Уравнение Вейля - Weyl equation - Wikipedia

В физика, особенно квантовая теория поля, то Уравнение Вейля это релятивистское волновое уравнение для описания безмассовых спин-1/2 частицы называются Фермионы Вейля. Уравнение названо в честь Герман Вейль. Фермионы Вейля - один из трех возможных типов элементарных фермионов, два других - это Дирак и Майорана фермионы.

Ни один из элементарные частицы в Стандартная модель являются фермионами Вейля. До подтверждения осцилляции нейтрино считалось, что нейтрино может быть фермионом Вейля (теперь он считается либо дираковским, либо майорановским фермионом). В физика конденсированного состояния, некоторые материалы, которые могут отображать квазичастицы которые ведут себя как фермионы Вейля, что приводит к понятию Полуметаллы Вейля.

История

В Уравнение Дирака, был опубликован в 1928 г. Поль Дирак, сначала описывая спин-½ частицы в рамках релятивистская квантовая механика.^[1] Немецкий математик и математический физик Герман Вейль опубликовал свое уравнение в 1929 году как упрощенную версию уравнения Дирака.^[1][2] Вольфганг Паули написал в 1933 году против уравнения Вейля, потому что оно нарушает паритет.^[3] Однако за три года до этого Паули предсказал существование нового элементарного фермион, то нейтрино, чтобы объяснить бета-распад, который в конечном итоге будет описываться тем же уравнением.

В 1937 г. Коньерс Херринг предложил идею квазичастиц фермионов Вейля в конденсированных средах.^[4]

Окончательно нейтрино были подтверждены в 1956 году как частицы с исчезающей массой.^[3] В том же году У эксперимент, показало, что паритет был нарушен слабое взаимодействие. Затем последовало экспериментальное открытие нейтрино. спиральность в 1958 г.^[3] Вдобавок, поскольку эксперименты не показали признаков массы нейтрино, интерес к уравнению Вейля вернулся на поверхность. В Стандартная модель, таким образом, был построен в предположении, что нейтрино были фермионами Вейля.^[3]

Пока итальянский физик Бруно Понтекорво предложил в 1957 г. возможность масс нейтрино и осцилляции нейтрино,^[3] только в 1998 году Супер-Камиоканде в итоге подтвердил свое существование.^[3] Это открытие подтвердило, что уравнение Вейля не может полностью описать распространение нейтрино.^[1]

В 2015 году первый Полуметалл Вейля экспериментально продемонстрировано в кристаллическом арсениде тантала (${\displaystyle {\ce {TaAs}}}$) при сотрудничестве М.З. Хасан s (Университет Принстона ) и Х. Дина (Китайская Академия Наук ) команд.^[4] Самостоятельно, в том же году, М. Солячич команда (Массачусетский Институт Технологий ) также наблюдается вейлевское возбуждение фотонные кристаллы.^[4]

Уравнение

Уравнение Вейля можно записать как^[5][6][7]

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Расширяя вышеуказанное, и вставляя ${\displaystyle c}$ для скорость света:

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

куда

${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(\sigma ^{0},\sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

это вектор компонентами которого являются 2 × 2 единичная матрица ${\displaystyle I_{2}}$ за μ = 0 и Матрицы Паули за μ = 1,2,3 и ψ это волновая функция - один из вейлов спиноры. Двойственная форма уравнения обычно записывается как:

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

куда ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma _{x},-\sigma _{y},-\sigma _{z})}$. Эти две разные формы уравнения Вейля; их решения также различны. Можно показать, что решения имеют левую и правую стороны. спиральность, и поэтому хиральность. Эти два элемента удобно обозначить явно; маркировка ${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$ и ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Решения плоских волн

В плоская волна решения уравнения Вейля называются левыми и правыми спинорами Вейля, каждый из которых имеет две компоненты. Оба имеют форму

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$,

куда

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

- зависящий от импульса двухкомпонентный спинор, удовлетворяющий

${\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}})\chi =0}$

или же

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}})\chi =0}$.

Прямым манипулированием получаем, что

${\displaystyle ({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu })(\sigma ^{\mu }p_{\mu })\chi =(\sigma ^{\nu }p_{\nu })({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu })\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}})\chi =0}$,

и заключает, что уравнения соответствуют частице, которая безмассовый. В результате величина импульс п относится непосредственно к волновой вектор k посредством Отношения де Бройля в качестве:

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c}$

Уравнение можно записать в терминах левых и правых спиноров как:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0\end{aligned}}}$

Спиральность

Основная статья: Спиральность (физика элементарных частиц)

Левая и правая компоненты соответствуют спиральности λ частиц, проекция оператор углового момента J на линейный импульс п:

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle }$

Здесь ${\displaystyle \lambda =\pm 1/2}$.

Лоренц-инвариантность

Оба уравнения Инвариант Лоренца под Преобразование Лоренца ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$ куда ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$ Точнее, уравнения преобразуются как

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=(S^{-1})^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

куда ${\displaystyle S^{\dagger }}$ это Эрмитово транспонирование, при условии, что правое поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

Матрица ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ связана с преобразованием Лоренца с помощью двойное покрытие из Группа Лоренца посредством специальная линейная группа ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ данный

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Таким образом, если непреобразованный дифференциал обращается в нуль в одной лоренцевой системе отсчета, то он обращается в нуль и в другой. по аналогии

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

при условии, что левое поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=(S^{\dagger })^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.}$

Доказательство

Ни одно из этих свойств преобразования никоим образом не является «очевидным» и поэтому заслуживает тщательного вывода. Начнем с формы

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

для некоторых неизвестных ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ быть определенным. Преобразование Лоренца в координатах:

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

или, что то же самое,

${\displaystyle x^{\nu }={(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Это ведет к

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Чтобы использовать карту Вейля

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

необходимо поднять и опустить несколько индексов. Это легче сказать, чем сделать, так как это вызывает идентичность

${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}}$

куда ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ это плоское пространство Метрика Минковского. Вышеупомянутый идентификатор часто используется для определения элементов ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$ Берется транспонирование:

${\displaystyle {(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }={(\Lambda ^{-1T})_{\mu }}^{\nu }}$

написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{(\Lambda ^{-1})^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{(\Lambda ^{-1T})_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Таким образом, можно восстановить первоначальную форму, если ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ то есть, ${\displaystyle R=S.}$ Проделав те же манипуляции с левым уравнением, можно сделать вывод, что

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

с ${\displaystyle L=(S^{\dagger })^{-1}.}$^[а]

Отношение к Майоране

Уравнение Вейля принято интерпретировать как описывающее безмассовую частицу. Однако с небольшими изменениями можно получить двухкомпонентную версию Уравнение майорана.^[8] Это возникает потому, что специальная линейная группа ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ является изоморфный к симплектическая группа ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} ).}$ Симплектические группы определяются как совокупность всех комплексных матриц 2x2, удовлетворяющих

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{T}\omega =S^{-1}}$

куда

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Определяющее отношение можно переписать как ${\displaystyle \omega S^{*}=(S^{\dagger })^{-1}\omega }$ куда ${\displaystyle S^{*}}$ это комплексно сопряженный. Правое поле, как отмечалось ранее, преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

и поэтому комплексно сопряженное поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Применяя определяющее отношение, можно сделать вывод, что

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=(S^{\dagger })^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

что точно такое же свойство ковариантности Лоренца, о котором говорилось ранее. Таким образом, линейная комбинация с использованием произвольного комплексного фазового множителя ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

преобразуется ковариантно; установка на ноль дает сложный двухкомпонентный Уравнение майорана. Уравнение Майорана обычно записывается как четырехкомпонентное действительное уравнение, а не как двухкомпонентное комплексное уравнение; все вышесказанное может быть преобразовано в четырехкомпонентную форму (подробности см. в этой статье). Аналогично, левокиральное уравнение Майорана (включая произвольный фазовый множитель ${\displaystyle \zeta }$) является

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Как отмечалось ранее, левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности. Косое комплексное сопряжение ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ можно признать зарядовое сопряжение форма ${\displaystyle \psi ~.}$ Таким образом, уравнение Майорана можно рассматривать как уравнение, которое связывает спинор с его зарядово-сопряженной формой. Две отдельные фазы массового члена связаны с двумя различными собственными значениями оператора зарядового сопряжения; видеть зарядовое сопряжение и Уравнение майорана для подробностей.

Определите пару операторов, операторы Майорана,

${\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

куда ${\displaystyle K}$ - краткое напоминание о необходимости принимать комплексное сопряжение. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=(S^{\dagger })^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=(S^{\dagger })^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации лоренцевы ковариантны, и можно взять

${\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$

как пару комплексных 2-спинорных уравнений Майорана.

Продукты ${\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}}$ и ${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}}$ оба лоренцевы ковариантны. Продукт явно

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2})=-(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2})}$

Для проверки необходимо помнить, что ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ и это ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ RHS сводится к Оператор Клейна – Гордона при условии, что ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$, то есть, ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$ Таким образом, эти два оператора Майорана являются «квадратными корнями» оператора Клейна – Гордона.

Лагранжевые плотности

Уравнения получаются из Лагранжевые плотности

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}},}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}.}$

Путем лечения спинора и его сопрягать (обозначается ${\displaystyle \dagger }$) в качестве независимых переменных получается соответствующее уравнение Вейля.

Спиноры Вейля

Период, термин Спинор Вейля также часто используется в более общих условиях, как определенный элемент Алгебра Клиффорда. Это тесно связано с решениями, данными выше, и дает естественную геометрическую интерпретацию спиноры как геометрические объекты, живущие на многообразие. Этот общий параметр имеет несколько сильных сторон: он разъясняет их интерпретацию как фермионы в физике, и это показывает, как точно определить спин в Общая теория относительности, или, действительно, для любого Риманово многообразие или же псевдориманово многообразие. Неофициально это схематично показано следующим образом.

Уравнение Вейля имеет вид инвариантный под действием Группа Лоренца. Это означает, что, поскольку повышает и вращения применяются, форма самого уравнения не меняется. Однако форма спинор ${\displaystyle \psi }$ сам по себе меняется. Игнорирование пространство-время целиком алгебра спиноров описывается (комплексифицированной) Алгебра Клиффорда. Спиноры трансформируются под действием вращательная группа. Это полностью аналогично тому, как можно говорить о векторе, и как он трансформируется под действием группа ротации, за исключением того, что теперь он адаптирован к случаю спиноров.

Учитывая произвольную псевдориманово многообразие ${\displaystyle M}$ измерения ${\displaystyle (p,q)}$можно считать, что это касательный пучок ${\displaystyle TM}$. В любой момент ${\displaystyle x\in M}$, то касательное пространство ${\displaystyle T_{x}M}$ это ${\displaystyle (p,q)}$ размерный векторное пространство. Учитывая это векторное пространство, можно построить алгебру Клиффорда ${\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)}$ в теме. Если ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ площадь базис векторного пространства на ${\displaystyle T_{x}M}$, можно построить пару спиноров Вейля как^[9]

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)}$

и

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

При правильном рассмотрении в свете алгебры Клиффорда они естественно анти-коммутирующий, то есть есть что ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}.}$ Это можно с радостью интерпретировать как математическую реализацию Принцип исключения Паули, что позволяет интерпретировать эти абсурдно определенные формальные структуры как фермионы. За ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$ размерный Пространство-время Минковского возможны только два таких спинора, условно обозначенные как «левый» и «правый», как описано выше. Более формальное, общее представление спиноров Вейля можно найти в статье о вращательная группа.

Абстрактную общерелятивистскую форму уравнения Вейля можно понять следующим образом: дано псевдориманово многообразие ${\displaystyle M}$, строится пучок волокон над ней со спиновой группой в качестве волокна. Спиновая группа ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ это двойная крышка из специальная ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$, так что можно послойно отождествить спиновую группу с комплект кадров над ${\displaystyle M}$. Когда это будет сделано, получившаяся структура называется спиновая структура.

Выбор одной точки на волокне соответствует выбору местная система координат для пространства-времени; две разные точки на волокне связаны (лоренцевым) усилением / вращением, то есть локальным изменением координат. Естественными обитателями спиновой структуры являются спиноры Вейля, в том смысле, что спиновая структура полностью описывает, как спиноры ведут себя при (лоренцевых) бустах / вращениях.

Учитывая спиновый коллектор, аналог метрическое соединение это спин-соединение; По сути, это «то же самое», что и обычное соединение, только с последовательными привязками к нему спиновых индексов. В ковариантная производная может быть определено в терминах соединения совершенно обычным образом. Он естественно действует на Связка Клиффорда; расслоение Клиффорда - это пространство, в котором живут спиноры. Общее исследование таких структур и их взаимосвязей называется геометрия вращения.

Особые случаи

Есть три важных частных случая, которые можно построить из спиноров Вейля. Один из них Спинор Дирака, которые можно принять за пару спиноров Вейля, левую и правую. Они связаны вместе таким образом, что представляют собой электрически заряженное фермионное поле. Электрический заряд возникает из-за того, что поле Дирака трансформируется под действием комплексообразующего вращательная группа ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$ Эта группа имеет структуру

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$

куда ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)}$ круг, и его можно отождествить с U (1) электромагнетизм. Продукт ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ просто причудливое обозначение продукта ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$ с противоположными точками ${\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}$ идентифицированы (двойное покрытие).

В Майорана спинор снова пара спиноров Вейля, но на этот раз устроенная так, что левый спинор является зарядовое сопряжение правого спинора. В результате получается поле с двумя степенями свободы меньше, чем спинор Дирака. Он не может взаимодействовать с электромагнитным полем, так как трансформируется как скаляр под действием ${\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }}$ группа. То есть он трансформируется как спинор, но трансверсально, так что он инвариантен относительно ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ действие спиновой группы.

Третий частный случай - это ELKO spinor, построенный так же, как спинор Майорана, за исключением дополнительного знака минус между зарядово-сопряженной парой. Это снова делает его электрически нейтральным, но вводит ряд других довольно удивительных свойств.

Примечания

1. Представленные здесь результаты идентичны результатам Aste, op. соч., уравнения 52 и 57, хотя приведенный здесь вывод совершенно другой. Используемое здесь двойное покрытие также идентично уравнениям Асте 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи о Группа Лоренца.

Рекомендации

1. Пал, Палаш Б. (2011). "Фермионы Дирака, Майораны и Вейля". Американский журнал физики. 79 (5): 485–498. Дои:10.1119/1.3549729. ISSN  0002-9505.
2. Вейль, Герман (1929-04-15). «Гравитация и электрон». Труды Национальной академии наук. 15 (4): 323–334. Дои:10.1073 / pnas.15.4.323. ISSN  0027-8424. ЧВК  522457. PMID  16587474.
3. Биленький, С М (01.01.2005). «История колебаний нейтрино». Physica Scripta. T121: 17–22. Дои:10.1088 / 0031-8949 / 2005 / T121 / 001. ISSN  0031-8949.
4. Вишванат, Ашвин (2015-09-08). "Где твари Вейля". APS Physics. 8.
5. Квантовая механика, Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
6. Кембриджский справочник по физическим формулам, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010 г., ISBN  978-0-521-57507-2.
7. Введение в квантовую теорию поля, М.Е. Пескин, Д.В. Шредер, Эддисон-Уэсли, 1995, ISBN  0-201-50397-2
8. Андреас Асте, (2010) «Прямая дорога к Майоранским полям», Симметрия 2010(2) 1776–1809; DOI: 10.3390 / sym2041776 ISSN 2073-8994.
9. Юрген Йост, (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)» Springer Universitext.

дальнейшее чтение

• Демистификация квантовой теории поля, Д. МакМахон, Макгроу-Хилл (США), 2008 г., ISBN  978-0-07-154382-8
• Физика элементарных частиц (2-е издание), Б. Мартин, Дж. Шоу, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008 г., ISBN  978-0-470-03294-7
  • 3-е издание, 2013 г.
• Демистификация суперсимметрии, П. Лабелль, МакГроу-Хилл (США), 2010 г., ISBN  978-0-07-163641-4
• Дорога к реальности, Роджер Пенроуз, Винтажные книги, 2007, ISBN  0-679-77631-1
• Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). "Фермионы Вейля наконец-то заметили". Мир физики. Получено 22 ноября 2018.
• Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Материалы Природы. 14 (9): 863. Дои:10.1038 / nmat4411. ISSN  1476-1122. PMID  26288972.
• Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). "Где твари Вейля". APS Physics. Получено 22 ноября 2018.
• Цзя, Шуанг; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия». Материалы Природы. 15: 1140.

внешняя ссылка

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf