Грибовская двусмысленность - Gribov ambiguity

В калибровочная теория, особенно в неабелев калибровочные теории, глобальные проблемы на крепление датчика часто встречаются. Установка манометра означает выбор представителя от каждого калибровочная орбита, то есть выбор участок пучка волокон. Пространство представителей является подмногообразием (расслоения в целом) и представляет собой условие фиксации калибровки. В идеале каждая калибровочная орбита будет пересекать это подмногообразие один и только один раз. К сожалению, это часто невозможно в глобальном масштабе для неабелевых калибровочных теорий из-за топологических препятствий, и лучшее, что можно сделать, - это сделать это условие истинным локально. Подмногообразие, фиксирующее калибровку, может вообще не пересекать калибровочную орбиту или пересекать ее более одного раза. Трудность возникает из-за того, что условие фиксации калибровки обычно задается как какое-то дифференциальное уравнение, например что расхождение исчезает (как в случае Ландау или Датчик Лоренца ). Решения этого уравнения могут закончиться указанием нескольких разделов или, возможно, ни одного. Это называется Грибовская двусмысленность (названный в честь Владимир Грибов ).

Двусмысленность Грибова приводит к непертурбативный провал BRST симметрия, среди прочего.

Один из способов решить проблему неоднозначности Грибова - ограничить соответствующие функциональные интегралы одним Грибовский район граница которого называется Грибовский горизонтТем не менее можно показать, что эта проблема не решается даже при уменьшении региона до первого. Грибовский район. Единственная область, для которой разрешена эта неоднозначность, - это фундаментальная модульная область (FMR).

Фон

При проведении вычислений в калибровочных теориях обычно необходимо выбрать калибровку. Калибровочные степени свободы не имеют прямого физического значения, но они являются артефактом математического описания, которое мы используем для работы с рассматриваемой теорией. Чтобы получить физические результаты, эти избыточные степени свободы необходимо отбросить подходящим способом.

В абелевой калибровочной теории (т.е. в QED ) достаточно просто выбрать калибровку. Популярным является датчик Лоренца. ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$, который имеет то преимущество, что Инвариант Лоренца. В неабелевых калибровочных теориях (таких как QCD ) ситуация усложняется из-за более сложной структуры неабелевой калибровочной группы.

Формализм Фаддеева – Попова, разработанный Людвиг Фаддеев и Виктор Попов, дает возможность иметь дело с выбором калибровки в неабелевых теориях. Этот формализм вводит оператор Фаддеева – Попова, который по сути Определитель якобиана преобразования, необходимого для приведения калибровочного поля к желаемой калибровке. В так называемой калибровке Ландау^{[примечание 1]} ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$, этот оператор имеет вид

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\;,}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}}$ это ковариантная производная в присоединенном представлении. Затем определитель этого оператора Фаддеева – Попова вводится в интеграл по путям с помощью призрачные поля.

Этот формализм, однако, предполагает, что выбор калибровки (например, ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$) уникален - т.е. для каждой физической конфигурации существует ровно один ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ что ему соответствует и удовлетворяет условию калибровки. Однако в неабелевых калибровочных теориях типа Янга – Миллса это не так для большого класса калибровок:^[1][2][3] на что впервые указал Грибов.^[4]

Строительство Грибова

Грибов рассмотрел вопрос о том, какое количество различных калибровочных копий этой конфигурации при определенной физической конфигурации удовлетворяет калибровочному условию Ландау. ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$. Никаких конфигураций без представителей не известно.^[5] Однако вполне возможно, что их будет больше одного.

Рассмотрим два калибровочных поля ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ и ${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'}$, и предположим, что оба они подчиняются калибровочному условию Ландау. Если ${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'}$ калибровочная копия ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$, мы бы имели (при условии, что они бесконечно близки друг к другу):

${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'=A_{\mu }^{a}+{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}}$

для какой-то функции ${\displaystyle \omega ^{b}}$.^{[заметка 2]} Если оба поля подчиняются калибровочному условию Ландау, мы должны иметь, что

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}=0\;,}$

таким образом, оператор Фаддеева – Попова имеет по крайней мере одну нулевую моду.^[5] Если калибровочное поле бесконечно мало, этот оператор не будет иметь нулевых мод. Набор калибровочных полей, в котором оператор Фаддеева – Попова имеет свою первую нулевую моду (при старте из начала координат), называется «горизонтом Грибова». Множество всех калибровочных полей, в которых оператор Фаддеева – Попова не имеет нулевых мод (что означает, что этот оператор положительно определен), называется «первой областью Грибова». ${\displaystyle \Omega }$.^[6]

Если калибровочные поля имеют калибровочные копии, эти поля будут пересчитаны в интеграле по путям. Грибов утверждал, что для того, чтобы противостоять этому перерасчету, мы должны ограничить интеграл по путям до первой области Грибова. Для этого он рассмотрел фантомный пропагатор, который представляет собой вакуумное математическое ожидание обратного оператора Фаддеева – Попова. Если этот оператор всегда положительно определен, фантомный пропагатор не может иметь полюсов - это называется «условием отсутствия полюсов». В обычной теории возмущений (с использованием обычного формализма Фаддеева – Попова) пропагатор действительно имеет полюс, что означает, что мы покинули первую область Грибова и пересчитали некоторые конфигурации.^[7]

Получив пертурбативное выражение для фантомного пропагатора, Грибов обнаружил, что это неполюсное условие приводит к условию вида^[7][8]

${\displaystyle \langle \sigma [A]\rangle =\left\langle {\frac {Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}\int {\frac {d^{d}q}{(2\pi )^{d}}}A_{\mu }^{a}(-q){\frac {1}{q^{2}}}A_{\mu }^{a}(q)\right\rangle <1\;,}$

с N количество цветов (которое в КХД равно 3), грамм измеритель прочности сцепления, V объем пространства-времени (который в большинстве приложений стремится к бесконечности), и d количество измерений пространства-времени (которое в реальном мире равно 4). Функционал ${\displaystyle \sigma [A]}$ сокращенное обозначение выражения между угловыми скобками. Чтобы наложить это условие, Грибов предложил ввести Ступенчатая функция Хевисайда содержащий указанное выше в интеграл по путям, в его Представление Фурье:

${\displaystyle H(1-\sigma [A])=\int _{-i\infty +\epsilon }^{+i\infty +\epsilon }{\frac {d\beta }{2\pi i\beta }}e^{\beta (1-\sigma [A])}\;.}$

В этом выражении параметр ${\displaystyle \beta }$ называется «параметром Грибова». Затем интегрирование по этому параметру Грибова выполняется с использованием способ наискорейшего спуска. Этот метод дает уравнение для параметра Грибова, которое называется уравнением разрыва. Подстановка решения этого уравнения обратно в интеграл по путям приводит к модифицированной калибровочной теории.

С модификацией, проистекающей из параметра Грибова, оказывается, что глюонный пропагатор видоизменяется до^[7][9]

${\displaystyle D_{\mu \nu }^{ab}(k)=\delta ^{ab}\left(\delta _{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}\right){\frac {1}{k^{2}+{\frac {2Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}{\frac {\beta _{0}}{k^{2}}}}}\;,}$

куда ${\displaystyle \beta _{0}}$ это ценность ${\displaystyle \beta }$ который решает уравнение разрыва. Призрачный пропагатор также модифицируется и в одноконтурном порядке отображает поведение ${\displaystyle \propto 1/k^{4}}$.^[10]

Действие Грибова – Цванцигера.

Несколько лет спустя Даниэль Цванцигер также рассмотрел проблему Грибова. Он использовал другой подход. Вместо того, чтобы рассматривать призрачный пропагатор, он вычислил наименьшее собственное значение оператора Фаддеева – Попова как пертурбативный ряд в глюонном поле. Это дало некоторую функцию, которую он назвал «функцией горизонта», и ожидаемое значение вакуума этой функции горизонта должно быть ограничено максимум одним, чтобы оставаться в пределах первой области Грибова.^[11] Это условие может быть выражено путем введения функции горизонта в интеграл по путям (способом, аналогичным тому, как Грибов сделал то же самое) и наложения определенного уравнения зазора на вакуумную энергию результирующей теории.^[12] Это дало новый интеграл по путям с измененным действием, которое, однако, является нелокальным. В первом порядке результаты идентичны тем, которые ранее нашел Грибов.

Чтобы легче было разобраться с найденным действием, Цванцигер ввел локализующие поля. Как только действие стало локальным, можно было доказать, что полученная теория верна. перенормируемый^[13] - т.е. все бесконечности, порожденные петлевыми диаграммами, могут быть поглощены путем мультипликативного изменения содержимого (константа связи, нормализация поля, параметр Грибова), уже присутствующего в теории, без необходимости дополнительных добавлений.

Цванцигер, кроме того, отметил, что получившийся глюонный пропагатор не допускает Спектральное представление Келлена – Лемана, что сигнализирует о том, что глюон больше не может быть физической частицей.^[13] Это часто интерпретируется как сигнализация. ограничение цвета.

Недвижимость первого Грибовского района

Поскольку первая область Грибова играет ключевую роль в разрешении двусмысленности Грибова, она привлекла к себе дополнительное внимание за годы, прошедшие со времени выхода первой статьи Грибова. Калибровку Ландау можно определить как калибровку, которая экстремализирует функционал

${\displaystyle ||A||^{2}=\int d^{d}xA_{\mu }^{a}(x)A_{\mu }^{a}(x)\;.}$

Простой экстремум (максимум или же минимум) этого функционала - обычная калибровка Ландау. Требование минимума (что равносильно требованию, чтобы оператор Фаддеева – Попова был положительным) приводит к тому, что он попадает в первую область Грибова.^[6]

Однако это условие все еще включает относительные минимумы. Было показано, что все еще существуют копии Грибова в пределах первой области Грибова, которые связаны друг с другом топологически тривиальным калибровочным преобразованием.^[14] Пространство калибровочных функций, абсолютно минимизирующих функционал ${\displaystyle ||A||^{2}}$ определенное выше, называется «фундаментальной модульной областью». Однако неизвестно, как ограничить интеграл по путям этой областью.

Показано, что первая Грибовская область ограничена во всех направлениях,^[15] так что никакие произвольно большие конфигурации поля не принимаются во внимание при ограничении интеграла по путям этой области.^[16] Кроме того, первая область Грибова выпуклая, и все физические конфигурации имеют внутри нее хотя бы одного представителя.^[17]

Более поздние разработки

В 2013 году было доказано, что два формализма - формализм Грибова и Цванцигера - эквивалентны всем порядкам теории возмущений.^[18]

Одна из проблем формализма Грибова – Цванцигера состоит в том, что БРСТ-симметрия сломан.^[19] Это нарушение можно интерпретировать как нарушение динамической симметрии.^[20] Нарушение является «мягким» (т.е. пропорционально параметру с положительной размерностью массы, в данном случае параметру Грибова), так что перенормируемость все еще может быть доказана. Унитарность Однако все еще проблематично.

Длительное время, решеточное моделирование казалось, это указывает на то, что модифицированные пропагаторы глюонов и призраков, предложенные Грибовым и Цванцигером, были правильными. Однако в 2007 г. компьютеры стали достаточно мощными, чтобы исследовать область малых импульсов, где пропагаторы наиболее модифицированы, и оказалось, что картина Грибова – Цванцигера неверна. Вместо этого глюонный пропагатор принимает постоянное значение, когда импульс становится равным нулю, а призрачный пропагатор по-прежнему имеет вид 1 /k² при низких импульсах.^[21] Это справедливо как для 3-х, так и для 4-х измерений пространства-времени.^[22] Было предложено решение этого несоответствия путем добавления конденсатов к действию Грибова – Цванцигера.^[23]

Примечания

1. В квантовой калибровочной теории термин «калибровка Лоренца» обычно относится к более общим калибровкам вида ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }(x)=f(x)}$, где функция ${\displaystyle f(x)}$ обычно усредняется.
2. Ковариантная производная здесь содержит калибровочное поле ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$.

Рекомендации

1. Певица 1978.
2. Маас 2013, раздел 2.4.
3. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., п. 178.
4. Грибов 1978.
5. Грибов 1978, раздел 2.
6. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., п. 188.
7. Грибов 1978, раздел 6.
8. Вандерсикель 2011, раздел 3.1.
9. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., п. 197.
10. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., п. 198.
11. Цванцигер 1989, раздел 3.
12. Цванцигер 1989, раздел 4.
13. Цванцигер 1989, раздел 5.
14. ван Баал 1992.
15. Дель Антонио и Цванцигер 1989.
16. Маас 2013, п. 211.
17. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., п. 189.
18. Capri et al. 2013.
19. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., п. 2013.
20. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., п. 225.
21. Куккьери и Мендес 2007.
22. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., п. 179.
23. Вандерсикель и Цванцигер, 2012 г., 4.2.

Источники

• Capri, Márcio A.L .; Дудал, Дэвид; Guimarães, Marcelo S .; Palhares, Letícia F .; Сорелла, Сильвио П. (2013). «Доказательство во всем порядке эквивалентности неполюсности Грибова и условий горизонта Цванцигера». Phys. Lett. B. 719: 448–453. arXiv:1212.2419. Bibcode:2013ФЛБ..719..448С. Дои:10.1016 / j.physletb.2013.01.039.
• Куккьери, Аттилио; Мендес, Тереза ​​(2007). «Что случилось с ИК-глюонами и призрачными пропагаторами в калибровке Ландау? Загадочный ответ из огромных решеток». PoS. LAT2007: 297. arXiv:0710.0412. Bibcode:2007slft.confE.297C.
• Дель'Антонио, Джанфаусто; Цванцигер, Даниэль (1989). «Эллипсоидальная граница на горизонте Грибова противоречит пертурбативной ренормгруппе». Ядерная физика B. 326: 333–350. Bibcode:1989НуФБ.326..333Д. Дои:10.1016/0550-3213(89)90135-1.
• Грибов Владимир Николаевич (1978). «Квантование неабелевых калибровочных теорий». Ядерная физика B. 139: 1–19. Bibcode:1978НуФБ.139 .... 1Г. Дои:10.1016 / 0550-3213 (78) 90175-Х.
• T. Heinzl. Гамильтонов подход к проблеме Грибова. Nuclear Physics B (Proc.Suppl) 54A (1997) 194-197, arXiv: hep-th / 9609055
• Кондо, http://www.icra.it/MG/mg12/talks/sqg5_kondo.pdf (второй слайд)
• Маас, Аксель (2013). «Калибровочные бозоны при нулевой и конечной температуре». Отчеты по физике. 524: 203–300. arXiv:1106.3942. Bibcode:2013ФР ... 524..203М. Дои:10.1016 / j.physrep.2012.11.002.
• Певец, Исадор М. (1978). «Несколько замечаний по поводу двусмысленности Грибова». Коммуникации по математической физике. 60: 7–12. Bibcode:1978CMaPh..60 .... 7S. Дои:10.1007 / BF01609471.
• ван Баал, Пьер (1992). «Еще (мысли о) копиях Грибова». Nucl. Phys. B. 369: 259–275. Bibcode:1992НуФБ.369..259В. CiteSeerX  10.1.1.35.6645. Дои:10.1016 / 0550-3213 (92) 90386-П.
• Вандерсикель, Неле (2011). Исследование действия Грибова – Цванцигера: от пропагаторов к глюболам (Тезис). Гентский университет. arXiv:1104.1315. Bibcode:2011arXiv1104.1315V.
• Вандерсикель, Неле; Цванцигер, Даниэль (2012). «Проблема Грибова и динамика КХД». Phys. Представитель. 520: 175–251. arXiv:1202.1491. Bibcode:2012ФР ... 520..175В. Дои:10.1016 / j.physrep.2012.07.003.
• Цванцигер, Даниэль (1989). «Локальное и перенормируемое действие из горизонта Грибова». Ядерная физика B. 323: 513–544. Bibcode:1989НуФБ.323..513Z. Дои:10.1016/0550-3213(89)90122-3.