Уравнение Кортевега – де Фриза - Korteweg–de Vries equation

Кноидальная волна решение уравнения Кортевега – де Фриза в терминах квадрат из Эллиптическая функция Якоби cn (и со значением параметра м = 0.9).

Численное решение уравнения КдФ. ты_т + тыты_Икс + δ²ты_{ИксИксИкс} = 0 (δ = 0,022) с начальным условием ты(Икс, 0) = cos (πИкс). Его расчет проводился по схеме Забуски – Крускала.^[1] Исходная косинусоидальная волна превращается в цуг волн уединенного типа.

В математика, то Уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ) это математическая модель волн на мелководье. Это особенно примечательно как прототипный пример точно решаемая модель, то есть нелинейный уравнение в частных производных чьи решения могут быть точно указаны. КдВ можно решить с помощью обратное преобразование рассеяния. Математическая теория, лежащая в основе уравнения КдФ, является предметом активных исследований. Уравнение КдФ было впервые введено Буссинеск  (1877, сноска на странице 360) и заново открыла Дидерик Кортевег и Густав де Врис  (1895 ).^[2]

Определение

Уравнение КдФ является нелинейным, диспергирующий уравнение в частных производных для функция ${\displaystyle \phi }$ из двух настоящий переменные, пробел Икс и время т :^[3]

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

с ∂_Икс и ∂_т обозначающий частные производные относительно Икс и т.

Константа 6 перед последним членом условна, но не имеет большого значения: умножение т, Икс, и ${\displaystyle \phi }$ by константы может использоваться, чтобы сделать коэффициенты любого из трех членов равными любым заданным ненулевым константам.

Солитонные решения

Рассмотрим решения, в которых фиксированная форма волны (заданная формулой ж(Икс)) сохраняет свою форму при движении вправо в фазовая скорость c. Такое решение дается ${\displaystyle \phi }$(Икс,т) = ж(Икс − ct − а) = ж(Икс). Подставляя его в уравнение КдФ, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

или, интегрируя по Икс,

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}-3f^{2}=A}$

куда А это постоянная интеграции. Интерпретация независимой переменной Икс выше как виртуальная переменная времени, это означает ж удовлетворяет Ньютону уравнение движения частицы единичной массы в кубическом потенциале

${\displaystyle V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)}$

Если

${\displaystyle A=0,\,c>0}$

тогда потенциальная функция V(ж) имеет локальный максимум в ж = 0, существует решение, в котором ж(Икс) начинается в этой точке в `` виртуальном времени '' −∞, в конце концов скатывается вниз до местный минимум, затем вернитесь на другую сторону, достигнув такой же высоты, затем меняет направление на противоположное, оказавшись на локальный максимум снова в момент ∞. Другими словами, ж(Икс) стремится к 0 при Икс → ± ∞. Это характерная форма уединенная волна решение.

Точнее, решение

${\displaystyle \phi (x,t)=-{\frac {1}{2}}\,c\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]}$

куда сечь стоит за гиперболический секанс и а - произвольная постоянная.^[4] Это описывает движущийся вправо солитон.

Интегралы движения

Уравнение КдФ имеет бесконечно много интегралы движения (Миура, Гарднер и Крускал, 1968 г. ), которые не меняются со временем. Их можно явно задать как

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}$

где многочлены п_п рекурсивно определяются

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ for }}n\geq 2.\end{aligned}}}$

Первые несколько интегралов движения:

• масса ${\displaystyle \int \phi \,{\text{d}}x,}$
• импульс ${\displaystyle \int \phi ^{2}\,{\text{d}}x,}$
• энергия ${\displaystyle \int 2\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\,{\text{d}}x.}$

Только термины с нечетными номерами п_(2п+1) приводят к нетривиальным (т.е. ненулевым) интегралам движения (Дингеманс 1997, п. 733).

Слабые пары

Уравнение КдФ

${\displaystyle \partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi }$

можно переформулировать как Уравнение Лакса

${\displaystyle L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,}$

с L а Оператор Штурма – Лиувилля:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-3\left[\phi \,\partial _{x}+\partial _{x}\phi \right]\end{aligned}}}$

и этим объясняется бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ (Lax 1968 ).

Принцип наименьшего действия

Уравнение Кортевега – де Фриза

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,\,}$

это Уравнение Эйлера – Лагранжа. движения, полученного из Плотность лагранжиана, ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:={\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \,\partial _{t}\psi +\left(\partial _{x}\psi \right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{x}^{2}\psi \right)^{2}\quad \quad \quad \quad (1)\,}$

с ${\displaystyle \phi }$ определяется

${\displaystyle \phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.\,}$

Вывод уравнений Эйлера – Лагранжа.

Поскольку лагранжиан (уравнение (1)) содержит вторые производные, Уравнение Эйлера – Лагранжа. движения для этого поля

${\displaystyle \partial _{\mu \mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu \mu }\psi )}}\right)-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\,}$

куда ${\displaystyle \partial }$ является производной по ${\displaystyle \mu }$ компонент.

Сумма более ${\displaystyle \mu }$ подразумевается, поэтому уравнение (2) действительно читается,

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)+\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)-\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)-\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.\quad \quad (3)\,}$

Оцените пять членов уравнения (3), подставив уравнение (1),

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0\,}$

${\displaystyle \partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)\,}$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)\,}$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,}$

Помните определение ${\displaystyle \phi =\partial _{x}\psi \,}$, поэтому используйте это, чтобы упростить приведенные выше термины,

${\displaystyle \partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi \,}$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \,}$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \,}$

Наконец, подставьте эти три ненулевых члена обратно в уравнение (3), чтобы увидеть

${\displaystyle \left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,\,}$

что и есть уравнение КдФ

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0.\,}$

Долговременная асимптотика

Можно показать, что любое достаточно быстро затухающее гладкое решение в конечном итоге разделится на конечную суперпозицию солитонов, движущихся вправо, и убывающую дисперсионную часть, движущуюся влево. Впервые это заметил Забуски и Краскал (1965) и может быть строго доказана с помощью нелинейного крутой спуск анализ на колебательный Проблемы Римана – Гильберта.^[5]

История

История уравнения КдФ началась с экспериментов Джон Скотт Рассел в 1834 г., после чего последовали теоретические исследования Лорд Рэйли и Жозеф Буссинеск около 1870 года и, наконец, Кортевег и Де Фриз в 1895 году.

Уравнение КдФ после этого мало изучалось, пока Забуски и Краскал (1965) численно обнаружил, что его решения, казалось, при больших временах распадаются на совокупность «солитонов»: хорошо разделенных уединенных волн. Более того, похоже, что солитоны практически не изменяют форму, проходя друг через друга (хотя это может вызвать изменение их положения). Они также связались с более ранними численными экспериментами Ферми, Паста, Улам и Цинго показав, что уравнение КдФ является непрерывным пределом FPUT система. Разработка аналитического решения с помощью обратное преобразование рассеяния был сделан в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой.^[6][7]

Теперь видно, что уравнение КдФ тесно связано с Принцип Гюйгенса.^[8][9]

Приложения и подключения

Уравнение КдФ имеет несколько связей с физическими проблемами. Помимо того, что это основное уравнение струны в Проблема Ферми – Паста – Улама – Цингоу в континуальном пределе он приблизительно описывает эволюцию длинных одномерных волн во многих физических условиях, включая:

• мелководные волны со слабым нелинейный восстанавливающие силы,
• длинный внутренние волны в стратифицированном по плотности океан,
• ионно-звуковые волны в плазма,
• акустический волны на кристаллическая решетка.

Уравнение КдФ также можно решить с помощью обратное преобразование рассеяния например, применяемые к нелинейное уравнение Шредингера.

Уравнение КдФ и уравнение Гросса – Питаевского.

Рассматривая упрощенные решения вида

${\displaystyle \phi (x,t)=\phi (x\pm t)}$

получаем уравнение КдФ в виде

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

или же

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,}$

Интегрируя и рассматривая частный случай, когда постоянная интегрирования равна нулю, мы имеем:

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,}$

какой ${\displaystyle \lambda =1}$ частный случай обобщенного стационарного Уравнение Гросса – Питаевского (GPE)

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,}$

Следовательно, для определенного класса решений обобщенного ГПО (${\displaystyle \lambda =4}$ для истинного одномерного конденсата и${\displaystyle \lambda =2}$ при использовании трехмерного уравнения в одном измерении) два уравнения равны одному. Кроме того, принимая ${\displaystyle \lambda =3}$ случай со знаком минус и ${\displaystyle \phi }$ реальных, можно получить привлекательное самодействие, которое должно дать яркий солитон.^{[нужна цитата ]}

Вариации

Было изучено множество различных вариаций уравнений КдФ. Некоторые из них перечислены в следующей таблице.

Имя	Уравнение
Кортевег – де Фрис (KdV)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+6u\partial _{x}u=0}$
КдВ (цилиндрический)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{2t}}u=0}$
КдВ (деформированный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left({\frac {\partial _{x}^{2}u-2\eta u^{3}-3u(\partial _{x}u)^{2}}{2(\eta +u^{2})}}\right)=0}$
КдВ (обобщенное)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u=\partial _{x}^{5}u}$
КдВ (обобщенное)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0}$
KdV (7-й Лакс) Дарвиши, Хейбари и Хани (2007) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFDarvishiKheybariKhani2007 (помощь)	${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}&\left\{35u^{4}+70\left(u^{2}\partial _{x}^{2}u+u\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right)\right.\\&\left.\quad +7\left(2u\partial _{x}^{4}u+3\left(\partial _{x}^{2}u\right)^{2}+4\partial _{x}\partial _{x}^{3}u\right)+\partial _{x}^{6}u\right\}=0\end{aligned}}}$
КдВ (модифицированный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u\pm 6u^{2}\partial _{x}u=0}$
КдВ (модифицированный модифицированный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-{\tfrac {1}{8}}(\partial _{x}u)^{3}+(\partial _{x}u)(Ae^{au}+B+Ce^{-au})=0}$
КдВ (сферический)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{t}}u=0}$
КдВ (супер)	${\displaystyle \displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u=6u\partial _{x}u-\partial _{x}^{3}u+3w\partial _{x}^{2}w\\\partial _{t}w=3(\partial _{x}u)w+6u\partial _{x}w-4\partial _{x}^{3}w\end{cases}}}$
КдВ (переходный)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6f(t)u\partial _{x}u=0}$
КдВ (переменные коэффициенты)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\beta t^{n}\partial _{x}^{3}u+\alpha t^{n}u\partial _{x}u=0}$
Уравнение Кортевега – де Фриза – Бюргерса[10]	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\mu \partial _{x}^{3}u+2u\partial _{x}u-\nu \partial _{x}^{2}u=0}$
неоднородный КдВ	${\displaystyle \partial _{t}u+\alpha u+\beta \partial _{x}u+\gamma \partial _{x}^{2}u=Ai(x),\quad u(x,0)=f(x)}$

q-аналоги

Для q-аналог уравнения КдФ, см. Френкель (1996) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFFrenkel1996 (помощь) и Хесин, Любашенко и Роджер (1997) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKhesinLyubashenkoRoger1997 (помощь).

Смотрите также

• Уравнение Бенджамина – Бона – Махони
• Приближение Буссинеска (волны на воде)
• Кноидальная волна
• Дисперсия (волны на воде)
• Бездисперсионное уравнение
• Уравнение Кортевега – де Фриза пятого порядка
• Уравнение Кадомцева – Петвиашвили.
• Модифицированное уравнение КдФ – Бюргерса.
• Уравнение Новикова – Веселова.
• Уравнение Кортевега – де Фриза седьмого порядка
• Номер Урселла
• Векторный солитон

Примечания

1. Н.Дж. Забуски и М.Д. Крускал, Phy. Rev. Lett., 15, 240 (1965)
2. Дарригол, О. (2005), Миры потока: история гидродинамики от Бернулли до Прандтля, Oxford University Press, стр.84, ISBN  9780198568438
3. См. Например Ньюэлл, Алан К. (1985), Солитоны в математике и физике, СИАМ, ISBN  0-89871-196-7, п. 6. Или Лакс (1968) без множителя 6.
4. Александр Ф. Вакакис (31 января 2002 г.). Нормальные режимы и локализация в нелинейных системах.. Springer. С. 105–108. ISBN  978-0-7923-7010-9. Получено 27 октября 2012.
5. См. Например Грюнерт и Тешль (2009)
6. Gardner, C.S .; Greene, J.M .; Kruskal, M.D .; Миура, Р. М. (1967), "Метод решения уравнения Кортевега – де Фриза", Письма с физическими проверками, 19 (19): 1095–1097, Bibcode:1967ПхРвЛ..19.1095Г, Дои:10.1103 / PhysRevLett.19.1095.
7. Доксуа, Тьерри; Пейрар, Мишель (2006), Физика солитонов, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-85421-0
8. Фабио А. С. Чалуб и Хорхе П. Зубелли "Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий "
9. Берест, Юрий Юрьевич .; Луценко, Игорь М. (1997). "Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега – де Фриза". Коммуникации по математической физике. 190: 113–132. arXiv:solv-int / 9704012. Дои:10.1007 / s002200050235. S2CID  14271642.
10. Шу, Цзянь-Цзюнь (1987). «Правильное аналитическое решение уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса». Журнал физики A: математические и общие. 20 (2): 49–56. arXiv:1403.3636. Bibcode:1987JPhA ... 20L..49J. Дои:10.1088/0305-4470/20/2/002.

Рекомендации

• Буссинеск, Дж. (1877 г.), Essai sur la theorie des eaux courantes, Memoires представлены различными учеными `l’Acad. des Sci. Inst. Nat. Франция, XXIII, стр. 1–680
• де Ягер, Э.М. (2006). «О происхождении уравнения Кортевега – де Фриза». arXiv:математика / 0602661v1.
• Дингеманс, М.В. (1997), Распространение водной волны по неровному дну, Продвинутая серия по океанской инженерии, 13, World Scientific, Сингапур, ISBN  981-02-0427-2, 2 части, 967 стр.
• Дразин, П.Г. (1983), Солитоны, Серия лекций Лондонского математического общества, 85, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр.viii + 136, Дои:10.1017 / CBO9780511662843, ISBN  0-521-27422-2, МИСТЕР  0716135
• Грунерт, Катрин; Тешл, Джеральд (2009), "Долговременная асимптотика для уравнения Кортевега-де Фриза посредством нелинейного наискорейшего спуска", Математика. Phys. Анальный. Геом., 12 (3), стр. 287–324, arXiv:0807.5041, Bibcode:2009MPAG ... 12..287G, Дои:10.1007 / s11040-009-9062-2, S2CID  8740754
• Каппелер, Томас; Пешель, Юрген (2003), КдВ и КАМ, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 45, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-08054-2, ISBN  978-3-540-02234-3, МИСТЕР  1997070
• Кортевег, Д. Дж .; де Фрис, Г. (1895), «Об изменении формы длинных волн, идущих в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стационарных волн», Философский журнал, 39 (240): 422–443, Дои:10.1080/14786449508620739
• Лакс, П. (1968), «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенных волн», Сообщения по чистой и прикладной математике, 21 (5): 467–490, Дои:10.1002 / cpa.3160210503
• Майлз, Джон В. (1981), «Уравнение Кортевега – де Фриза: исторический очерк», Журнал гидромеханики, 106: 131–147, Bibcode:1981JFM ... 106..131M, Дои:10.1017 / S0022112081001559.
• Миура, Роберт М .; Gardner, Clifford S .; Крускал, Мартин Д. (1968), "Уравнение Кортевега – де Фриза и его обобщения. II. Существование законов сохранения и постоянных движения", J. Math. Phys., 9 (8): 1204–1209, Bibcode:1968JMP ..... 9.1204M, Дои:10.1063/1.1664701, МИСТЕР  0252826
• Тахтаджян, Л.А. (2001) [1994], «Уравнение Кортевега – де Фриза», Энциклопедия математики, EMS Press
• Забуски, Н. Дж .; Крускал, М. Д. (1965), "Взаимодействие" солитонов "в бесстолкновительной плазме и повторение начальных состояний", Phys. Rev. Lett., 15 (6): 240–243, Bibcode:1965ПхРвЛ..15..240З, Дои:10.1103 / PhysRevLett.15.240

внешняя ссылка

• Уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнение Кортевега – де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Цилиндрическое уравнение Кортевега – де Фриза. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: мир математических уравнений.
• Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
• Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение Кортевега – де Фриза". MathWorld.
• Вывод уравнения Кортевега – де Фриза для узкого канала.
• Трехсолитонное решение уравнения КдФ - [1]
• Три солитона (неустойчивое) решение уравнения КдФ - [2]
• Математические аспекты уравнений Тип Кортевега – де Фриза обсуждаются на Wiki по дисперсионным PDE.
• Солитоны из уравнения Кортевега – де Фриза. С. М. Блиндера, Демонстрационный проект Wolfram.
• Солитоны и нелинейные волновые уравнения