Преобразование Бэклунда - Bäcklund transform

В математика, Бэклунд преобразовывает или Преобразования Беклунда (назван в честь шведского математика Альберт Виктор Бэклунд ) относиться уравнения в частных производных и их решения. Они являются важным инструментом в теория солитонов и интегрируемые системы. Преобразование Беклунда обычно представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, связывающих две функции, и часто зависящих от дополнительного параметра. Это означает, что две функции по отдельности удовлетворяют уравнениям в частных производных, и каждая из этих двух функций называется преобразованием Бэклунда другой.

Преобразование Беклунда, связывающее решения такой же уравнение называется инвариантное преобразование Беклунда или автоматическое преобразование Беклунда. Если такое преобразование может быть найдено, можно многое сделать о решениях уравнения, особенно если преобразование Бэклунда содержит параметр. Однако систематический способ нахождения преобразований Беклунда неизвестен.

История

Преобразования Беклунда возникли как преобразования псевдосферы в 1880-х гг.

Преобразования Беклунда берут свое начало в дифференциальная геометрия: первый нетривиальный пример - это преобразование псевдосферические поверхности представлен Л. Бьянки и СРЕДНИЙ. Бэклунд в 1880-х гг. Это геометрическое построение новой псевдосферической поверхности из исходной такой поверхности с использованием решения линейное дифференциальное уравнение. Псевдосферические поверхности можно описать как решения уравнение синус-Гордона, а значит, преобразование поверхностей Бэклунда можно рассматривать как преобразование решений уравнения синус-Гордон.

Уравнения Коши – Римана.

Прототипным примером преобразования Беклунда является Система Коши – Римана

{ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, quad u_ {y} = - v_ {x}, ,}

который связывает действительную и мнимую части ты и v из голоморфная функция. Эта система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка обладает следующими свойствами.

Если ты и v являются решениями уравнений Коши – Римана, то ты это решение Уравнение лапласа

{ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} = 0}

(т.е. гармоническая функция ), и так v. Это непосредственно следует из дифференцирования уравнений относительно Икс и y и используя тот факт, что

${ displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}, quad v_ {xy} = v_ {yx},. ,}$
И наоборот, если ты является решением уравнения Лапласа, то существуют функции v которые решают уравнения Коши – Римана вместе с ты.

Таким образом, в этом случае преобразование Беклунда гармонической функции - это просто сопряженная гармоническая функция. Указанные выше свойства означают, точнее, что уравнение Лапласа для ты и уравнение Лапласа для v являются условия интегрируемости для решения уравнений Коши – Римана.

Это характерные черты преобразования Беклунда. Если у нас есть уравнение в частных производных в ты, и преобразование Беклунда из ты к v, мы можем вывести уравнение в частных производных, которому удовлетворяет v.

Этот пример довольно тривиален, потому что все три уравнения (уравнение для ты, уравнение для v и связывающее их преобразование Беклунда) линейны. Преобразования Беклунда наиболее интересны, когда только одно из трех уравнений является линейным.

Уравнение синус-Гордон

Предположим, что ты это решение уравнение синус-Гордона

{ Displaystyle и_ {ху} = грех и ,}

Тогда система

{ displaystyle { begin {align} v_ {x} & = u_ {x} + 2a sin { Bigl (} { frac {v + u} {2}} { Bigr)} v_ {y } & = - u_ {y} + { frac {2} {a}} sin { Bigl (} { frac {vu} {2}} { Bigr)} end {align}} , !}

где а - произвольный параметр, разрешима для функции v которое также будет удовлетворять уравнению синус-Гордон. Это пример автоматического преобразования Беклунда.

Используя матричную систему, также можно найти линейное преобразование Беклунда для решений уравнения синус-Гордон.

Уравнение Лиувилля

Преобразование Бэклунда может превратить нелинейное уравнение в частных производных в более простое линейное уравнение в частных производных.

Например, если ты и v связаны преобразованием Беклунда

{ Displaystyle { begin {align} v_ {x} & = u_ {x} + 2a exp { Bigl (} { frac {u + v} {2}} { Bigr)} v_ {y } & = - u_ {y} - { frac {1} {a}} exp { Bigl (} { frac {uv} {2}} { Bigr)} end {align}} , !}

где а - произвольный параметр, а если ты это решение Уравнение Лиувилля

${ Displaystyle и_ {ху} = ехр и , !}$

тогда v является решением гораздо более простого уравнения, ${ displaystyle v_ {xy} = 0}$ , и наоборот.

Затем мы можем решить (нелинейное) уравнение Лиувилля, работая с гораздо более простым линейным уравнением.

Смотрите также

использованная литература

Германн, Роберт (1976). Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений, преобразования Беклунда и солитоны. Math Sci Press. ISBN 978-0-915692-16-3.
Роджерс, С .; Шедвик, В.Ф. (1982-05-12), Преобразования Беклунда и их приложения (1-е изд.), Academic Press, ISBN 0-12-592850-5
Роджерс, С .; Шиф, Вольфганг Карл (2002), Преобразования Беклунда и Дарбу, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-01288-1, выдержка
Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Справочник по нелинейным уравнениям с частными производными, Чепмен и Холл / CRC Press, 2004.