Ограничение первого класса - First class constraint

Не путать с Основное ограничение.

Основная статья: Кронштейн Дирака

А ограничение первого класса является динамической величиной в ограниченном Гамильтониан система, чья Скобка Пуассона со всеми другими ограничениями обращается в нуль на поверхность ограничения в фазовое пространство (поверхность неявно определяется одновременным исчезновением всех ограничений). Чтобы вычислить ограничение первого класса, предполагается, что нет ограничения второго класса, или что они были рассчитаны ранее, и их Скобки Дирака генерируется.^[1]

Ограничения первого и второго класса были введены Дирак  (1950, стр.136, 1964, стр.17) как способ квантования механических систем, таких как калибровочные теории, в которых симплектическая форма вырождена.^[2][3]

Терминология ограничений первого и второго класса до степени смешения похожа на терминологию первичные и вторичные ограничения, отражая способ их создания. Эти подразделения независимы: ограничения как первого, так и второго класса могут быть либо первичными, либо вторичными, так что в целом это дает четыре различных класса ограничений.

Скобки Пуассона

Рассмотрим Пуассоново многообразие M с гладкий Гамильтониан над ним (для теорий поля M будет бесконечномерным).

Предположим, у нас есть ограничения

${\displaystyle f_{i}(x)=0,}$

за п гладкие функции

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}}$

Они будут только определены по карте в целом. Предположим, что всюду на ограниченном множестве п производные от п функции все линейно независимый а также что Скобки Пуассона

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}}$

и

${\displaystyle \{f_{i},H\}}$

все обращаются в нуль на ограниченном подпространстве.

Это означает, что мы можем написать

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}=\sum _{k}c_{ij}^{k}f_{k}}$

для некоторых гладких функций ${\displaystyle c_{ij}^{k}}$ --- есть теорема, показывающая это; и

${\displaystyle \{f_{i},H\}=\sum _{j}v_{i}^{j}f_{j}}$

для некоторых гладких функций ${\displaystyle v_{i}^{j}}$.

Это можно сделать глобально, используя разделение единства. Затем мы говорим, что у нас есть неприводимый первоклассное ограничение (несводимый здесь в ином смысле, чем в теория представлений ).

Геометрическая теория

Для более элегантного способа предположим, что задан векторный набор над ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, с ${\displaystyle n}$-размерный волокно ${\displaystyle V}$. Оборудуйте этот векторный набор связь. Предположим также, что у нас есть гладкий участок ж этого пакета.

Затем ковариантная производная из ж относительно связи является гладкой линейная карта ${\displaystyle \nabla f}$ от касательный пучок ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$ к ${\displaystyle V}$, что сохраняет базовая точка. Предположим, что эта линейная карта верна обратимый (т.е. существует линейное отображение ${\displaystyle g}$ такой, что ${\displaystyle (\Delta f)g}$ это карта идентичности ) для всех слоев в нулях ж. Тогда, согласно теорема о неявной функции подпространство нулей ж это подмногообразие.

Обычный Скобка Пуассона определяется только над ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, пространство гладких функций над M. Однако с помощью связи мы можем распространить ее на пространство гладких участков ж если мы будем работать с расслоение алгебры с градуированная алгебра из V-тензоры как волокна.

Предположим также, что под этой скобкой Пуассона ${\displaystyle \{f,f\}=0}$ (обратите внимание, что это неправда, что ${\displaystyle \{g,g\}=0}$в общем для этой «расширенной скобки Пуассона» больше) и ${\displaystyle \{f,H\}=0}$ на подмногообразии нулей ж (Если эти скобки также везде равны нулю, то мы говорим, что ограничения закрывают вне оболочки ). Оказывается, правильное условие обратимости и условия коммутативности потоков равны независимый выбора подключения. Таким образом, мы можем разорвать соединение при условии, что мы работаем исключительно с ограниченным подпространством.

Интуитивное значение

Что все это значит интуитивно? Это означает, что гамильтониан и поток ограничений коммутируют друг с другом. на ограниченное подпространство; или, в качестве альтернативы, если мы начнем с точки подпространства с ограничениями, то гамильтониан и потоки ограничений все приведут точку к другой точке подпространства с ограничениями.

Поскольку мы хотим ограничиться только ограниченным подпространством, это предполагает, что гамильтониан или любой другой физический наблюдаемый, следует определять только на этом подпространстве. Точно так же мы можем посмотреть на класс эквивалентности гладких функций над симплектическим многообразием, которые согласовывают подпространство со связями ( фактор-алгебра посредством идеальный генерируется ж иными словами).

Загвоздка в том, что гамильтоновы потоки в ограниченном подпространстве зависят от градиента гамильтониана, а не от его значения. Но из этого есть простой выход.

Посмотрите на орбиты ограниченного подпространства под действием симплектические потоки генерируется ж с. Это дает местному слоение подпространства, поскольку оно удовлетворяет условия интегрируемости (Теорема Фробениуса ). Оказывается, если мы начнем с двух разных точек на одной и той же орбите на ограниченном подпространстве и эволюционируем обе из них под двумя разными гамильтонианами, соответственно, которые согласуются с ограниченным подпространством, то временная эволюция обеих точек под их соответствующими гамильтоновыми потоками будет всегда находиться на одной и той же орбите в равное время. Также получается, что если у нас есть две гладкие функции А₁ и B₁, которые постоянны на орбитах по крайней мере на ограниченном подпространстве (т.е. физических наблюдаемых) (т.е. {A₁, f} = {B₁, f} = 0 по ограниченному подпространству) и еще два A₂ и B₂, которые также постоянны на таких орбитах, что A₁ и B₁ согласен с А₂ и B₂ соответственно над ограниченным подпространством, то их скобки Пуассона {A₁, B₁} и {A₂, B₂} также постоянны по орбитам и согласованы по ограниченному подпространству.

В общем, нельзя исключать "эргодический «потоки (что в основном означает, что орбита плотна в некотором открытом множестве) или« субергодические »потоки (которые представляют собой плотную орбиту в некотором подмногообразии размерности больше, чем размерность орбиты). Мы не можем иметь самопересекающийся орбиты.

Для большинства «практических» приложений ограничений первого класса мы не видим таких сложностей: факторное пространство ограниченного подпространства f-потоками (другими словами, пространство орбит) ведет себя достаточно хорошо, чтобы действовать как дифференцируемое многообразие, который можно превратить в симплектическое многообразие проецируя симплектическая форма M на него (можно показать, что это хорошо определенный ). В свете наблюдений о физических наблюдаемых, упомянутых ранее, мы можем работать с этим более «физическим» меньшим симплектическим многообразием, но с 2n меньшими измерениями.

В общем, с частным пространством немного сложно работать при выполнении конкретных вычислений (не говоря уже о нелокальном при работе с ограничения диффеоморфизма ), поэтому вместо этого обычно делается нечто подобное. Отметим, что ограниченное подмногообразие - это пучок (но не пучок волокон вообще) над фактормногообразием. Итак, вместо того, чтобы работать с фактор-многообразием, мы можем работать с раздел пакета вместо этого. Это называется крепление датчика.

В основной проблема в том, что в этом комплекте может не быть глобальный раздел в целом. Вот где «проблема» глобальные аномалии входит, например. Глобальная аномалия отличается от Грибовская двусмысленность, когда фиксация калибровки не работает для однозначной фиксации калибровки, в глобальной аномалии не существует согласованного определения калибровочного поля. Глобальная аномалия - это препятствие для определения квантовой калибровочная теория обнаружил Виттен в 1980 году.

То, что было описано, - это неприводимые ограничения первого класса. Другая сложность заключается в том, что Δf может не быть правая обратимая на подпространствах ограниченного подмногообразия в коразмерность 1 или выше (что нарушает более сильное предположение, изложенное ранее в этой статье). Это происходит, например, в Котетрад формулировка общая теория относительности, на подпространстве конфигураций, где Cotetrad поле и форма подключения оказывается равным нулю над некоторым открытым подмножеством пространства. Здесь ограничения являются ограничениями диффеоморфизма.

Один из способов обойти это: для приводимых ограничений мы ослабляем условие правой обратимости Δж в это: любая гладкая функция, которая обращается в нуль в нулях ж послойное сжатие ж с (неединственным) гладким сечением ${\displaystyle {\bar {V}}}$-векторный пучок, где ${\displaystyle {\bar {V}}}$ это двойное векторное пространство в векторное пространство ограничений V. Это называется условие регулярности.

Ограниченная гамильтонова динамика из лагранжевой калибровочной теории

Прежде всего, предположим, что действие является интегралом локального Лагранжиан это зависит только с точностью до первой производной полей. Разбор более общих случаев, а возможных более сложен. При переходе к гамильтонову формализму мы обнаруживаем, что существуют ограничения. Напомним, что в формализме действия есть на оболочке и вне оболочки конфигурации. Ограничения, которые удерживают оболочку, называются первичными ограничениями, а ограничения, которые удерживаются только оболочкой, называются вторичными ограничениями.

Примеры

Рассмотрим динамику одиночной точечной частицы массы м без внутренних степеней свободы, движущихся в псевдориманов пространственно-временное многообразие S с метрика грамм. Предположим также, что параметр τ описание траектории частицы произвольно (т.е. мы настаиваем на инвариантность к репараметризации ). Тогда его симплектическое пространство это котангенсный пучок Т * С с канонической симплектической формой ω.

Если мы координируем Т * S по своему положению Икс в базовом коллекторе S и его положение в пространстве котангенса п, то у нас есть ограничение

ж = м² −грамм(Икс)⁻¹(п,п) = 0 .

Гамильтониан ЧАС как ни странно, ЧАС = 0. В свете наблюдения, что гамильтониан определен только с точностью до класса эквивалентности гладких функций, согласованных на подпространстве со связями, мы можем использовать новый гамильтониан ЧАС '= ж вместо. Тогда у нас есть интересный случай, когда гамильтониан совпадает с ограничением! Видеть Гамильтонова связь Больше подробностей.

Рассмотрим теперь случай Теория Янга – Миллса для настоящего простая алгебра Ли L (с отрицательно определенный Форма убийства η) минимально связанный к реальному скалярному полю σ, который преобразуется как ортогональное представление ρ с основным векторным пространством V под L в ( d − 1) + 1 Пространство-время Минковского. За л в L, мы пишем

ρ (l) [σ]

в качестве

l [σ]

для простоты. Позволять А быть L-значен форма подключения теории. Обратите внимание, что А здесь отличается от А используется физиками с коэффициентом я и грамм. Это согласуется с соглашением математиков.

Действие S дан кем-то

${\displaystyle S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))}$

куда грамм - метрика Минковского, F это форма кривизны

${\displaystyle d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

(нет яs или граммs!), где второй член является формальным сокращением для представления скобки Ли как коммутатора, D ковариантная производная

Dσ = dσ - А[σ]

и α ортогональная форма для ρ.

Какова гамильтонова версия этой модели? Ну, во-первых, надо разделить А нековариантно во временную составляющую φ и пространственная часть А→. Тогда полученное симплектическое пространство имеет сопряженные переменные σ, π_σ (принимая значения в нижележащем векторном пространстве ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$, двойное повторение ρ), А→, π→_А, φ и π_φ. Для каждой пространственной точки у нас есть ограничения, π_φ= 0 и Ограничение Гаусса

${\displaystyle {\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\sigma },\sigma )=0}$

где с ρ является спутник

${\displaystyle \rho :L\otimes V\rightarrow V}$,

ρ 'дуализированный сплетник

${\displaystyle \rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L}$

( L самодвойственный через η). Гамильтониан,

${\displaystyle H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi }}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).}$

Последние два члена представляют собой линейную комбинацию гауссовских ограничений, и у нас есть целое семейство (калибровочно эквивалентных) гамильтонианов, параметризованных ж. Фактически, поскольку последние три члена исчезают для состояний со связями, мы можем их отбросить.

Ограничения второго класса

В гамильтоновой системе со связями динамическая величина равна Второй класс если его скобка Пуассона хотя бы с одним ограничением не равна нулю. Тогда ограничение, имеющее ненулевую скобку Пуассона хотя бы с одним другим ограничением, является ограничение второго класса.

Видеть Скобки Дирака для разнообразных иллюстраций.

Пример: частица, ограниченная сферой.

Прежде чем переходить к общей теории, рассмотрите шаг за шагом конкретный пример, чтобы мотивировать общий анализ.

Начнем с действие описывая Ньютоновский частица масса м ограничен сферической поверхностью радиуса р в униформе гравитационное поле грамм. Когда кто-то работает в механике Лагранжа, есть несколько способов реализовать ограничение: можно переключиться на обобщенные координаты, которые явно решают ограничение, или можно использовать множитель Лагранжа, сохраняя при этом ограниченные избыточные координаты.

В этом случае частица привязана к сфере, поэтому естественным решением было бы использовать угловые координаты для описания положения частицы вместо декартовых координат и решить (автоматически устранить) ограничение таким образом (первый выбор). Вместо этого из педагогических соображений рассмотрите проблему в (избыточных) декартовых координатах с множителем Лагранжа, обеспечивающим выполнение ограничения.

Действие дано

${\displaystyle S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]}$

где последний член - это Множитель Лагранжа срок соблюдения ограничения.

Конечно, как указано, мы могли бы просто использовать разные, неизбыточные, сферические координаты и написал это как

${\displaystyle S=\int dt\left[{\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2})+mgR\cos(\theta )\right]}$

вместо этого, без дополнительных ограничений; но мы рассматриваем предыдущую координацию, чтобы проиллюстрировать ограничения.

В сопряженные импульсы даны

${\displaystyle p_{x}=m{\dot {x}}}$, ${\displaystyle p_{y}=m{\dot {y}}}$, ${\displaystyle p_{z}=m{\dot {z}}}$, ${\displaystyle p_{\lambda }=0}$ .

Обратите внимание, что мы не можем определить •λ с момента.

В Гамильтониан дан кем-то

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})}$.

Мы не можем устранить •λ на данном этапе еще нет. Мы здесь лечим •λ как сокращение для функции симплектическое пространство которые нам еще предстоит определить и нет как независимая переменная. Для согласованности обозначений определите ты₁ = •λ впредь. Вышеупомянутый гамильтониан с п_λ термин - «наивный гамильтониан». Обратите внимание, что, поскольку ограничение на оболочке должно выполняться, на оболочке невозможно отличить наивный гамильтониан от указанного выше гамильтониана с неопределенным коэффициентом, •λ = ты₁.

У нас есть основное ограничение

п_λ=0.

Мы требуем, исходя из соображений последовательности, чтобы Скобка Пуассона всех связей с гамильтонианом обращаются в нуль на подпространстве со связями. Другими словами, ограничения не должны развиваться во времени, если они собираются тождественно равняться нулю согласно уравнениям движения.

Из этого условия согласованности сразу получаем вторичное ограничение

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}}$

Это ограничение следует добавить в гамильтониан с неопределенным (не обязательно постоянным) коэффициентом ты_2, расширение гамильтониана до

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.}$

Точно так же из этого вторичного ограничения мы находим третичное ограничение

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_{PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}}$

Опять же, следует добавить это ограничение в гамильтониан, поскольку на оболочке никто не может отличить. Поэтому пока гамильтониан выглядит как

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,}$

куда ты₁, ты₂, и ты₃ до сих пор полностью не определены.

Обратите внимание, что часто все ограничения, которые находятся из условий согласованности, упоминаются как вторичные ограничения вторичные, третичные, четвертичные и т. д. ограничения не различаются.

Мы продолжаем крутить ручку, требуя, чтобы это новое ограничение исчезло. Скобка Пуассона

${\displaystyle 0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.}$

Мы можем отчаиваться и думать, что этому нет конца, но поскольку появился один из новых множителей Лагранжа, это не новое ограничение, а условие, которое фиксирует множитель Лагранжа:

${\displaystyle u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}mgz\right).}$

Включение этого в наш гамильтониан дает нам (после небольшой алгебры)

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}$

Теперь, когда в гамильтониане появились новые члены, следует вернуться и проверить условия согласованности для первичных и вторичных ограничений. Условие согласованности вторичного ограничения дает

${\displaystyle {\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3}r^{2}=0.}$

Опять же, это нет новое ограничение; это только определяет, что

${\displaystyle u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.}$

На данный момент есть больше нет ограничений или условий согласованности для проверки!

Собирая все вместе,

${\displaystyle H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }}$.

При нахождении уравнений движения следует использовать указанный выше гамильтониан, и, если вы будете осторожны, чтобы никогда не использовать ограничения перед взятием производных в скобке Пуассона, тогда вы получите правильные уравнения движения. То есть уравнения движения задаются выражением

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.}$

Прежде чем анализировать гамильтониан, рассмотрим три ограничения:

${\displaystyle \varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}.}$

Обратите внимание на нетривиальный Скобка Пуассона структура ограничений. Особенно,

${\displaystyle \{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.}$

Вышеупомянутая скобка Пуассона не просто не может исчезнуть вне оболочки, чего можно было ожидать, но даже на оболочке это ненулевое значение. Следовательно, φ₂ и φ₃ находятся ограничения второго класса пока φ₁ является ограничением первого класса. Обратите внимание, что эти ограничения удовлетворяют условию регулярности.

Здесь у нас есть симплектическое пространство, в котором скобка Пуассона не имеет «хороших свойств» на подпространстве со связями. Тем не мение, Дирак заметил, что мы можем превратить базовый дифференциальный коллектор из симплектическое пространство в Пуассоново многообразие используя его одноименную модифицированную скобку, названную Кронштейн Дирака, так что это Скобка Дирака любой (гладкой) функции с любым из ограничений второго класса всегда обращается в нуль.

Фактически, эти скобки (проиллюстрированные для этой сферической поверхности в Кронштейн Дирака article) спроецируйте систему обратно на поверхность ограничений.Если затем захотелось канонически квантовать эту систему, то нужно продвинуть канонические скобки Дирака,^[4] нет канонические скобки Пуассона к коммутационным соотношениям.

Исследование указанного гамильтониана показывает, что происходит ряд интересных вещей. Следует отметить, что при выполнении ограничений на оболочке расширенный гамильтониан, как и требуется, идентичен наивному гамильтониану. Также обратите внимание, что λ выпала из расширенного гамильтониана. С φ₁ является первичным ограничением первого класса, его следует интерпретировать как генератор калибровочного преобразования. Свобода калибровки - это свобода выбора λ, который перестал влиять на динамику частицы. Следовательно, λ выпал из гамильтониана, что ты₁ не определено, и что φ₁ = п_λ первоклассный, все тесно взаимосвязаны.

Обратите внимание, что было бы более естественно не начинать с лагранжиана с множителем Лагранжа, а вместо этого взять р² − р² в качестве основного ограничения и продолжайте через формализм: результатом будет устранение посторонних λ динамическая величина. Однако в нынешней форме этот пример более поучителен.

Смотрите также: Кронштейн Дирака

Пример: действие Proca

Другой пример, который мы будем использовать, - это Proca действие. Поля ${\displaystyle A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )}$ и действие

${\displaystyle S=\int d^{d}xdt\left[{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$

куда

${\displaystyle {\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}}$

и

${\displaystyle B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}}$.

${\displaystyle ({\vec {A}},-{\vec {E}})}$ и ${\displaystyle (\phi ,\pi )}$ находятся канонические переменные. Ограничения второго класса:

${\displaystyle \pi \approx 0}$

и

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0}$.

Гамильтониан дается формулой

${\displaystyle H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$.

Смотрите также

• Кронштейн Дирака
• Голономное ограничение
• Анализ потоков

Рекомендации

1. Ингемар Бенгтссон, Стокгольмский университет. «Гамильтоновы системы с ограничениями» (PDF). Стокгольмский университет. Получено 29 мая 2018. Мы начинаем с лагранжиана L (q, ̇ q), выводим канонические импульсы, постулируем наивные скобки Пуассона и вычисляем гамильтониан. Для простоты предполагается, что ограничений второго класса не существует или, если они есть, с ними уже справились, а наивные скобки заменены скобками Дирака. Остается набор ограничений [...]
2. Дирак, Поль А. М. (1950), "Обобщенная гамильтонова динамика", Канадский математический журнал, 2: 129–148, Дои:10.4153 / CJM-1950-012-1, ISSN  0008-414X, МИСТЕР  0043724
3. Дирак, Поль А. М. (1964), Лекции по квантовой механике, Серия монографий Белферской высшей школы естественных наук, 2, Белферская высшая школа наук, Нью-Йорк, МИСТЕР  2220894. Полная копия оригинала, Dover Publications, New York, NY, 2001.
4. Corrigan, E .; Захос, К. К. (1979). «Нелокальные заряды для суперсимметричной σ-модели». Письма по физике B. 88 (3–4): 273. Bibcode:1979ФЛБ ... 88..273С. Дои:10.1016/0370-2693(79)90465-9.

дальнейшее чтение

• Falck, N.K .; Хиршфельд, А. С. (1983). «Квантование Дирака-скобки нелинейной системы со связями: жесткий ротатор». Европейский журнал физики. 4: 5. Bibcode:1983EJPh .... 4 .... 5F. Дои:10.1088/0143-0807/4/1/003.
• Homma, T .; Inamoto, T .; Миядзаки, Т. (1990). «Уравнение Шредингера для нерелятивистской частицы, связанной с гиперповерхностью в искривленном пространстве». Физический обзор D. 42 (6): 2049. Bibcode:1990ПхРвД..42.2049Х. Дои:10.1103 / PhysRevD.42.2049.