Неабелево калибровочное преобразование - Non-abelian gauge transformation

В теоретическая физика, а неабелево калибровочное преобразование означает калибровочное преобразование принимая ценности в некоторых группа грамм, элементы которых не подчиняются коммутативный закон когда они умножаются. Напротив, первоначальный выбор группа датчиков в физике электромагнетизм был U (1), который коммутативен.

Для неабелев Группа Ли грамм, его элементы не коммутируют, т.е. нет удовлетворить

${\displaystyle a*b=b*a\,}$.

В кватернионы ознаменовало введение в математику неабелевых структур.

В частности, его генераторы ${\displaystyle t^{a}}$, составляющих основу векторное пространство из бесконечно малые преобразования (в Алгебра Ли ), имеют правило коммутации:

${\displaystyle \left[t^{a},t^{b}\right]=t^{a}t^{b}-t^{b}t^{a}=C^{abc}t_{c}.}$

В структурные константы ${\displaystyle C^{abc}}$ количественно оценить отсутствие коммутативности и не исчезнуть. Мы можем сделать вывод, что структурные константы антисимметричны по первым двум индексам и действительны. Обычно выбирается нормализация (с помощью Дельта Кронекера ) в качестве

${\displaystyle Tr(t^{a}t^{b})={\frac {1}{2}}\delta ^{ab}.}$

В рамках этого ортонормированный базис, то структурные константы антисимметричны по всем трем индексам.

Элемент ${\displaystyle \omega }$ группы можно выразить около элемент идентичности в виде

${\displaystyle \omega =exp(\theta ^{a}t^{a})}$,

куда ${\displaystyle \theta ^{a}}$ параметры преобразования.

Позволять ${\displaystyle \varphi (x)}$ - поле, ковариантно преобразующееся в данном представлении ${\displaystyle T(\omega )}$. Это означает, что при преобразовании мы получаем

${\displaystyle \varphi (x)\to \varphi '(x)=T(\omega )\varphi (x).}$

Поскольку любое представление компактная группа эквивалентно унитарное представительство, мы принимаем

${\displaystyle T(\omega )}$

быть унитарная матрица без ограничения общности. Мы предполагаем, что лагранжиан ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ зависит только от поля ${\displaystyle \varphi (x)}$ и производная ${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi (x)}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}.}$

Если элемент группы ${\displaystyle \omega }$ не зависит от координат пространства-времени (глобальная симметрия), производная преобразованного поля эквивалентна преобразованию производных поля:

${\displaystyle \partial _{\mu }T(\omega )\varphi (x)=T(\omega )\partial _{\mu }\varphi (x).}$

Таким образом, поле ${\displaystyle \varphi }$ и его производное преобразование таким же образом. По унитарности представления скалярные произведения подобно ${\displaystyle (\varphi ,\varphi )}$, ${\displaystyle (\partial _{\mu }\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$ или же ${\displaystyle (\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$ инвариантны относительно глобального преобразования неабелевой группы.

Любой лагранжиан, построенный из таких скалярных произведений, глобально инвариантен:

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}={\mathcal {L}}{\big (}T(\omega )\varphi (x),T(\omega )\partial _{\mu }\varphi (x){\big )}.}$