Метрическое соединение - Metric connection

"совместимость с метрикой" перенаправляется сюда. Для шрифтов одинакового размера см. метрическая совместимость.

В математика, а метрическое соединение это связь в векторный набор E оснащен метрика пакета; то есть метрика, для которой внутренний продукт любых двух векторов останутся такими же, когда эти векторы параллельно транспортируется по любой кривой.^[1] Это эквивалентно:

• Соединение, для которого ковариантные производные метрики на E исчезнуть.
• А основная связь на связке ортонормированные рамки из E.

Частным случаем метрической связности является Риманова связь; есть уникальный такой, который без кручения, то Леви-Чивита связь. В этом случае комплект E это касательный пучок TM многообразия, а метрика на E индуцирована римановой метрикой на M.

Другой частный случай метрической связности - это Связь Янга – Миллса, что удовлетворяет Уравнения Янга – Миллса движения. Большая часть механизмов определения соединения и его кривизны может выполняться без необходимости какой-либо совместимости с метрикой пакета. Однако, если требуется совместимость, это метрическое соединение определяет внутренний продукт, Ходжа звезда, Ходж Дуал, и Лапласиан, которые необходимы для формулировки уравнений Янга-Миллса.

Определение

Позволять ${displaystyle sigma , au }$ быть любым местные разделы векторного расслоения E, и разреши Икс - векторное поле в базовом пространстве M комплекта. Позволять ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ определить метрика пакета, т. е. метрика на векторных слоях E. Затем связь D на E является метрической связью, если:

${displaystyle dlangle sigma , au angle =langle Dsigma , au angle +langle sigma ,D au angle .}$

Здесь d это обычный дифференциал скалярной функции. Ковариантную производную можно расширить так, чтобы она действовала как отображение на E-значен дифференциальные формы на базовом пространстве:

${displaystyle D:Gamma (E)otimes Omega ^{p}(M) o Gamma (E)otimes Omega ^{p+1}(M).}$

Один определяет ${displaystyle D_{X}f=d_{X}fequiv Xf}$ для функции ${displaystyle fin Omega ^{0}(M)}$, и

${displaystyle D(sigma otimes omega )=Dsigma wedge omega +sigma otimes domega }$

куда ${displaystyle sigma in Gamma (E)}$ является локальным гладким сечением векторного расслоения и ${displaystyle omega in Omega ^{p}(M)}$ является (скалярным) п-форма. Приведенные выше определения также применимы к локальные гладкие рамки а также местные разделы.

Метрическая система против двойного сопряжения

Пакетная метрика ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ наложен на E не следует путать с естественным спариванием ${displaystyle (cdot ,cdot )}$ векторного пространства и его двойственного, присущего любому векторному расслоению. Последний является функцией на связке эндоморфизмы ${displaystyle {mbox{End}}(E)=Eotimes E^{*},}$ так что

${displaystyle (cdot ,cdot ):Eotimes E^{*} o M imes mathbb {R} }$

пары векторов с двойственными векторами (функционалами) над каждой точкой M. То есть, если ${displaystyle {e_{i}}}$ любая локальная система координат на E, то естественно получается дуальная система координат ${displaystyle {e_{i}^{*}}}$ на E* удовлетворение ${displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=delta _{ij}}$.

Напротив, метрика расслоения ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ это функция на ${displaystyle Eotimes E,}$

${displaystyle langle cdot ,cdot angle :Eotimes E o M imes mathbb {R} }$

дающий скалярный продукт на каждом слое векторного пространства E. Метрика связки позволяет определить ортонормированный система координат по уравнению ${displaystyle langle e_{i},e_{j}angle =delta _{ij}.}$

Для данного векторного расслоения всегда можно определить на нем метрику расслоения.

Следуя стандартной практике,^[1] можно определить форма подключения, то Символы Кристоффеля и Кривизна Римана без ссылки на метрику пакета, используя только сопряжение ${displaystyle (cdot ,cdot ).}$ Они будут подчиняться обычным свойствам симметрии; например, тензор кривизны будет антисимметричным по двум последним индексам и будет удовлетворять вторая идентичность Бьянки. Однако для определения Ходжа звезда, то Лапласиан, первое тождество Бианки и функционал Янга – Миллса, нужна метрика расслоения.

Форма подключения

Основная статья: Форма подключения

Учитывая местная диаграмма пакетов ковариантную производную можно записать в виде

${displaystyle D=d+A}$

куда А это подключение одноформное.

Немного о нотационном механизме. Позволять ${displaystyle Gamma (E)}$ обозначим пространство дифференцируемых сечений на E, позволять ${displaystyle Omega ^{p}(M)}$ обозначим пространство п-формы на M, и разреши ${displaystyle {mbox{End}}(E)=Eotimes E^{*}}$ - эндоморфизмы на E. Ковариантная производная, как здесь определено, является отображением

${displaystyle D:Gamma (E) o Gamma (E)otimes Omega ^{1}(M)}$

Форму подключения можно выразить через Символы Кристоффеля в качестве

${displaystyle A_{j}^{;k} = Gamma _{;ij}^{k},dx^{i}.}$

Смысл обозначений - различать индексы j,k, которые пересекают п размеры волокна, от индекса я, который проходит через м-мерное базовое пространство. Для случая римановой связности ниже векторное пространство E рассматривается как касательное расслоение TM, и п = м.

Обозначение А для формы подключения происходит от физика, в исторической ссылке на векторное потенциальное поле из электромагнетизм и калибровочная теория. В математике обозначения ${displaystyle omega }$ часто используется вместо А, как в статье о форма подключения; к сожалению, использование ${displaystyle omega }$ форма соединения сталкивается с использованием ${displaystyle omega }$ для обозначения общего переменная форма на векторном расслоении.

Косая симметрия

Связь кососимметричный в индексах векторного пространства (слоя); то есть для данного векторного поля ${displaystyle Xin TM}$, матрица ${displaystyle A(X)}$ кососимметрична; эквивалентно, это элемент Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {o}}(n)}$.

Это можно увидеть следующим образом. Пусть волокно п-мерный, так что пучок E можно дать ортонормированный локальная рамка ${displaystyle {e_{i}}}$ с я=1,2,...,п. Тогда по определению ${displaystyle de_{i}equiv 0}$, так что:

${displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}^{;j}e_{j}.}$

Кроме того, за каждую точку ${displaystyle xin Usubset M}$ диаграммы связки локальный фрейм ортонормирован:

${displaystyle langle e_{i}(x),e_{j}(x)angle =delta _{ij}.}$

Отсюда следует, что для каждого вектора ${displaystyle Xin T_{x}M}$, который

${displaystyle {egin{aligned}0&=Xlangle e_{i}(x),e_{j}(x)angle &=langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)angle +langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)angle &=A_{i}^{;j}(X)+A_{j}^{;i}(X)end{aligned}}}$

То есть, ${displaystyle A=-A^{T}}$ кососимметрична.

Это достигается путем явного использования метрики связки; без использования этого, и используя только сопряжение ${displaystyle (cdot ,cdot )}$, можно связать только форму связи А на E к его двойному А* на E*, в качестве ${displaystyle A^{*}=-A^{T}.}$ Это следует из определение двойного соединения как ${displaystyle d(sigma , au ^{*})=(Dsigma , au ^{*})+(sigma ,D^{*} au ^{*}).}$

Кривизна

Существует несколько обозначений кривизны соединения, в том числе современное, использующее F для обозначения тензор напряженности поля, классический, использующий р как тензор кривизны, а классические обозначения для Тензор кривизны Римана, большинство из которых естественным образом переносится на случай векторных расслоений. Никто Для этих определений требуется либо метрический тензор, либо метрика расслоения, и их можно определить совершенно конкретно без ссылки на них. Однако определения требуют четкого представления об эндоморфизмах E, как описано выше.

Компактный стиль

Наиболее компактное определение кривизны F состоит в том, чтобы определить его как 2-форму, принимающую значения в ${displaystyle {mbox{End}}(E)}$, заданный суммой, на которую соединение не является точным; то есть как

${displaystyle F=Dcirc D}$

который является элементом

${displaystyle Fin Omega ^{2}(M)otimes {mbox{End}}(E),}$

или эквивалентно,

${displaystyle F:Gamma (E) o Gamma (E)otimes Omega ^{2}(M)}$

Чтобы связать это с другими общепринятыми определениями и обозначениями, пусть ${displaystyle sigma in Gamma (E)}$ быть разделом на E. Вставляя в вышеперечисленное и расширяя, можно найти

${displaystyle Fsigma =(Dcirc D)sigma =(d+A)circ (d+A)sigma =(dA+Awedge A)sigma }$

или, что то же самое, удаление раздела

${displaystyle F=dA+Awedge A}$

как краткое определение.

Компонентный стиль

Что касается компонентов, пусть ${displaystyle A=A_{i}dx^{i},}$ куда ${displaystyle dx^{i}}$ это стандарт однотипный координатные базы на котангенсный пучок Т^*M. Вставляя в вышеприведенное и расширяя, мы получаем (используя соглашение о суммировании ):

${displaystyle F={frac {1}{2}}left({frac {partial A_{j}}{partial x^{i}}}-{frac {partial A_{i}}{partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]ight)dx^{i}wedge dx^{j}.}$

Имейте в виду, что для п-мерное векторное пространство, каждое ${displaystyle A_{i}}$ является п×п матрица, индексы которой подавлены, а индексы я и j пробежать 1, ...,м, с м являющийся размером лежащего в основе коллектора. Оба этих индекса могут проявляться одновременно, как показано в следующем разделе.

Представленные здесь обозначения обычно используются в физике; например, его можно сразу узнать как тензор напряженности глюонного поля. В абелевом случае п= 1, и векторное расслоение одномерно; коммутатор обращается в нуль, и указанное выше можно распознать как электромагнитный тензор в более или менее стандартных физических обозначениях.

Стиль относительности

Все индексы можно сделать явными, указав гладкая рама ${displaystyle {e_{i}}}$, я=1,...,п на ${displaystyle Gamma (E)}$. Данный раздел ${displaystyle sigma in Gamma (E)}$ тогда можно записать как

${displaystyle sigma =sigma ^{i}e_{i}}$

В этом локальная рамка, форма подключения становится

${displaystyle (A_{i}dx^{i})_{j}^{;k}=Gamma _{;ij}^{k}dx^{i}}$

с ${displaystyle Gamma _{;ij}^{k}}$ будучи Символ Кристоффеля; снова индекс я пробегает 1, ...,м (размерность нижележащего многообразия M) пока j и k пробежать 1, ...,п, размер волокна. Вставляя и поворачивая кривошип, получаем

${displaystyle {egin{aligned}Fsigma &={frac {1}{2}}left({frac {partial Gamma _{jr}^{k}}{partial x^{i}}}-{frac {partial Gamma _{ir}^{k}}{partial x^{j}}}+Gamma _{is}^{k}Gamma _{jr}^{s}-Gamma _{js}^{k}Gamma _{ir}^{s}ight)sigma ^{r}dx^{i}wedge dx^{j}otimes e_{k}&=R_{;rij}^{k}sigma ^{r}dx^{i}wedge dx^{j}otimes e_{k}end{aligned}}}$

куда ${displaystyle R_{;rij}^{k}}$ теперь идентифицируемый как Тензор кривизны Римана. Это написано в стиле, который обычно используется во многих учебниках по общая теория относительности с середины 20 века (за некоторыми заметными исключениями, такими как MTW, который с самого начала настаивал на безиндексной нотации). И снова индексы я и j перебрать размеры коллектора M, пока р и k перебегайте размер волокон.

Стиль касательной связки

Вышеупомянутое может быть перенесено в стиль векторного поля, написав ${displaystyle partial /partial x^{i}}$ как стандартные элементы основы для касательный пучок TM. Затем определяется тензор кривизны как

${displaystyle Rleft({frac {partial }{partial x^{i}}},{frac {partial }{partial x^{j}}}ight)sigma =sigma ^{r}R_{;rij}^{k}e_{k}}$

так что пространственные направления повторно поглощаются, в результате чего обозначение

${displaystyle Fsigma =R(cdot ,cdot )sigma }$

В качестве альтернативы, пространственные направления можно сделать явными, скрывая индексы, записав выражения в терминах векторных полей Икс и Y на TM. В стандартной основе Икс является

${displaystyle X=X^{i}{frac {partial }{partial x^{i}}}}$

и аналогично для Y. Через некоторое время подключи и выпей, получается

${displaystyle R(X,Y)sigma =D_{X}D_{Y}sigma -D_{Y}D_{X}sigma -D_{[X,Y]}sigma }$

куда

${displaystyle [X,Y]={mathcal {L}}_{Y}X}$

это Производная Ли векторного поля Y относительно Икс.

Напомним, тензор кривизны отображает волокна в волокна:

${displaystyle R(X,Y):Gamma (E) o Gamma (E)}$

так что

${displaystyle R(cdot ,cdot ):Omega ^{2}(M)otimes Gamma (E) o Gamma (E)}$

Чтобы быть предельно ясным, ${displaystyle F=R(cdot ,cdot )}$ являются альтернативными обозначениями для одного и того же. Обратите внимание, что ни одна из вышеперечисленных манипуляций на самом деле не требовала прохождения метрики пакета. Можно также продемонстрировать вторую идентичность Бьянки.

${displaystyle DF=0}$

без использования метрики пакета.

Связь Янга – Миллса

Основная статья: Уравнения Янга – Миллса

Вышеупомянутое развитие тензора кривизны не обращалось к метрике расслоения. То есть им не нужно было предполагать, что D или же А были метрическими связями: просто наличие связи на векторном расслоении достаточно для получения вышеуказанных форм. Все различные варианты обозначений непосредственно следуют только из рассмотрения эндоморфизмов слоев пучка.

Метрика пакета требуется для определения Ходжа звезда и Ходж Дуал; что, в свою очередь, необходимо для определения лапласиана и демонстрации того, что

${displaystyle D*F=0}$

Любое соединение, удовлетворяющее этому тождеству, называется Связь Янга – Миллса. Можно показать, что эта связь является критическая точка из Уравнения Эйлера – Лагранжа. применяется к Действие Янга – Миллса

${displaystyle YM_{D}=int _{M}(F,F)*(1)}$

куда ${displaystyle *(1)}$ это элемент объема, то Ходж Дуал константы 1. Обратите внимание, что для построения этого действия требуются три различных внутренних продукта: метрическая связь на E, внутренний продукт на End (E), что эквивалентно квадратичной Оператор Казимира (след пары матриц) и двойственный по Ходжу.

Риманова связь

Важным частным случаем метрической связности является Риманова связь. Это связь ${displaystyle abla }$ на касательный пучок из псевдориманово многообразие (M, грамм) такие, что ${displaystyle abla _{X}g=0}$ для всех векторных полей Икс на M. Эквивалентно, ${displaystyle abla }$ является римановым, если параллельный транспорт он определяет сохраняет метрику грамм.

Данная связь ${displaystyle abla }$ является римановым тогда и только тогда, когда

${displaystyle abla _{X}Y-abla _{Y}X=[X,Y]}$

и

${displaystyle partial _{X}(g(Y,Z))=g(abla _{X}Y,Z)+g(Y,abla _{X}Z)}$

для всех векторных полей Икс, Y и Z на M, куда ${displaystyle partial _{X}(g(Y,Z))}$ обозначает производную функции ${displaystyle g(Y,Z)}$ вдоль этого векторного поля ${displaystyle X}$.

В Леви-Чивита связь это без кручения Риманова связность на многообразии. Он уникален основная теорема римановой геометрии. Для каждой римановой связности можно написать (единственную) соответствующую связность Леви-Чивита. Разница между ними определяется тензор искривления.

В обозначениях компонентов ковариантная производная ${displaystyle abla }$ совместим с метрический тензор ${displaystyle g_{ab}}$ если

${displaystyle abla _{!c},g_{ab}=0.}$

Хотя могут быть определены и другие ковариантные производные, обычно рассматривается только совместимая с метрикой. Это потому, что при двух ковариантных производных ${displaystyle abla }$ и ${displaystyle abla '}$, существует тензор для перехода от одного к другому:

${displaystyle abla _{a}x_{b}=abla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$

Если пространство тоже без кручения, то тензор ${displaystyle {C_{ab}}^{c}}$ симметричен по первым двум индексам.

Несколько слов об обозначениях

Принято менять обозначения и использовать символ набла ∇ вместо D в этой обстановке; в остальном это одно и то же. То есть ∇ = D из предыдущих разделов выше.

Точно так же внутренний продукт ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ на E заменяется метрическим тензором грамм на TM. Это согласуется с историческим использованием, но также позволяет избежать путаницы: для общего случая векторного расслоения E, лежащее в основе многообразие M является нет предполагается, что наделен метрикой. Частный случай многообразий с метрикой грамм на TM в дополнение к метрике пакета ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ на E приводит к Теория Калуцы – Клейна.

Смотрите также

• Вертикальные и горизонтальные связки

Рекомендации

1. Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ (PDF), Universitext (шестое изд.), Springer, Heidelberg, Дои:10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN  978-3-642-21297-0, МИСТЕР  2829653.(Третье издание: см. Главу 3; Шестое издание: см. Главу 4.)

• Rodrigues, W.A .; Фернандес, В. В .; Моя, А. М. (2005). «Метрические совместимые ковариантные производные». arXiv:математика / 0501561.
• Вальд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности, Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-87033-2

• Шмидт, Б. Г. (1973). «Условия, при которых соединение является метрическим соединением». Commun. Математика. Phys. 29 (1): 55–59. Bibcode:1973CMaPh..29 ... 55S. Дои:10.1007 / bf01661152. HDL:10338.dmlcz / 127117.