Спектральное представление Келлена – Лемана - Källén–Lehmann spectral representation

В Спектральное представление Келлена – Лемана дает общее выражение для (упорядоченного по времени) двухточечная функция взаимодействующего квантовая теория поля в виде суммы бесплатных пропагаторы. Это было обнаружено Гуннар Келлен и Гарри Леманн независимо.^[1][2] Это можно записать как, используя метрическую сигнатуру в основном минус,

${\displaystyle \Delta (p)=\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }},}$

где ${\displaystyle \rho (\mu ^{2})}$ - функция спектральной плотности, которая должна быть положительно определенной. В калибровочная теория, это последнее условие не может быть выполнено, но, тем не менее, можно обеспечить спектральное представление.^[3] Это принадлежит непертурбативный методы квантовая теория поля.

Математический вывод

Следующий вывод использует метрическую сигнатуру «в основном минус».

Чтобы получить спектральное представление для пропагатора поля ${\displaystyle \Phi (x)}$, рассматривается полный набор состояний ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$ так что для двухточечная функция можно писать

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}\langle 0|\Phi (x)|n\rangle \langle n|\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle .}$

Теперь мы можем использовать Инвариантность Пуанкаре вакуума, чтобы записать

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}e^{-ip_{n}\cdot (x-y)}|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}.}$

Введем функцию спектральной плотности

${\displaystyle \rho (p^{2})\theta (p_{0})(2\pi )^{-3}=\sum _{n}\delta ^{4}(p-p_{n})|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}}$.

Мы использовали тот факт, что наша двухточечная функция, являющаяся функцией ${\displaystyle p_{\mu }}$, может зависеть только от ${\displaystyle p^{2}}$. Кроме того, все промежуточные состояния имеют ${\displaystyle p^{2}\geq 0}$ и ${\displaystyle p_{0}>0}$. Сразу становится понятно, что функция спектральной плотности действительна и положительна. Итак, можно написать

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}e^{-ip\cdot (x-y)}\rho (\mu ^{2})\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$

и мы свободно меняем местами интегрирование, это должно быть сделано осторожно с математической точки зрения, но здесь мы игнорируем это и записываем это выражение как

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta '(x-y;\mu ^{2})}$

будучи

${\displaystyle \Delta '(x-y;\mu ^{2})=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$.

От CPT теорема мы также знаем, что такое же выражение справедливо для ${\displaystyle \langle 0|\Phi ^{\dagger }(x)\Phi (y)|0\rangle }$ и таким образом мы приходим к выражению для хронологически упорядоченного произведения полей

${\displaystyle \langle 0|T\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta (x-y;\mu ^{2})}$

быть сейчас

${\displaystyle \Delta (p;\mu ^{2})={\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}$

свободная частица пропагатор. Теперь, когда у нас есть точный пропагатор, заданный хронологически упорядоченной двухточечной функцией, мы получили спектральное разложение.

Рекомендации

1. Келлен, Гуннар (1952). «Об определении констант перенормировки в квантовой электродинамике». Helvetica Physica Acta. 25: 417. Дои:10.5169 / пломбы-112316 (доступна загрузка в формате pdf)
2. Леманн, Гарри (1954). "Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten Quantisierter Felder". Nuovo Cimento (на немецком). 11 (4): 342–357. Bibcode:1954NCim ... 11..342L. Дои:10.1007 / bf02783624. ISSN  0029-6341. S2CID  120848922.
3. Строкки, Франко (1993). Избранные темы об общих свойствах квантовой теории поля. Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-02-1143-1.

Библиография

• Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей: основы тома I. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55001-7.
• Пескин, Михаил; Шёдер, Дэниел (1995). Введение в квантовую теорию поля. Группа книг Персей. ISBN  978-0-201-50397-5.
• Зинн-Джастин, Жан (1996). Квантовая теория поля и критические явления (3-е изд.). Clarendon Press. ISBN  978-0-19-851882-2.