сфероид - это приблизительная форма мяча в некоторых видах спорта, например в регби.

Несколько луны Солнечной системы приблизительно имеют форму вытянутых сфероидов, хотя на самом деле они трехосные эллипсоиды. Примеры Сатурн спутники Мимас, Энцелад, и Тетис и Уран ' спутниковое Миранда.

В отличие от того, что небесные объекты искажаются в сплющенные сфероиды из-за быстрого вращения, небесные объекты слегка искажаются в вытянутые сфероиды за счет приливные силы когда они вращаются вокруг массивного тела на близкой орбите. Самый яркий пример - спутник Юпитера. Ио, который становится немного более или менее вытянутым по своей орбите из-за небольшого эксцентриситета, вызывая интенсивный вулканизм. Большая ось вытянутого сфероида в этом случае проходит не через полюса спутника, а через две точки на его экваторе, прямо обращенные к основному объекту и от него.

Этот термин также используется для описания формы некоторых туманности такой как Крабовидная туманность.^[7] Зоны Френеля, используемые для анализа распространения волн и интерференции в космосе, представляют собой серию концентрических вытянутых сфероидов с главными осями, выровненными вдоль прямой видимости между передатчиком и приемником.

В атомные ядра из актинид и лантаноид элементы имеют форму вытянутых сфероидов.^[8] В анатомии почти сфероидные органы, такие как яичко могут быть измерены их длинные и короткие оси.^[9]

Многие подводные лодки имеют форму, которую можно описать как вытянутый сфероид.^[10]

Динамические свойства

Для сфероида с однородной плотностью момент инерции представляет собой эллипсоид с дополнительной осью симметрии. Учитывая описание сфероида как имеющего большая ось $c$ , и второстепенные оси $а$ и $б$ , моменты инерции вдоль этих главных осей равны $C$ , $А$ , и $B$ . Однако в сфероиде малые оси симметричны. Таким образом, наши инерционные члены по основным осям следующие:^[11]

{ displaystyle A = B = { frac {1} {5}} M (a ^ {2} + c ^ {2}),}

{ displaystyle C = { frac {1} {5}} M (a ^ {2} + a ^ {2}) = { frac {2} {5}} M (a ^ {2}),}

где $M$ масса тела, определяемая как

{ displaystyle M = { frac {4} {3}} pi rho ca ^ {2}.}

Смотрите также

использованная литература

^ Торге, Вольфганг (2001). Геодезия (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 104. ISBN 9783110170726.
^ Вывод этого результата можно найти на "Сплющенный сфероид - от Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. Получено 24 июн 2014.
^ Вывод этого результата можно найти на "Вытянутый сфероид - из Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 7 октября 2003 г.. Получено 24 июн 2014.
^ Бриал П., Шаалан С. (2009), Введение в Géodésie et au geopositionnement par satellites, стр.8
^ Гринбург, Джон Л. (1995). «Исаак Ньютон и проблема формы Земли». История точных наук. Springer. 49 (4): 371–391. Дои:10.1007 / BF00374704. JSTOR 41134011. S2CID 121268606.
^ Дюрант, Уилл; Дюрант, Ариэль (28 июля 1997 г.). История цивилизации: эпоха Людовика XIV. Книги MJF. ISBN 1567310192.
^ Тримбл, Вирджиния Луиза (Октябрь 1973 г.), "Расстояние до Крабовидной туманности и NP 0532", Публикации Тихоокеанского астрономического общества, 85 (507): 579, Bibcode:1973PASP ... 85..579T, Дои:10.1086/129507
^ «Деление ядра - теория деления». Энциклопедия Британника.
^ Стр. Решебника 559 в: Джон Пеллерито, Джозеф Ф. Полак (2012). Введение в ультразвуковое исследование сосудов (6 изд.). Elsevier Health Sciences. ISBN 9781455737666.
^ «Что общего у подводной лодки, ракеты и футбола?». Scientific American. 8 ноября 2010 г.. Получено 13 июн 2015.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Сфероид». MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 16 мая 2018.

[1] Торге, Вольфганг (2001). Геодезия (3-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 104. ISBN 9783110170726.

[2] Вывод этого результата можно найти на "Сплющенный сфероид - от Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. Получено 24 июн 2014.

[3] Вывод этого результата можно найти на "Вытянутый сфероид - из Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 7 октября 2003 г.. Получено 24 июн 2014.

[4] Бриал П., Шаалан С. (2009), Введение в Géodésie et au geopositionnement par satellites, стр.8

[5] Гринбург, Джон Л. (1995). «Исаак Ньютон и проблема формы Земли». История точных наук. Springer. 49 (4): 371–391. Дои:10.1007 / BF00374704. JSTOR 41134011. S2CID 121268606.

[6] Дюрант, Уилл; Дюрант, Ариэль (28 июля 1997 г.). История цивилизации: эпоха Людовика XIV. Книги MJF. ISBN 1567310192.

[Trimble1973-7] Тримбл, Вирджиния Луиза (Октябрь 1973 г.), "Расстояние до Крабовидной туманности и NP 0532", Публикации Тихоокеанского астрономического общества, 85 (507): 579, Bibcode:1973PASP ... 85..579T, Дои:10.1086/129507

[8] «Деление ядра - теория деления». Энциклопедия Британника.

[9] Стр. Решебника 559 в: Джон Пеллерито, Джозеф Ф. Полак (2012). Введение в ультразвуковое исследование сосудов (6 изд.). Elsevier Health Sciences. ISBN 9781455737666.

[scientific_american-10] «Что общего у подводной лодки, ракеты и футбола?». Scientific American. 8 ноября 2010 г.. Получено 13 июн 2015.

[11] Вайсштейн, Эрик В. «Сфероид». MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Получено 16 мая 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]