Теорема Уикса - Wicks theorem - Wikipedia

Формулу, выражающую высшие моменты гауссовского распределения через вторые моменты, см. Теорема Иссерлиса.

Теорема Вика это метод снижения высокихпорядок производные к комбинаторика проблема.^[1] Назван в честь итальянского физика. Джан-Карло Вик.^[2] Он широко используется в квантовая теория поля сократить произвольные произведения операторы создания и уничтожения к суммам произведений пар этих операторов. Это позволяет использовать Методы функции Грина, и, следовательно, использование Диаграммы Фейнмана в изучаемой области. Более общая идея в теория вероятности является Теорема Иссерлиса.

В пертурбативной квантовой теории поля теорема Вика используется, чтобы быстро переписать каждую заказанное время слагаемое в Серия Дайсон как сумма нормально заказанный термины. В пределе асимптотически свободных входящего и выходящего состояний эти члены соответствуют Диаграммы Фейнмана.

Определение сокращения

Для двух операторов ${\displaystyle {\hat {A}}}$ и ${\displaystyle {\hat {B}}}$ мы определяем их сжатие как

${\displaystyle {\hat {A}}^{\bullet }\,{\hat {B}}^{\bullet }\equiv {\hat {A}}\,{\hat {B}}\,-{\mathopen {:}}{\hat {A}}\,{\hat {B}}{\mathclose {:}}}$

куда ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$ обозначает нормальный порядок оператора ${\displaystyle {\hat {O}}}$.

Как вариант, сокращения можно обозначить линией, соединяющей ${\displaystyle {\hat {A}}}$ и ${\displaystyle {\hat {B}}}$.

Мы подробно рассмотрим четыре частных случая, когда ${\displaystyle {\hat {A}}}$ и ${\displaystyle {\hat {B}}}$ равны операторам создания и уничтожения. За ${\displaystyle N}$ частицы мы обозначим операторы создания как ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$ а операторы уничтожения - ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,3\ldots ,N)}$.Они удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям ${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}}$, куда ${\displaystyle \delta _{ij}}$ обозначает Дельта Кронекера.

Тогда у нас есть

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\bullet }={\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{j}\,{\mathclose {:}}\,=0}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }={\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,-{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\,=\delta _{ij}}$

куда ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$.

Эти соотношения верны для бозонных операторов или фермионных операторов из-за способа определения нормального порядка.

Примеры

Мы можем использовать сокращения и нормальный порядок, чтобы выразить любой продукт операторов создания и уничтожения как сумму нормальных упорядоченных членов. Это основа теоремы Вика. Прежде чем полностью сформулировать теорему, рассмотрим несколько примеров.

Предполагать ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$ находятся бозонный операторы, удовлетворяющие коммутационные отношения:

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i}^{\dagger },{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right]=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij}}$

куда ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$, ${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$ обозначает коммутатор, и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ - дельта Кронекера.

Мы можем использовать эти отношения и приведенное выше определение сжатия, чтобы выразить продукты ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$ другими способами.

Пример 1

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }}$

Обратите внимание, что мы не изменили ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }}$ но просто переформулировал это в другой форме как ${\displaystyle \,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }}$

Пример 2

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}){\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{k}+{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }{\hat {a}}_{k}=\,{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}{\mathclose {:}}}$

Пример 3

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }=({\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij})({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl})}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{il}){\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle ={\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{k}+\delta _{il}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}+\delta _{kl}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{i}+\delta _{ij}{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}+\delta _{ij}\delta _{kl}}$

${\displaystyle =\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet }\,{\mathclose {:}}+{\mathopen {:}}\,{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\mathopen {:}}{\hat {a}}_{i}^{\bullet }\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger \bullet }\,{\hat {a}}_{k}^{\bullet \bullet }\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger \bullet \bullet }{\mathclose {:}}}$

В последней строке мы использовали разное количество ${\displaystyle ^{\bullet }}$ символы для обозначения различных сокращений. Как видите, многократно применяя коммутационные соотношения, требуется много работы, чтобы выразить ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {a}}_{k}\,{\hat {a}}_{l}^{\dagger }}$ в виде суммы обычно заказываемых товаров. Для более сложных продуктов это еще более длительный расчет.

К счастью, теорема Вика дает короткий путь.

Формулировка теоремы

Продукт операторов созидания и уничтожения ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots }$ можно выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots &={\mathopen {:}}{\hat {A}}{\hat {B}}{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{singles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet }{\hat {C}}{\hat {D}}{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\sum _{\text{doubles}}{\mathopen {:}}{\hat {A}}^{\bullet }{\hat {B}}^{\bullet \bullet }{\hat {C}}^{\bullet \bullet }{\hat {D}}^{\bullet }{\hat {E}}{\hat {F}}\ldots {\mathclose {:}}\\&\quad +\ldots \end{aligned}}}$

Другими словами, строка операторов создания и уничтожения может быть переписана как нормально упорядоченное произведение строки плюс нормально упорядоченное произведение после всех одиночных сокращений между парами операторов, плюс все двойные сокращения и т. Д., Плюс все полные сокращения .

Применение теоремы к приведенным выше примерам обеспечивает гораздо более быстрый способ получения окончательных выражений.

Предупреждение: В терминах правой части, содержащих множественные сжатия, следует соблюдать осторожность, когда операторы являются фермионными. В этом случае соответствующий знак минус должен быть введен в соответствии со следующим правилом: переставьте операторы (вводя знаки минус всякий раз, когда меняются местами порядок двух фермионных операторов), чтобы гарантировать, что сокращенные члены являются смежными в строке. Затем можно применить сжатие (см. «Правило C» в статье Вика).

Пример:

Если у нас есть два фермиона (${\displaystyle N=2}$) с операторами создания и уничтожения ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$ (${\displaystyle i=1,2}$) тогда

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,&=\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\&-\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{1}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}+\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}-{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,\,{\mathopen {:}}{\hat {f}}_{1}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\mathclose {:}}\\&-{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet }\,+{\hat {f}}_{1}^{\bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger \bullet \bullet }\,{\hat {f}}_{2}^{\bullet }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger \bullet }\,\end{array}}}$

Обратите внимание, что член со сжатиями двух операторов рождения и двух операторов уничтожения не включен, потому что их сжатия исчезают.

Теорема Вика применительно к полям

Корреляционная функция, которая появляется в квантовой теории поля, может быть выражена сжатием полевых операторов:

${\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{1},x_{2})=\left\langle 0|{\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})|0\right\rangle =\langle 0|{\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}|0\rangle =i\Delta _{F}(x_{1}-x_{2})=i\int {{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ik(x_{1}-x_{2})}}{(k^{2}-m^{2})+i\epsilon }}},}$

где оператор ${\displaystyle {\overline {\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})}}}$ количество, которое не аннигилирует вакуумное состояние ${\displaystyle |0\rangle }$. Что обозначает ${\displaystyle {\overline {AB}}={\mathcal {T}}AB-{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}AB{\mathclose {:}}}$. Это означает, что ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ сокращение над ${\displaystyle {\mathcal {T}}AB}$. Обратите внимание, что сокращение упорядоченной по времени строки из двух операторов поля является c-числом.

В итоге мы приходим к теореме Вика:

T-произведение упорядоченной по времени строки свободных полей можно выразить следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\Pi _{k=1}^{m}\phi (x_{k})={\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\Pi \phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\sum _{\alpha ,\beta }{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\Pi _{k\not =\alpha ,\beta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+}$

${\displaystyle {\mathcal {+}}\sum _{(\alpha ,\beta ),(\gamma ,\delta )}{\overline {\phi (x_{\alpha })\phi (x_{\beta })}}\;{\overline {\phi (x_{\gamma })\phi (x_{\delta })}}{\mathopen {:}}{\mathcal {T}}\Pi _{k\not =\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }\phi _{i}(x_{k}){\mathclose {:}}+\ldots .}$

Применяя эту теорему к S-матрица элементов, мы обнаруживаем, что нормально упорядоченные термины, действующие на состояние вакуума дать нулевой вклад в сумму. Мы делаем вывод, что м четные, и остаются только полностью оговоренные условия.

${\displaystyle F_{m}^{i}(x)=\left\langle 0|{\mathcal {T}}\phi _{i}(x_{1})\phi _{i}(x_{2})|0\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairs} }{\overline {\phi (x_{1})\phi (x_{2})}}\cdots {\overline {\phi (x_{m-1})\phi (x_{m}}})}$

${\displaystyle G_{p}^{(n)}=\left\langle 0|{\mathcal {T}}{\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}\dots {\mathopen {:}}v_{i}(y_{n}){\mathclose {:}}\phi _{i}(x_{1})\cdots \phi _{i}(x_{p})|0\right\rangle }$

куда п - количество полей взаимодействия (или, что то же самое, количество взаимодействующих частиц) и п - порядок развития (или количество вершин взаимодействия). Например, если ${\displaystyle v=gy^{4}\Rightarrow {\mathopen {:}}v_{i}(y_{1}){\mathclose {:}}={\mathopen {:}}\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1})\phi _{i}(y_{1}){\mathclose {:}}}$

Это аналогично соответствующая теорема в статистике по моменты из Гауссово распределение.

Обратите внимание, что это обсуждение проводится в терминах обычного определения нормального порядка, подходящего для ожидаемые значения вакуума (ВЭВ) полей. (Теорема Вика дает возможность выразить VEV п поля в терминах VEV двух полей.^[3]) Существуют любые другие возможные определения нормального порядка, и теорема Вика верна независимо от этого. Однако теорема Вика упрощает вычисления только в том случае, если определение используемого нормального порядка изменяется, чтобы соответствовать типу желаемого математического ожидания. То есть мы всегда хотим, чтобы математическое ожидание обычного заказанного продукта было равно нулю. Например, втеория теплового поля другой тип математического ожидания, тепловой след по матрице плотности, требует другого определения нормальный заказ.^[4]

Смотрите также

• Теорема Иссерлиса

Рекомендации

1. Тони Филипс (ноябрь 2001 г.). «Конечномерные диаграммы Фейнмана». Что нового в математике. Американское математическое общество. Получено 2007-10-23.
2. Вик, Г. К. (1950).«Оценка матрицы столкновений». Phys. Rev. 80 (2): 268–272. Дои:10.1103 / PhysRev.80.268.
3. См., Например, также: Мринал Дасгупта: Введение в квантовую теорию поля, Лекции, представленные в школе RAL по физике высоких энергий, Сомервилльский колледж, Оксфорд, сентябрь 2008 г., раздел 5.1 Теорема Вика (загружено 3 декабря 2012 г.)
4. Evans, T. S .; Стир, Д. А. (1996). «Теорема Вика при конечной температуре». Nucl. Phys. B. 474: 481–496. arXiv:hep-ph / 9601268. Дои:10.1016/0550-3213(96)00286-6.

дальнейшее чтение

• Пескин, М.Э.; Шредер, Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Книги Персея. (§4.3)
• Швебер, Сильван С. (1962). Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. Нью-Йорк: Харпер и Роу. (Глава 13, Раздел c)