Модель Френкеля – Конторовой. - Frenkel–Kontorova model

В Модель Френкеля – Конторовой., также известный как Модель FK, является фундаментальной моделью низкоразмерных нелинейный физика.^[1]

Обобщенная модель ФК описывает цепочку классических частиц с взаимодействиями ближайших соседей, на которые действует периодический локальный потенциал подложки.^[2] В своей первоначальной и простейшей форме взаимодействия рассматриваются как гармонический и потенциал быть синусоидальный с периодичностью, соизмеримой с равновесным расстоянием частиц. Различные варианты взаимодействия и потенциалов субстрата, а также включение движущей силы могут описывать широкий спектр различных физических ситуаций.

Первоначально представленный Яков Френкель и Татьяна Конторова в 1938 г. для описания структуры и динамики кристаллической решетки вблизи вывих Ядро модель FK стала одной из стандартных моделей в конденсированное вещество физика из-за ее применимости для описания многих физических явлений. физические явления, которые могут быть смоделированы с помощью модели ФК, включают дислокации, динамику адсорбат слои на поверхностях, краудионы, доменные стены в магнитоупорядоченных структурах, длинные джозефсоновские переходы, водородная связь цепи и цепи типа ДНК.^[3][4] Модификация модели FK, Модель Томлинсона, играет важную роль в области трибология.

Уравнения для стационарных конфигураций модели FK сводятся к уравнениям стандартной карты или Карта Чирикова – Тейлора стохастической теории.^[1]

В приближении континуального предела модель ФК сводится к точно интегрируемой синус-Гордон уравнение или уравнение SG, которое позволяет солитон решения. По этой причине модель ФК также известна как «дискретное уравнение синус-Гордона» или «периодическое уравнение Клейна-Гордона».

История

Простая модель гармонической цепочки в периодическом потенциале подложки была предложена Ульрихом Делингером в 1928 году. Делингер вывел приближенное аналитическое выражение для устойчивых решений этой модели, которое он назвал Верхакунген которые соответствуют тому, что сегодня называется пары перегибов. По существу похожая модель была разработана Людвиг Прандтль в 1912/13, но не публиковался до 1928 года.^[5]

Модель была независимо предложена Яковом Френкелем и Татьяной Конторовой в их статье 1938 года. К теории пластической деформации и двойникования для описания динамики кристаллической решетки вблизи вывих и описать кристаллическое двойникование.^[4] В стандартной линейной гармонической цепочке любое смещение атомов приведет к возникновению волн, и единственной устойчивой конфигурацией будет тривиальная. Для нелинейной цепочки Френкеля и Конторовой существуют стабильные конфигурации помимо тривиальной. Для небольших смещений атомов ситуация напоминает линейную цепочку, однако для достаточно больших смещений можно создать движущуюся одиночную дислокацию, для которой аналитическое решение было получено Френкелем и Конторовой.^[6] Форма этих дислокаций определяется только параметрами системы, такими как масса и упругая постоянная пружин.

Вывихи, также называемые солитоны, являются распределенными нелокальными дефектами и математически являются разновидностью топологический дефект. Определяющей характеристикой солитонов / дислокаций является то, что они ведут себя как стабильные частицы, они могут двигаться, сохраняя свою общую форму. Два солитона одинаковой и противоположной ориентации могут аннулировать при столкновении, но один солитон не может аннигилировать спонтанно.

Обобщенная модель

Обобщенная модель ФК рассматривает одномерную цепочку атомов с взаимодействием ближайших соседей в периодическом локальном потенциале, т.е. Гамильтониан для этой системы

${\displaystyle {\cal {H}}={\frac {m_{a}}{2}}\sum _{n}{\bigg (}{\frac {dx_{n}}{dt}}{\bigg )}^{2}+U}$

(1)

где первый член - кинетическая энергия ${\displaystyle n}$ атомы массы ${\displaystyle m_{a}}$ и потенциальная энергия ${\displaystyle U}$ представляет собой сумму потенциальной энергии из-за взаимодействия ближайших соседей и потенциала подложки ${\displaystyle U=U_{sub}+U_{int}}$

Потенциал подложки периодический, т.е. ${\displaystyle U_{sub}(x+a_{s})=U_{sub}(x)}$ для некоторых ${\displaystyle a_{s}}$.

Для негармонических взаимодействий и / или несинусоидального потенциала модель FK вызовет соразмерно-несоразмерный фазовый переход.

Модель FK может быть применена к любой системе, которую можно рассматривать как две связанные подсистемы, где одна подсистема может быть аппроксимирована как линейная цепочка, а вторая подсистема как потенциал неподвижной подложки.^[1]

Примером может служить адсорбция слоя на поверхности кристалла, здесь адсорбционный слой может быть аппроксимирован цепочкой, а поверхность кристалла - локальным потенциалом.

Классическая модель

В этом разделе мы подробно исследуем простейшую форму модели FK. Подробную версию этого вывода можно найти в следующей статье.^[2] Модель, схематически показанная на рисунке 1, описывает одномерную цепочку атомов с гармоническим взаимодействием ближайших соседей и подверженную синусоидальному потенциалу. Поперечное движение атомов не учитывается, т.е. атомы могут двигаться только по цепочке. Гамильтониан для этой ситуации дается выражением ${\displaystyle (1)}$ где мы указываем потенциал взаимодействия как

${\displaystyle U_{int}={\frac {g}{2}}\sum _{n}(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2}}$

куда ${\displaystyle g}$ - упругая постоянная и ${\displaystyle a_{0}}$ - межатомное равновесное расстояние. Потенциал субстрата

${\displaystyle U_{sub}={\frac {\epsilon _{s}}{2}}\sum _{n}{\bigg [}1-\cos {\bigg (}{\frac {2\pi x_{n}}{a_{s}}}{\bigg )}{\bigg ]}}$

с ${\displaystyle \epsilon _{s}}$ амплитуда и ${\displaystyle a_{s}}$ Период.

Для переписывания гамильтониана вводятся следующие безразмерные переменные:

${\displaystyle x_{n}\rightarrow {\bigg (}{\frac {2\pi }{a_{s}}}{\bigg )}x_{n},\qquad t\rightarrow {\bigg (}{\frac {2\pi }{a_{s}}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {\epsilon _{s}}{2m_{a}}}}t,\qquad a_{0}\rightarrow {\frac {2\pi }{a_{s}}},\qquad g\rightarrow g{\frac {a_{s}/2\pi ^{2}}{\epsilon _{s}/2}}}$

В безразмерном виде гамильтониан имеет вид

${\displaystyle H={\frac {\cal {H}}{\epsilon _{s}/2}}=\sum _{n}{\bigg [}{\frac {1}{2}}{\frac {dx_{n}}{dt}}^{2}+(1-\cos x_{n}+{\frac {1}{2}}g(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2}{\bigg ]}}$

который описывает гармоническую цепочку атомов единичной массы в синусоидальном потенциале периода ${\displaystyle a_{s}=2\pi }$ с амплитудой ${\displaystyle \epsilon _{s}=2}$. Уравнение движения для этого гамильтониана имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}x_{n}}{dt^{2}}}+\sin x_{n}-g(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_{n})=0}$

Мы рассматриваем только случай, когда ${\displaystyle a_{0}}$ и ${\displaystyle a_{s}}$ соразмерны, для простоты возьмем ${\displaystyle a_{0}=a_{s}}$. Таким образом, в основном состоянии цепочки каждый минимум потенциала подложки занят одним атомом. Введем переменную ${\displaystyle u_{n}}$ для атомных смещений, которое определяется

${\displaystyle x_{n}=na_{s}+u_{n}}$

Для небольших перемещений ${\displaystyle u_{n}\ll a_{s}}$ уравнение движения может быть линеаризовано и принимает следующий вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}+u_{n}-g(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n})=0}$

Это уравнение движения описывает фононы с ${\displaystyle u_{n}\propto \exp[i(\omega _{ph}(\kappa )t-\kappa n)]}$ с соотношением дисперсии фононов ${\displaystyle \omega _{ph}^{2}(\kappa )=\omega _{min}^{2}+2g(1-\cos \kappa )}$ с ${\displaystyle |\kappa |\leq \pi }$ безразмерное волновое число. Это показывает, что частотный спектр цепочки имеет запрещенная зона ${\displaystyle \omega _{min}\equiv \omega _{ph}(0)=1}$ с частотой среза ${\displaystyle \omega _{max}\equiv \omega _{ph}(\pi )={\sqrt {\omega _{min}^{2}+4g}}}$.

Линеаризованное уравнение движения недействительно, когда атомные смещения не малы и необходимо использовать нелинейное уравнение движения. Нелинейные уравнения могут поддерживать новые типы локализованных возбуждений, которые лучше всего освещаются при рассмотрении приближения континуального предела модели ФК. Применение стандартной процедуры Розенау^[7] вывод уравнений непрерывного предела из дискретной решетки приводит к возмущенному уравнению синус-Гордон${\displaystyle u_{tt}+\sin u-(a_{s}^{2}g)u_{xx}=\epsilon f(u)}$здесь функция ${\displaystyle \epsilon f(u)}$ описывает в первом порядке эффекты, обусловленные дискретностью цепи.

${\displaystyle \epsilon f(u)={\frac {1}{12}}a_{s}^{2}(u_{xxtt}+u_{x}^{2}\sin u-u_{xx}\cos u)}$

Пренебрегая эффектами дискретности и вводя ${\displaystyle x\rightarrow {\frac {x}{a_{s}{\sqrt {g}}}}}$ сводит уравнение движения к уравнению синус-Гордона (SG) в его стандартной форме.

${\displaystyle u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0}$

Уравнение СГ порождает три элементарных возбуждения / решения: кинки, бризеры и фононы. Кинки, или топологические солитоны, можно понимать как решение, соединяющее два ближайших идентичных минимума периодического потенциала подложки, то есть они являются результатом вырождения основного состояния.

${\displaystyle u_{k}(x,t)=4\tan ^{-1}(\exp[-\sigma \gamma (v)(x-vt)])}$

куда ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ - топологический заряд, ибо ${\displaystyle \sigma =1}$ решение называется перегибом и для ${\displaystyle \sigma =-1}$ это антикинк. Ширина перегиба ${\displaystyle \gamma }$ определяется скоростью кинка ${\displaystyle v}$ куда ${\displaystyle v}$ измеряется в единицах скорости звука ${\displaystyle c}$ и является ${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$. Для движения изгиба с ${\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}$ ширина приблизительно равна 1. Энергия излома в безразмерных единицах равна

${\displaystyle E_{k}=mc^{2}\gamma (v)\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}}$

откуда следует масса покоя перегиба как ${\displaystyle m={\frac {2}{\pi ^{2}{\sqrt {g}}}}}$ и энергия покоя кинков как ${\displaystyle \epsilon _{k}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}}$.

Два соседних статических перегиба с расстоянием ${\displaystyle R}$ будет иметь энергию отталкивания${\displaystyle v_{int}\approx \epsilon _{k}\sinh ^{-2}{\bigg (}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt {g}}}}{\bigg )}}$

тогда как кинк и антикинк будут привлекать взаимодействием${\displaystyle v_{int}(R)\approx -\epsilon _{k}\cosh ^{-2}{\bigg (}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt {g}}}}{\bigg )}}$

Передышка

${\displaystyle u_{br}(x,t)=4\tan ^{-1}{\bigg [}{\bigg (}{\frac {\sqrt {1-\Omega ^{2}}}{\Omega }}{\bigg )}{\frac {\sin(\Omega t)}{\cosh(x{\sqrt {1-\Omega ^{2}}}}}{\bigg ]}}$

который описывает нелинейные колебания с частотой ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle 0<\Omega <\omega _{min}}$

${\displaystyle \epsilon _{br}=2\epsilon _{k}{\sqrt {1-\Omega ^{2}}}}$

для низких частот ${\displaystyle \Omega \ll 1}$ сапун можно рассматривать как связанную пару кинк-антикинк. Изгибы и бризеры могут перемещаться по цепи без потери диссипативной энергии. Более того, любое столкновение между всеми возбуждениями уравнения SG приведет только к фазовому сдвигу. Таким образом, перегибы и бризеры можно рассматривать нелинейный квазичастицы модели SG. Для почти интегрируемых модификаций уравнения СГ, таких как континуальное приближение модели ФК, могут быть рассмотрены изломы деформируемый квазичастиц при условии, что эффекты дискретности малы.^[2]

Потенциал Пайерлса – Набарро.

В предыдущем разделе возбуждения модели ФК были получены путем рассмотрения модели в приближении континуального предела. Поскольку свойства кинков лишь незначительно меняются из-за дискретности первичной модели, уравнение SG может адекватно описывать большинство характеристик и динамику системы.

Однако дискретная решетка действительно влияет на движение кинка уникальным образом благодаря существованию потенциала Пайерлса – Набарро (PN) ${\displaystyle V_{PN}(X)}$. Здесь, ${\displaystyle X}$ положение центра излома. Наличие потенциала PN связано с отсутствием трансляционная инвариантность в дискретной цепочке. В континуальном пределе система инвариантна при любом переносе излома по цепи. Для дискретной цепочки только те трансляции, которые являются целым числом, кратным шагу решетки. ${\displaystyle a_{s}}$ оставить систему инвариантной. Барьер PN, ${\displaystyle E_{PN}}$, является наименьшим энергетическим барьером, который перегиб должен преодолеть, чтобы пройти через решетку. Величина барьера PN - это разница между потенциальной энергией кинка для стабильной и нестабильной стационарной конфигурации.^[2] Стационарные конфигурации схематически показаны на рисунке 2.

Стационарная конфигурация для модели FK на одиночный перегиб. Верхнее изображение соответствует стабильной конфигурации. Нижнее изображение соответствует нестабильной конфигурации

Рекомендации

1. Кившар Ю.С., Беннер Х., Браун О.М. (2008). «Нелинейные модели динамики топологических дефектов в твердых телах». Нелинейная наука на заре XXI века. Конспект лекций по физике Том 542. стр. 265. Bibcode:2000LNP ... 542..265K. ISBN  9783540466291.
2. Браун, Олег М; Кившарь, Юрий С (1998). «Нелинейная динамика модели Френкеля – Конторовой». Отчеты по физике. 306 (1–2): 1–108. Bibcode:1998ФР ... 306 .... 1Б. Дои:10.1016 / S0370-1573 (98) 00029-5.
3. Кившар Ю.С., Браун О.М. (2013). Модель Френкеля-Конторовой: концепции, методы и приложения. Springer Science & Business Media. п. 9. ISBN  978-3662103319.
4. "Модель Френкеля-Конторова". Энциклопедия нелинейной науки. Рутледж. 2015 г. ISBN  9781138012141.
5. Юрий С. Кившарь, Олег М. Браун (2013). Модель Френкеля-Конторовой: концепции, методы и приложения. Springer Science & Business Media. п. 435. ISBN  978-3662103319.
6. Филиппов, А. (2010). Универсальный солитон Современная классика Биркхойзера. Springer Science & Business Media. п. 138. ISBN  9780817649746.
7. Розенау, П. (1986). «Динамика нелинейных цепей масса-пружина вблизи континуального предела». Письма о физике A. 118 (5): 222–227. Bibcode:1986ФЛА..118..222Р. Дои:10.1016/0375-9601(86)90170-2.