Проблема Римана – Гильберта - Riemann–Hilbert problem - Wikipedia

По поводу исходной проблемы Гильберта о существовании линейных дифференциальных уравнений, имеющих данную группу монодромии, см. Двадцать первая проблема Гильберта.

В математика, Проблемы Римана – Гильберта, названный в честь Бернхард Риманн и Дэвид Гильберт, представляют собой класс проблем, возникающих при изучении дифференциальные уравнения в комплексная плоскость. Несколько теоремы существования для задач Римана – Гильберта были произведены Марк Крейн, Исраэль Гохберг и другие (см. книгу Кланси и Гохберг (1981)).

Проблема Римана

Предположим, что ${\displaystyle \Sigma }$ представляет собой замкнутый простой контур на комплексной плоскости, разделяющий плоскость на две части, обозначенные ${\displaystyle \Sigma _{+}}$ (внутри) и ${\displaystyle \Sigma _{-}}$ (снаружи), определяемый индекс контура относительно точки. Классическая проблема, рассмотренная в докторской диссертации Римана (см. Панди (1996) ), заключалась в нахождении функции

${\displaystyle M_{+}(z)=u(z)+iv(z)}$

аналитический внутри ${\displaystyle \Sigma _{+}}$ такие, что граничные значения M₊ вдоль ${\displaystyle \Sigma }$ удовлетворяют уравнению

${\displaystyle a(z)u(z)-b(z)v(z)=c(z)}$

для всех ${\displaystyle z\in \Sigma }$, куда а, б, и c заданы действительные функции (Бицадзе 2001 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBitsadze2001 (помощь).

Посредством Теорема римана отображения, достаточно рассмотреть случай, когда ${\displaystyle \Sigma }$ - единичный круг (Панди 1996, §2.2). В этом случае можно искать M₊(z) вместе с его Отражение Шварца:

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}\left({\bar {z}}^{-1}\right)}}.}$

На единичной окружности Σ имеем ${\displaystyle z=1/{\bar {z}}}$, и так

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}(z)}},\quad z\in \Sigma .}$

Следовательно, проблема сводится к нахождению пары функций M₊(z) и M₋(z) аналитическими соответственно на внутренней и внешней стороне единичного круга, так что на единичной окружности

${\displaystyle {\frac {a(z)+ib(z)}{2}}M_{+}(z)+{\frac {a(z)-ib(z)}{2}}M_{-}(z)=c(z),}$

и, более того, чтобы выполнялось условие на бесконечности:

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }M_{-}(z)={\overline {{M}_{+}(0)}}.}$

Проблема Гильберта

Обобщение Гильберта заключалось в рассмотрении проблемы попытки найти M₊ и M₋ аналитическими соответственно на внутренней и внешней стороне кривой Σ, так что на ${\displaystyle \Sigma }$ надо

${\displaystyle \alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)}$

где α, β и c являются произвольными заданными комплекснозначными функциями (а не просто комплексно сопряженными).

Проблемы Римана – Гильберта

В задаче Римана, а также в обобщении Гильберта контур ${\displaystyle \Sigma }$ было просто. Полная задача Римана – Гильберта допускает, что контур может состоять из объединения нескольких ориентированных гладких кривых без пересечений. Стороны + и - «контура» затем могут быть определены в соответствии с индексом точки относительно ${\displaystyle \Sigma }$. Проблема Римана – Гильберта состоит в том, чтобы найти пару функций, M₊ и M₋ аналитические, соответственно, на стороне + и - ${\displaystyle \Sigma }$, с учетом уравнения

${\displaystyle \alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)}$

для всех z ∈ Σ.

Обобщение: проблемы факторизации

Дан ориентированный «контур» Σ (технически: ориентированное объединение гладких кривых без точек бесконечного самопересечения в комплексной плоскости). А Факторизация Биркгофа проблема следующее.

Учитывая матричную функцию V определенная на контуре Σ, найти голоморфную матрицу-функцию M, заданную на дополнении к Σ, такую, что выполняются два условия:

1. Если M₊ и M₋ обозначают не касательные пределы M по мере приближения к Σ, то M₊ = M₋V, во всех точках непересечения в Σ.
2. В качестве z стремится к бесконечности по любому направлению вне Σ, M стремится к единичная матрица.

В простейшем случае V гладкая и интегрируемая. В более сложных случаях могут быть особенности. Пределы M₊ и M₋ могут быть классическими и непрерывными, или они могут быть взяты в L₂ смысл.

Приложения к теории интегрируемости

Проблемы Римана – Гильберта имеют приложения к нескольким родственным классам проблем.

А. Интегрируемые модели

В обратное рассеяние или обратная спектральная задача, связанная с Задачи Коши для 1 + 1 мерного уравнения в частных производных на прямой, или к периодическим задачам, или даже к начально-краевым задачам (Фокас (2002) ), может быть сформулирована как проблема Римана – Гильберта. Аналогично обратная задача монодромии для Уравнения Пенлеве можно сформулировать как проблему Римана – Гильберта.

Б. Ортогональные многочлены, Случайные матрицы

Учитывая вес на контуре, соответствующие ортогональные многочлены могут быть вычислены с помощью решения задачи факторизации Римана – Гильберта (Фокас, Итс и Китаев (1992) ). Кроме того, распределение собственных значений случайных матриц в нескольких классических ансамблях сводится к вычислениям с использованием ортогональных многочленов (см., Например, Deift (1999) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFDeift1999 (помощь)).

С. Комбинаторный вероятность

Самый известный пример - теорема Байк, Дейфт и Йоханссон (1999) от распределения длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Вместе с изучением B выше, это одно из первых строгих исследований так называемой «интегрируемой вероятности». Но связь между теорией интегрируемости и различными классическими ансамблями случайных матриц восходит к работам Дайсона (например,Дайсон (1976) ).

Численный анализ задач Римана-Гильберта может обеспечить эффективный способ численного решения интегрируемых PDEs см. например. Трогдон и Олвер (2016).

Использование для асимтотических решений

В частности, задачи факторизации Римана – Гильберта используются для извлечения асимптотических значений для трех вышеперечисленных задач (скажем, когда время стремится к бесконечности, или когда коэффициент дисперсии стремится к нулю, или когда степень полинома стремится к бесконечности, или когда размер перестановки уходит в бесконечность). Существует метод получения асимптотики решений задач Римана – Гильберта, аналогичный методу метод стационарной фазы и способ наискорейшего спуска применимо к экспоненциальным интегралам.

По аналогии с классическими асимптотическими методами, "деформируют" проблемы Римана – Гильберта, которые не разрешимы в явном виде, в проблемы, которые существуют. Так называемый «нелинейный» метод стационарной фазы обусловлен Дейфт и Чжоу (1993), расширяя предыдущую идею на Это (1982) и Манаков (1979) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFManakov1979 (помощь). Важнейшим элементом анализа Дейфта – Чжоу является асимптотический анализ сингулярных интегралов на контурах.

Существенным расширением нелинейного метода стационарной фазы стало введение так называемого конечнозонного преобразования g-функции по формуле Дейфт, Венакидес и Чжоу (1997), что имеет решающее значение для большинства приложений. Это было вдохновлено работой Лакса, Левермора и Венакидеса, которые сократили анализ предела малой дисперсии Уравнение КдВ к анализу задачи максимизации логарифмического потенциала в некотором внешнем поле: вариационная задача «электростатического» типа. G-функция - это логарифмическое преобразование максимизирующей «равновесной» меры. Анализ предела малой дисперсии Уравнение КдВ фактически послужил основой для анализа большинства работ, касающихся "реальных" ортогональных многочленов (т.е. с условием ортогональности, определенным на действительной прямой) и эрмитовых случайных матриц.

Возможно, наиболее изощренным расширением теории на данный момент является тот, который применяется к «несамосопряженному» случаю, то есть когда основной оператор Лакса (первый компонент Слабая пара ) не является самосопряженный, к Камвиссис, Маклафлин и Миллер (2003). В этом случае определяются и вычисляются фактические «изолинии наискорейшего спуска». Соответствующая вариационная задача - это задача max-min: ищется контур, который минимизирует «равновесную» меру. Исследование вариационной задачи и доказательство существования регулярного решения при некоторых условиях на внешнее поле были выполнены в Камвиссис и Рахманов (2005); возникающий контур представляет собой «S-образную кривую», как определено и изучено в 1980-х годах Гербертом Р. Шталем, Андреем А. Гончаром и Евгением А. Рахмановым.

Альтернативный асимптотический анализ проблем факторизации Римана – Гильберта представлен в Маклафлин и Миллер (2006), особенно удобно, когда матрицы скачков не имеют аналитических расширений. Их метод основан на анализе задач с d-стержнем, а не на асимптотическом анализе сингулярных интегралов на контурах. Альтернативный способ работы с матрицами скачков без аналитических расширений был введен в Варзугин (1996).

Другое расширение теории появляется в Камвиссис и Тешл (2012) где основное пространство проблемы Римана – Гильберта является компактной гиперэллиптической римановой поверхностью. Проблема правильной факторизации больше не голоморфна, а скорее мероморфный, по причине Теорема Римана – Роха. Теория деформации задачи Римана – Гильберта применяется к проблеме устойчивости бесконечного периодического Решетка Тоды при возмущении "ближнего действия" (например, возмущении конечного числа частиц).

Большинство изучаемых в литературе проблем факторизации Римана – Гильберта являются двумерными, т. Е. Неизвестные матрицы имеют размерность 2. Задачи более высокой размерности изучались Арно Куйлаарс и соавторы, см., например, Куйлаарс и Лопес (2015).

Пример: скалярная проблема факторизации Римана – Гильберта

Предполагать V = 2, а Σ - контур из z = −1 до z = 1. Каково решениеM?

Чтобы решить эту проблему, возьмем логарифм уравнения ${\displaystyle M_{+}=M_{-}V}$.

${\displaystyle \log M_{+}(z)=\log M_{-}(z)+\log 2.}$

С M стремится к 1, журналM → 0 как z → ∞.

Стандартный факт о Преобразование Коши в том, что ${\displaystyle C_{+}-C_{-}=I}$ куда ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$ - пределы преобразования Коши сверху и снизу Σ; следовательно, получаем

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{+}}{\frac {\log 2}{\zeta -z}}\,d\zeta -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma _{-}}{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}\,d\zeta =\log 2{\text{ when }}z\in \Sigma .}$

Потому что решение M задачи факторизации Римана – Гильберта уникальна (простое применение Теорема Лиувилля (комплексный анализ) ), Теорема Сохоцкого – Племеля. дает решение. Мы получили

${\displaystyle \log M={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Sigma }{\frac {\log {2}}{\zeta -z}}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\int _{-1-z}^{1-z}{\frac {1}{\zeta }}d\zeta ={\frac {\log 2}{2\pi i}}\log {\frac {z-1}{z+1}},}$

т.е.

${\displaystyle M(z)=\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\frac {\log {2}}{2\pi i}}}$

который имеет срезанную ветвь по контуру ${\displaystyle \Sigma }$.

Проверять:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{+}(0)&=(e^{i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{\frac {\log 2}{2}}\\M_{-}(0)&=(e^{-i\pi })^{\frac {\log 2}{2\pi i}}=e^{-{\frac {\log 2}{2}}}\end{aligned}}}$

следовательно,

${\displaystyle M_{+}(0)=M_{-}(0)e^{\log {2}}=M_{-}(0)2.}$

ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ: Если проблема не скалярная, логарифм невозможен. Вообще явные решения очень редки.

Рекомендации

• Baik, J .; Deift, P .; Йоханссон, К. (1999), «О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок», Журнал Американского математического общества, 12 (4): 1119–1178, Дои:10.1090 / S0894-0347-99-00307-0.
• Бицадзе, А. (2001) [1994], «Краевые задачи теории аналитических функций», Энциклопедия математики, EMS Press
• Clancey, K .; Гохберг, И. (1981), Факторизация матричных функций и сингулярные интегральные операторы, Опер. Теория: достижения и применение, 3, Базель-Бостон-Штутгарт: Birkhäuser Verlag.
• Дейфт, Перси А. (2000), Ортогональные многочлены и случайные матрицы, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2695-9.
• Deift, Перси; Venakides, S .; Чжоу, X. (1997), Новые результаты в КдФ с малой дисперсией в результате расширения метода наискорейшего спуска для задач Римана – Гильберта, International Mathematical Research Notices, стр. 286–299..
• Deift, Перси; Чжоу, X. (1993), "Метод наискорейшего спуска для колебательных задач Римана – Гильберта; асимптотика для уравнения MKdV", Анналы математики, Вторая серия, 137 (2): 295–368, arXiv:математика / 9201261, Дои:10.2307/2946540, JSTOR  2946540.
• Дайсон, Фриман (1976), "Определители Фредгольма и обратные задачи рассеяния", Коммуникации по математической физике, 47 (3): 171–183.
• Фокас, А. (2002), "Интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения на полупрямой", Коммуникации по математической физике, 230 (1): 1–39.
• Fokas, A.S .; Its, A.R .; Китаев, А. (1992), "Изомонодромный подход к матричным моделям в двумерной квантовой гравитации", Коммуникации по математической физике, 147 (2): 395–430.
• Химшиашвили, Г. (2001) [1994], «Факторизация Биркгофа», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Its, A.R. (1982), "Асимптотика решений нелинейного уравнения Шредингера и изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений", Советская математика - Доклады, 24 (3): 14–18.
• Its, A.R. (2003), «Проблема Римана – Гильберта и интегрируемые системы» (PDF), Уведомления AMS, 50 (11): 1389–1400.
• Kamvissis, S .; McLaughlin, K .; Миллер, П. (2003), Квазиклассические солитонные ансамбли для фокусирующего нелинейного уравнения Шредингера, Annals of Mathematics, Princeton: Princeton University Press.
• Kamvissis, S .; Рахманов, Е.А. (2005), "Существование и регулярность проблемы максимизации энергии в двух измерениях", Журнал математической физики, 46 (8): 083505, arXiv:0907.5571, Bibcode:2005JMP .... 46х3505К, Дои:10.1063/1.1985069.
• Kamvissis, S .; Тешль, Г. (2012), "Долговременная асимптотика периодической цепочки Тоды при короткодействующих возмущениях", J. Math. Phys., 53 (7): 073706, arXiv:0705.0346, Bibcode:2012JMP .... 53g3706K, Дои:10.1063/1.4731768.
• Куйлаарс, Арно; Лопес, Абей (2015), "Задача о векторном равновесии для нормальной матричной модели и множественные ортогональные многочлены на звезде", Нелинейность, 28 (2): 347–406, arXiv:1401.2419, Bibcode:2015Nonli..28..347K, Дои:10.1088/0951-7715/28/2/347.
• Лакс, Питер Д.; Левермор, К. (1983), "Предел нулевой дисперсии для уравнения КдФ I-III", Сообщения по чистой и прикладной математике, 36 (3): 253–290, 571–593, 809–829, Дои:10.1002 / cpa.3160360302.
• Манаков, С.В. (1974), "Нелинейная дифракция фрауннгофера", Сов. Phys. ЖЭТФ, 38: 693–696, Bibcode:1974JETP ... 38..693M.
• McLaughlin, K .; Миллер, П. (2006), "Метод наискорейшего спуска с помощью d-стержня и асимптотическое поведение многочленов, ортогональных на единичной окружности с фиксированными и экспоненциально изменяющимися неаналитическими весами", IMRP: 1–77.
• Панди, Дж. (1996), Преобразование Гильберта распределений Шварца и приложения, Wiley-Interscience.
• Варзугин, Г. (1996), "Асимптотика осцилляторных задач Римана-Гильберта", Журнал математической физики, 37 (11): 5869–5892, Дои:10.1063/1.531706.
• Трогдон, Томас; Олвер, Шихан (2016), Проблемы Римана – Гильберта, их численное решение и вычисление нелинейных специальных функций, СИАМ.

внешняя ссылка

• Гахов, Ф. (2001) [1994], "Проблема Римана – Гильберта", Энциклопедия математики, EMS Press