Симплектоморфизм - Symplectomorphism

В математика, а симплектоморфизм или же симплектическая карта является изоморфизм в категория из симплектические многообразия. В классическая механика, симплектоморфизм представляет собой преобразование фазовое пространство то есть сохраняющий объем и сохраняет симплектическая структура фазового пространства и называется каноническое преобразование.

Формальное определение

А диффеоморфизм между двумя симплектические многообразия ${ Displaystyle f: (М, omega) rightarrow (N, omega ')}$ называется симплектоморфизм если

{ displaystyle f ^ {*} omega '= omega,}

куда ${ displaystyle f ^ {*}}$ это откат из ${ displaystyle f}$ . Симплектические диффеоморфизмы из ${ displaystyle M}$ к ${ displaystyle M}$ являются (псевдо) группой, называемой группой симплектоморфизмов (см. ниже).

Инфинитезимальная версия симплектоморфизмов дает симплектические векторные поля. Векторное поле ${ Displaystyle X in Gamma ^ { infty} (TM)}$ называется симплектическим, если

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} omega = 0.}

Также, ${ displaystyle X}$ является симплектическим тогда и только тогда, когда поток ${ displaystyle phi _ {t}: M rightarrow M}$ из ${ displaystyle X}$ является симплектоморфизмом для любого ${ displaystyle t}$ Эти векторные поля образуют подалгебру Ли в ${ Displaystyle Gamma ^ { infty} (TM)}$ .

Примеры симплектоморфизмов включают канонические преобразования из классическая механика и теоретическая физика, поток, связанный с любой гамильтоновой функцией, отображение на котангенсные пучки индуцированный любым диффеоморфизмом многообразий, а коприсоединенное действие элемента Группа Ли на сопряженная орбита.

Потоки

Любая гладкая функция на симплектическое многообразие порождает по определению Гамильтоново векторное поле и множество всех таких векторных полей образуют подалгебру Алгебра Ли из симплектические векторные поля. Интегрирование потока симплектического векторного поля является симплектоморфизмом. Поскольку симплектоморфизмы сохраняют симплектическая 2-форма и, следовательно, симплектическая форма объема, Теорема Лиувилля в Гамильтонова механика следует. Симплектоморфизмы, возникающие из гамильтоновых векторных полей, известны как гамильтоновы симплектоморфизмы.

С ${ЧАС, ЧАС} = Икс ЧАС (ЧАС) = 0,$ поток гамильтонова векторного поля также сохраняет $ЧАС$ . В физике это интерпретируется как закон сохранения энергия.

Если первый Бетти число связного симплектического многообразия равна нулю, симплектическое и гамильтоново векторные поля совпадают, поэтому понятия Гамильтонова изотопия и симплектическая изотопия симплектоморфизмов совпадают.

Можно показать, что уравнения геодезической можно сформулировать как гамильтонов поток, см. Геодезические как гамильтоновы потоки.

Группа (гамильтоновых) симплектоморфизмов

Симплектоморфизмы многообразия обратно на себя образуют бесконечномерную псевдогруппа. Соответствующие Алгебра Ли состоит из симплектических векторных полей. Гамильтоновы симплектоморфизмы образуют подгруппу, алгебра Ли которой задается гамильтоновыми векторными полями. Последняя изоморфна алгебре Ли гладких функций на многообразии относительно Скобка Пуассона, по модулю констант.

Группа гамильтоновых симплектоморфизмов ${ Displaystyle (М, omega)}$ обычно обозначается как ${ Displaystyle mathop { rm {Хэм}} (М, omega)}$ .

Группы гамильтоновых диффеоморфизмов: просто, по теореме Баньяга. У них естественная геометрия, заданная Норма Хофера. В гомотопический тип группы симплектоморфизмов для некоторых простых симплектических четырехмерные многообразия, например, продукт сферы, можно вычислить, используя Громов теория псевдоголоморфные кривые.

Сравнение с римановой геометрией

В отличие от Римановы многообразия, симплектические многообразия не очень жесткие: Теорема Дарбу показывает, что все симплектические многообразия одной размерности локально изоморфны. Напротив, изометрии в римановой геометрии должны сохранять Тензор кривизны Римана, который, таким образом, является локальным инвариантом риманова многообразия. Более того, каждая функция ЧАС на симплектическом многообразии определяет Гамильтоново векторное поле Икс_ЧАС, который возводится в степень однопараметрическая группа гамильтоновых диффеоморфизмов. Отсюда следует, что группа симплектоморфизмов всегда очень велика, в частности бесконечномерна. С другой стороны, группа изометрии риманова многообразия всегда является (конечномерным) Группа Ли. Более того, римановы многообразия с большими группами симметрий очень специфичны, а риманово многообразие общего положения не имеет нетривиальных симметрий.

Квантования

Представления конечномерных подгрупп группы симплектоморфизмов (вообще говоря, после ħ-деформаций) на Гильбертовы пространства называются квантования. Когда группа Ли определяется гамильтонианом, это называется «квантованием по энергии». Соответствующий оператор из Алгебра Ли в алгебру Ли непрерывных линейных операторов также иногда называют квантование; это более общий взгляд на это в физике.

Гипотеза Арнольда

Знаменитая гипотеза Владимир Арнольд связывает минимум количество фиксированные точки для гамильтонова симплектоморфизма $ж$ на M, в случае M это закрытый коллектор, к Теория Морса. Точнее, гипотеза утверждает, что $ж$ имеет не меньше фиксированных точек, чем количество критические точки что гладкая функция на M должен иметь (понимается как общий дело, Функции Морса, для которого это определенное конечное число, не менее 2).^[1]

Известно, что это следует из Гипотеза Арнольда – Гивенталя назван в честь Арнольда и Александр Гивенталь, что является заявлением о Лагранжевы подмногообразия. Во многих случаях это доказывается построением симплектических Гомология Флоера.^{[нужна цитата ]}