Антикоммутативное свойство - Anticommutative property

В математике антикоммутативность является специфическим свойством некоторых не-коммутативный операции. В математическая физика, куда симметрия имеет центральное значение, эти операции чаще всего называются антисимметричные операции, и расширяются в ассоциативный настройка для покрытия более двух аргументы. Обмен местами двух аргументов антисимметричной операции дает результат, который является обратный результата с неотмененными аргументами. Понятие обратный относится к структура группы на операции codomain, возможно, с другой операцией, например добавление.

Вычитание является антикоммутативной операцией, поскольку - (a - b) = b - a. Например, 2-10 = - (10-2) = −8.

Ярким примером антикоммутативной операции является Кронштейн лжи.

Определение

Если ${\displaystyle A,B}$ два абелевы группы, а билинейная карта ${\displaystyle f:A^{2}\to B}$ является антикоммутативный если для всех ${\displaystyle x,y\in A}$ у нас есть

${\displaystyle f(x,y)=-f(y,x).}$

В более общем плане многолинейная карта ${\displaystyle g:A^{n}\to B}$ антикоммутативно, если для всех ${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}\in A}$ у нас есть

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})}$

куда ${\displaystyle {\text{sgn}}(\sigma )}$ это знак перестановки ${\displaystyle \sigma }$.

Характеристики

Если абелева группа ${\displaystyle B}$ не имеет 2-кручение, подразумевая, что если ${\displaystyle x=-x}$ тогда ${\displaystyle x=0}$, то любое антикоммутативное билинейное отображение ${\displaystyle f:A^{2}\to B}$ удовлетворяет

${\displaystyle f(x,x)=0.}$

В более общем плане перенос два элемента, любое антикоммутативное полилинейное отображение ${\displaystyle g:A^{n}\to B}$ удовлетворяет

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0}$

если любой из ${\displaystyle x_{i}}$ равны; такая карта называется чередование. И наоборот, при использовании мультилинейности любое альтернативное отображение антикоммутативно. В двоичном случае это работает следующим образом: если ${\displaystyle f:A^{2}\to B}$ чередуется, то по билинейности имеем

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

и доказательство в полилинейном случае такое же, но только для двух входов.

Примеры

Примеры антикоммутативных бинарных операций включают:

• Перекрестное произведение
• Скобка Ли Алгебра Ли
• Скобка Ли Кольцо лжи
• Вычитание

Смотрите также

• Коммутативность
• Коммутатор
• Внешняя алгебра
• Градуированно-коммутативное кольцо
• Операция (математика)
• Симметрия в математике
• Статистика частиц (для антикоммутативности в физике).

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1989), "Глава III. Тензорные алгебры, внешние алгебры, симметрические алгебры ", Алгебра. Главы 1–3, Элементы математики (2-е изд.), Берлин -Гейдельберг -Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9, МИСТЕР  0979982, Zbl  0904.00001.

внешняя ссылка

• Гайнов, А. (2001) [1994], «Антикоммутативная алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press. Что ссылается на Оригинальная русская работа
• Вайсштейн, Эрик В. «Антикоммутативный». MathWorld.