Циклотомическое поле - Cyclotomic field

В теория чисел, а круговое поле это числовое поле получен прилегающий а сложный первобытный корень единства к $Q$ , Поле рациональное число. В $п$ -й круговое поле $Q (ζ п)$ (куда $п > 2$ ) получается присоединением примитивной $п$ -й корень единства $ζ п$ к рациональным числам.

Круговые поля сыграли решающую роль в развитии современной алгебры и теории чисел из-за их связи с Последняя теорема Ферма. Это было в процессе его глубоких исследований арифметики этих полей (для основной $п$ ) - а точнее из-за отказа уникальная факторизация в их кольца целых чисел - который Эрнст Куммер впервые представил концепцию идеальное число и доказал свою знаменитую совпадения.

Характеристики

Круговое поле - это поле расщепления из круговой полином

{ displaystyle Phi _ {n} (x) = prod _ { stackrel {1 leq k leq n} { gcd (k, n) = 1}} left (xe ^ {2i pi { frac {k} {n}}} right)}

и поэтому это Расширение Галуа поля рациональных чисел. Степень расширения

[Q (ζ п): Q]

дан кем-то $φ (п)$ куда $φ$ является Функция фи Эйлера. Полный набор конъюгатов Галуа дается формулой ${(ζ п) а}$ , куда $а$ пробегает множество обратимых вычетов по модулю $п$ (так что $а$ является относительно простой к $п$ ). В Группа Галуа является естественно изоморфный в мультипликативную группу

(Z / п Z) \times

обратимых вычетов по модулю $п$ , и он действует на примитив $п$ корни из единицы по формуле

б : (ζ п) а \to (ζ п) а б

.

В дискриминант расширения^[1]

{ displaystyle (-1) ^ { varphi (n) / 2} { frac {n ^ { varphi (n)}} { displaystyle prod _ {p | n} p ^ { varphi (n) / (п-1)}}},}

куда ${ Displaystyle varphi (п)}$ является Функция Эйлера.

В кольцо целых чисел кругового поля $Q (ζ п)$ является $Z [ζ п]$ .

Связь с правильными многоугольниками

Гаусс сделал первые шаги в теории круговых полей в связи с геометрической проблемой строительство а обычный $п$ -угольник с компас и линейка. Его удивительный результат, которого ускользнул от его предшественников, заключался в том, что регулярный гептадекагон (с 17 сторонами) могли быть построены таким образом. В более общем смысле, если $п$ - простое число, то правильное $п$ -gon может быть построен тогда и только тогда, когда $п$ это Ферма Прайм; другими словами, если ${ Displaystyle varphi (p) = p-1 = 2 ^ {k}}$ это степень 2.

За $п = 3$ и $п = 6$ примитивные корни единства допускают простое выражение через квадратный корень из трех, а именно:

ζ 3 =

√3

я

− 1/2,

ζ 6 =

√3

я

+ 1/2

Следовательно, оба соответствующих круговых поля идентичны квадратичное поле Q(√−3). В случае $ζ 4 = я =$ √−1 личность $Q (ζ 4)$ к квадратичному полю еще более очевидна. Однако это не так для $п = 5$ , потому что выражая пятый корень единства требует квадратных корней из выражений квадратного корня, или квадратичное расширение квадратичного расширения. Геометрическая задача для общего $п$ сводится к следующему вопросу в Теория Галуа: может ли $п$ -го круговое поле строить как последовательность квадратичных расширений?

Связь с Великой теоремой Ферма

Естественный подход к доказательству Последняя теорема Ферма заключается в факторизации бинома $Икс п + у п$ ,куда $п$ является странный простое число, входящее в одну часть уравнения Ферма

{ Displaystyle х ^ {п} + у ^ {п} = г ^ {п}}

следующее:

{ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = (x + y) (x + zeta y) cdots (x + zeta ^ {n-1} y)}

Здесь $Икс$ и $у$ являются обычными целыми числами, тогда как множители представляют собой целые алгебраические числа в круговом поле $Q (ζ п)$ . Если уникальная факторизация алгебраических целых чисел были верны, то его можно было использовать для исключения существования нетривиальных решений уравнения Ферма.

Несколько попыток разобраться в Великой теореме Ферма продвигались в этом направлении, и оба доказательства Ферма для $п = 4$ и доказательство Эйлера для $п = 3$ можно переформулировать в этих терминах. Полный список п для которого поле имеет уникальную факторизацию:^[2]

С 1 по 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Куммер нашел способ обойти эту трудность. Он ввел замену простых чисел в круговом поле $Q (ζ п)$ , выразил количественно неудачу уникальной факторизации через номер класса $час п$ и доказал, что если $час п$ не делится на $п$ (такие числа $п$ называются обычные простые числа ) то теорема Ферма верна для показателя степени $п = п$ . Кроме того, он дал критерий чтобы определить, какие простые числа регулярны, и используя это, установил теорему Ферма для всех простых показателей $п$ менее 100, за исключением неправильные простые числа 37, 59, и 67. Работа Куммера о сравнениях для чисел классов круговых полей была обобщена в двадцатом веке Ивасава в Теория Ивасавы и Куботой и Леопольдтом в их теории p-адические дзета-функции.

Список номеров классов циклотомических полей

(последовательность A061653 в OEIS ), или же OEIS: A055513 или же OEIS: A000927 для ${ displaystyle h}$ -часть (для начального п)

1-22: 1
23: 3
24-28: 1
29: 8
30: 1
31: 9
32-36: 1
37: 37
38: 1
39: 2
40: 1
41: 121
42: 1
43: 211
44: 1
45: 1
46: 3
47: 695
48: 1
49: 43
50: 1
51: 5
52: 3
53: 4889
54: 1
55: 10
56: 2
57: 9
58: 8
59: 41241
60: 1
61: 76301
62: 9
63: 7
64: 17
65: 64
66: 1
67: 853513
68: 8
69: 69
70: 1
71: 3882809
72: 3
73: 11957417
74: 37
75: 11
76: 19
77: 1280
78: 2
79: 100146415
80: 5
81: 2593
82: 121
83: 838216959
84: 1
85: 6205
86: 211
87: 1536
88: 55
89: 13379363737
90: 1
91: 53872
92: 201
93: 6795
94: 695
95: 107692
96: 9
97: 411322824001
98: 43
99: 2883
100: 55
101: 3547404378125
102: 5
103: 9069094643165
104: 351
105: 13
106: 4889
107: 63434933542623
108: 19
109: 161784800122409
110: 10
111: 480852
112: 468
113: 1612072001362952
114: 9
115: 44697909
116: 10752
117: 132678
118: 41241
119: 1238459625
120: 4
121: 12188792628211
122: 76301
123: 8425472
124: 45756
125: 57708445601
126: 7
127: 2604529186263992195
128: 359057
129: 37821539
130: 64
131: 28496379729272136525
132: 11
133: 157577452812
134: 853513
135: 75961
136: 111744
137: 646901570175200968153
138: 69
139: 1753848916484925681747
140: 39
141: 1257700495
142: 3882809
143: 36027143124175
144: 507
145: 1467250393088
146: 11957417
147: 5874617
148: 4827501
149: 687887859687174720123201
150: 11
151: 2333546653547742584439257
152: 1666737
153: 2416282880
154: 1280
155: 84473643916800
156: 156
157: 56234327700401832767069245
158: 100146415
159: 223233182255
160: 31365

Смотрите также

дальнейшее чтение

Коутс, Джон; Суджата, Р. (2006). Циклотомические поля и дзета-значения. Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
Вайсштейн, Эрик В. «Циклотомическое поле». MathWorld.
«Циклотомическое поле», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
О кольце целых чисел действительных циклотомических полей. Кодзи Ямагата и Масакадзу Ямагиши: Proc, Japan Academy, 92. Ser a (2016)

[1] Предложение 2.7 Вашингтон 1997

[2] Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомические поля. Тексты для выпускников по математике. 83 (2-е изд.). Springer-Verlag. Теорема 11.1. ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047.

[1]

[2]