Квазитреугольная алгебра Хопфа - Quasitriangular Hopf algebra

В математика, а Алгебра Хопфа, ЧАС, является квазитреугольный^[1] если Существует ан обратимый элемент, р, из ${displaystyle Hotimes H}$ такой, что

• ${displaystyle R Delta (x)R^{-1}=(Tcirc Delta )(x)}$ для всех ${displaystyle xin H}$, куда ${displaystyle Delta }$ является побочным продуктом на ЧАС, а линейная карта ${displaystyle T:Hotimes H o Hotimes H}$ дан кем-то ${displaystyle T(xotimes y)=yotimes x}$,

• ${displaystyle (Delta otimes 1)(R)=R_{13} R_{23}}$,

• ${displaystyle (1otimes Delta )(R)=R_{13} R_{12}}$,

куда ${displaystyle R_{12}=phi _{12}(R)}$, ${displaystyle R_{13}=phi _{13}(R)}$, и ${displaystyle R_{23}=phi _{23}(R)}$, куда ${displaystyle phi _{12}:Hotimes H o Hotimes Hotimes H}$, ${displaystyle phi _{13}:Hotimes H o Hotimes Hotimes H}$, и ${displaystyle phi _{23}:Hotimes H o Hotimes Hotimes H}$, являются алгеброй морфизмы определяется по

${displaystyle phi _{12}(aotimes b)=aotimes botimes 1,}$

${displaystyle phi _{13}(aotimes b)=aotimes 1otimes b,}$

${displaystyle phi _{23}(aotimes b)=1otimes aotimes b.}$

р называется R-матрицей.

Как следствие свойств квазитреугольности, R-матрица, р, является решением Уравнение Янга – Бакстера (и так модуль V из ЧАС можно использовать для определения квазиинвариантов косы, узлы и ссылки ). Также как следствие свойств квазитреугольности ${displaystyle (epsilon otimes 1)R=(1otimes epsilon )R=1in H}$; более того ${displaystyle R^{-1}=(Sotimes 1)(R)}$, ${displaystyle R=(1otimes S)(R^{-1})}$, и ${displaystyle (Sotimes S)(R)=R}$. Далее можно показать, что антипод S должен быть линейным изоморфизмом, и, следовательно, S² это автоморфизм. Фактически, S² дается сопряжением обратимым элементом: ${displaystyle S^{2}(x)=uxu^{-1}}$ куда ${displaystyle u:=m(Sotimes 1)R^{21}}$ (ср. Ленточные алгебры Хопфа ).

Можно построить квазитреугольную алгебру Хопфа из алгебры Хопфа и двойственной ей, используя Drinfeld квантовая двойная конструкция.

Если алгебра Хопфа ЧАС квазитреугольник, то категория модулей над ЧАС оплетен тесьмой

${displaystyle c_{U,V}(uotimes v)=Tleft(Rcdot (uotimes v)ight)=Tleft(R_{1}uotimes R_{2}vight)}$.

Скручивание

Свойство быть квазитреугольная алгебра Хопфа сохраняется скручивание через обратимый элемент ${displaystyle F=sum _{i}f^{i}otimes f_{i}in {mathcal {Aotimes A}}}$ такой, что ${displaystyle (varepsilon otimes id)F=(idotimes varepsilon )F=1}$ и удовлетворяющая условию коцикла

${displaystyle (Fotimes 1)circ (Delta otimes id)F=(1otimes F)circ (idotimes Delta )F}$

Более того, ${displaystyle u=sum _{i}f^{i}S(f_{i})}$ обратима, а скрученный антипод имеет вид ${displaystyle S'(a)=uS(a)u^{-1}}$, при скрученном коумножении, R-матрица и ко-единица изменяются в соответствии с определенными для квазитреугольная квазихопфа алгебра. Такой поворот известен как допустимый (или по Дринфельду) поворот.

Смотрите также

• Квазитреугольная квазихопфа алгебра
• Ленточная алгебра Хопфа

Примечания

1. Монтгомери и Шнайдер (2002), п. 72.

Рекомендации

• Монтгомери, Сьюзен (1993). Алгебры Хопфа и их действия на кольцах. Серия региональных конференций по математике. 82. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0738-2. Zbl  0793.16029.
• Монтгомери, Сьюзен; Шнайдер, Ханс-Юрген (2002). Новые направления в алгебрах Хопфа. Публикации НИИ математических наук. 43. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-81512-3. Zbl  0990.00022.