Уравнение синус-Гордона - Sine-Gordon equation

В уравнение синус-Гордона является нелинейным гиперболическим уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включая оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Первоначально он был представлен Эдмон Бур  (1862 ) в процессе изучения поверхности постоянной отрицательной кривизны как Уравнение Гаусса – Кодацци для поверхностей кривизны −1 в трехмерном пространстве,^[1] и вновь открыта Френкелем и Конторовой (1939 ) в своем исследовании кристаллических дислокаций, известных как Модель Френкеля – Конторовой..^[2] Это уравнение привлекло много внимания в 1970-х годах из-за наличия солитон решения.

Происхождение уравнения и его название

Есть две эквивалентные формы уравнения синус-Гордон. В (настоящий ) пространственно-временные координаты, обозначается (Икс, т) уравнение гласит:^[3]

${\displaystyle \,\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,}$

где частные производные обозначены индексами. Переходя к координаты светового конуса (ты, v), сродни асимптотические координаты куда

${\displaystyle u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {x-t}{2}},}$

уравнение принимает вид:^[4]

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$

Это первоначальная форма уравнения синус-Гордон, как оно рассматривалось в девятнадцатом веке в ходе исследования поверхности постоянного Гауссова кривизна K = −1, также называемый псевдосферические поверхности. Выберите систему координат для такой поверхности, в которой координатная сетка ты = константа, v = константа задается асимптотические линии параметризован по длине дуги. В первая фундаментальная форма поверхности в этих координатах имеет специальный вид

${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},\,}$

куда ${\displaystyle \varphi }$ выражает угол между асимптотическими линиями, а для вторая основная форма, L = N = 0. Тогда Уравнение Кодацци – Майнарди выражение условия совместимости между первой и второй фундаментальными формами приводит к уравнению синус-Гордон. Изучение этого уравнения и связанных с ним преобразований псевдосферических поверхностей в XIX веке Bianchi и Бэклунд привело к открытию Преобразования Беклунда. Еще одно преобразование псевдосферических поверхностей - это Преобразование Ли представлен Софус Ли в 1879 г., что соответствует Лоренц усиливает в терминах координат светового конуса, таким образом, уравнение синус-Гордон имеет вид Инвариант Лоренца.^[5]

Название «уравнение синус-Гордона» - это игра слов на хорошо известном Уравнение Клейна – Гордона по физике:^[3]

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi \ =0.\,}$

Уравнение синус-Гордон - это Уравнение Эйлера – Лагранжа. области, чьи Плотность лагранжиана дан кем-то

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2}\right)-1+\cos \varphi .}$

Используя разложение в ряд Тейлора косинус в лагранжиане,

${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-\varphi ^{2}\right)^{n}}{(2n)!}},}$

его можно переписать как Лагранжиан Клейна – Гордона плюс условия более высокого порядка

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2}\right)-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\left(-\varphi ^{2}\right)^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\left(-\varphi ^{2}\right)^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Солитонные решения

Интересной особенностью уравнения синус-Гордон является наличие солитон и многосолитонные решения.

1-солитонные решения

Уравнение синус-Гордон имеет следующее 1-солитон решения:

${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right)\,}$

куда

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.}$

и предполагается несколько более общий вид уравнения:

${\displaystyle \,\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$

1-солитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для ${\displaystyle \gamma }$ называется перегиб, и представляет собой поворот переменной ${\displaystyle \varphi }$ который выводит систему из одного решения ${\displaystyle \varphi =0}$ к соседнему с ${\displaystyle \varphi =2\pi }$. Штаты ${\displaystyle \varphi =0\,({\textrm {mod}}\,2\pi )}$ известны как состояния вакуума, поскольку они представляют собой постоянные решения с нулевой энергией. 1-солитонное решение, в котором мы извлекаем отрицательный корень для ${\displaystyle \gamma }$ называется антикинк. Вид 1-солитонных решений может быть получен путем применения преобразования Беклунда к тривиальному (постоянный вакуум) решения и интегрирования полученных дифференциалов первого порядка:

${\displaystyle {\varphi ^{\prime }}_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin \left({\frac {\varphi ^{\prime }+\varphi }{2}}\right),}$

${\displaystyle {\varphi ^{\prime }}_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin \left({\frac {\varphi ^{\prime }-\varphi }{2}}\right){\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$

за все время.

1-солитонные решения могут быть визуализированы с использованием модели синус-Гордона из упругой ленты, как обсуждается Додд и его сотрудники.^[6] Здесь мы берем поворот по часовой стрелке (левша ) скрутка эластичной ленты представляет собой перегиб с топологическим зарядом ${\displaystyle \vartheta _{\textrm {K}}=-1}$. Альтернативный вариант против часовой стрелки (правша ) твист с топологическим зарядом ${\displaystyle \vartheta _{\textrm {AK}}=+1}$ будет антикинк.

Путешествие перегиб солитон представляет собой распространяющееся закручивание по часовой стрелке.[7][8]

Путешествие антикинк солитон представляет собой распространяющееся закручивание против часовой стрелки.[7][8]

2-солитонные решения

Мульти-солитон решения могут быть получены путем постоянного применения Преобразование Бэклунда к 1-солитонному решению, как предписано Решетка Бьянки соотнесение преобразованных результатов.^[9] 2-солитонные решения уравнения синус-Гордон демонстрируют некоторые характерные особенности солитонов. Бегущие изгибы синус-Гордона и / или антикинки проходят друг через друга, как будто они идеально проницаемы, и единственный наблюдаемый эффект - это сдвиг фазы. Поскольку сталкивающиеся солитоны восстанавливают свое скорость и форма такой взаимодействие называется упругое столкновение.

Антикинк-кинк столкновение.[7][8]

Перегиб столкновение.[7][8]

Еще одно интересное двухсолитонное решение возникает из-за возможности связанного кинк-антикинкового поведения, известного как передышка. Известны три типа бризеров: стоя передышка, бегущий бризер большой амплитуды, и бегущий бризер малой амплитуды.^[10]

Стоя передышка представляет собой качающийся во времени солитон кинк-антикинк.[7][8]

Движущийся бризер большой амплитуды.[7][8]

Бризер с малой амплитудой - выглядит экзотично, но имеет передышку.[7][8]

3-солитонные решения

3-солитонные столкновения бегущего кинка и стоячего бризера или бегущего антикинка и стоячего бризера приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения движущегося кинка с стоячим сапуном происходит смещение сапуна. ${\displaystyle \Delta _{\textrm {B}}}$ дан кем-то:

${\displaystyle \Delta _{B}={\frac {2{\textrm {arctanh}}{\sqrt {\left(1-\omega ^{2}\right)\left(1-v_{\text{K}}^{2}\right)}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$

куда ${\displaystyle v_{\text{K}}}$ - скорость изгиба, а ${\displaystyle \omega }$ - частота бризера.^[10] Если старое положение стоячего сапуна ${\displaystyle x_{0}}$, после столкновения новая позиция будет ${\displaystyle x_{0}+\Delta _{\text{B}}}$.

Подвижный изгиб с сапуном столкновение.[7][8]

Подвижный антикинковый сапун столкновение.[7][8]

FDTD (1D) видеомоделирование солитона с силами

На следующем видео показано моделирование двух парковочных солитонов. Оба излучают поле давления-скорости с разной полярностью. Поскольку конец одномерного пространства не заканчивается симметрично - волны отражаются.

Воспроизвести медиа

Солитоны по уравнению Синус-Гордона с силами.

Строки на видео:

1. Cos () часть солитона.
2. Sin () часть солитона.
3. Угловое ускорение солитона.
4. Давление-составляющая поля разной полярности.
5. Скорость-Составляющая поля - зависит от направления.

Шаги:

1. Солитоны излучают несвязанную энергию в виде волн.
2. Солитоны отправляют p-v-поле, которое достигает партнера.
3. Солитоны начинают двигаться.
4. Они встречаются посередине и уничтожаются.
5. Масса распространяется волной.

Связанные уравнения

В уравнение Шин-Гордона дан кем-то^[11]

${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .\,}$

Это Уравнение Эйлера – Лагранжа. из Лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\left(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2}\right)-\cosh \varphi .\,}$

Другое тесно связанное уравнение - это эллиптическое уравнение синус-Гордон, данный

${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,\,}$

куда ${\displaystyle \varphi }$ теперь функция переменных Икс и у. Это уже не солитонное уравнение, но у него много схожих свойств, поскольку оно связано с уравнением синус-Гордон соотношением аналитическое продолжение (или же Вращение фитиля ) у = ят.

В эллиптическое уравнение Шин-Гордона можно определить аналогичным образом.

Обобщение дается Теория поля Тоды.^[12]

Квантовая версия

В квантовой теории поля модель синус-Гордон содержит параметр, который можно отождествить с Постоянная Планка. Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа дышащие. Количество бризеров зависит от значения параметра. Производство нескольких частиц отменяется на массовой оболочке. Преобразование двух амплитуд в четыре было явно проверено в однопетлевом приближении.

Полуклассическое квантование модели синус-Гордон было выполнено Людвиг Фаддеев и Владимир Корепин.^[13] Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александр Замолодчиков.Эта модель S-дуальный к Модель Тирринга.

В конечном объеме и на полустройке

Можно также рассмотреть модель синус-Гордона на окружности, на отрезке или на полупрямой. Можно найти граничные условия, сохраняющие интегрируемость модели. На половине линии спектр содержит граничные связанные состояния помимо солитонов и бризеров.

Суперсимметричная модель синус-Гордона

Также существует суперсимметричное расширение модели синус-Гордон. Также можно найти для этого расширения граничные условия, сохраняющие интегрируемость.

Смотрите также

• Эффект джозефсона
• Fluxon
• Форма волны

Рекомендации

1. Бур Э (1862 г.). "Теория деформации поверхностей". Journal de l'École Impériale Polytechnique. 19: 1–48.
2. Френкель Дж, Конторова Т. (1939). «К теории пластической деформации и двойникования». Известия Академии Наук СССР, Серия Физическая. 1: 137–149.
3. Раджараман, Р. (1989). Солитоны и инстантоны: введение в солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. Личная библиотека Северной Голландии. 15. Северная Голландия. С. 34–45. ISBN  978-0-444-87047-6.
4. Полянин, Андрей Д .; Валентин Федорович Зайцев (2004). Справочник по нелинейным уравнениям с частными производными. Чепмен и Холл / CRC Press. С. 470–492. ISBN  978-1-58488-355-5.
5. Тернг, К. Л., и Уленбек, К. (2000). «Геометрия солитонов» (PDF). Уведомления AMS. 47 (1): 17–25.
6. Додд, Роджер К .; Дж. К. Эйлбек; Дж. Д. Гиббон; Х. К. Моррис (1982). Солитоны и нелинейные волновые уравнения.. Лондон: Academic Press. ISBN  978-0-12-219122-0.
7. Георгиев Д.Д., Папайоану С.Н., Глейзбрук Дж.Ф. (2004). «Нейроническая система внутри нейронов: молекулярная биология и биофизика микротрубочек нейронов». Биомедицинские обзоры. 15: 67–75. Дои:10.14748 / bmr.v15.103.
8. Георгиев Д.Д., Папайоану С.Н., Глейзбрук Дж.Ф. (2007). «Солитонные эффекты локального электромагнитного поля на микротрубочки нейронов». Нейроквантология. 5 (3): 276–291. Дои:10.14704 / nq.2007.5.3.137.
9. Роджерс, С .; В. К. Шиф (2002). Преобразования Бэклунда и Дарбу: геометрия и современные приложения в теории солитонов. Кембриджские тексты по прикладной математике. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-01288-1.
10. Мирошниченко А, Васильев А, Дмитриев С. Солитоны и солитонные столкновения.
11. Полянин, Андрей Д .; Зайцев, Валентин Ф. Справочник по нелинейным уравнениям с частными производными (Второе изд.). Бока-Ратон: CRC Press. п. 485. ISBN  978-1-4200-8723-9.
12. Юаньси, Се; Тан, Цзиаши (февраль 2006 г.). «Единый метод решения уравнений типа Шинь-Гордона». Il Nuovo Cimento B. 121 (2): 115–121. Bibcode:2006NCimB.121..115X. Дои:10.1393 / ncb / i2005-10164-6.
13. Фаддеев Л.Д., Корепин В.Е. (1978). «Квантовая теория солитонов». Отчеты по физике. 42 (1): 1–87. Bibcode:1978ФР .... 42 .... 1Ф. Дои:10.1016/0370-1573(78)90058-3.

внешняя ссылка

• уравнение синус-Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнение Шин-Гордон в EqWorld: мир математических уравнений.
• уравнение синус-Гордона в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.