Продукция Massey - Massey product

Произведение Мэсси является алгебраическим обобщением феномена Кольца Борромео.

В алгебраическая топология, то Продукция Massey это операция когомологии высшего порядка, введенного в (Мэсси 1958 ), который обобщает чашка продукта. Продукт Massey был создан Уильям С. Мэсси, американский алгебраический тополог.

Тройное произведение Масси

Позволять ${ displaystyle a, b, c}$ быть элементами алгебры когомологий ${ Displaystyle Н ^ {*} ( Гамма)}$ из дифференциальная градуированная алгебра ${ displaystyle Gamma}$ . Если ${ displaystyle ab = bc = 0}$ , продукт Massey ${ displaystyle langle a, b, c rangle}$ это подмножество ${ Displaystyle Н ^ {п} ( Гамма)}$ , куда ${ Displaystyle п = град (а) + град (Ь) + град (с) -1}$ .

Произведение Месси определяется алгебраически, поднимая элементы ${ displaystyle a, b, c}$ классам эквивалентности элементов ${ displaystyle u, v, w}$ из ${ displaystyle Gamma}$ , взяв их произведения Масси, а затем перейдя к когомологиям. Это может привести к четко определенному классу когомологий или может привести к неопределенности.

Определять ${ displaystyle { bar {u}}}$ быть ${ displaystyle (-1) ^ { deg (u) +1} u}$ . Класс когомологий элемента ${ displaystyle u}$ из ${ displaystyle Gamma}$ будем обозначать ${ displaystyle [u]}$ . Тройное произведение Масси трех классов когомологий определяется формулой

{ displaystyle langle [u], [v], [w] rangle = {[{ bar {s}} w + { bar {u}} t] mid ds = { bar {u}} v, dt = { bar {v}} w }.}

Произведение Масси трех классов когомологий не является элементом ${ Displaystyle Н ^ {*} ( Гамма)}$ , но набор элементов ${ Displaystyle Н ^ {*} ( Гамма)}$ , возможно, пустой и, возможно, содержащий более одного элемента. Если ${ displaystyle u, v, w}$ иметь степени ${ displaystyle i, j, k}$ , то произведение Масси имеет степень ${ displaystyle i + j + k-1}$ , с ${ displaystyle -1}$ исходящий из дифференциала ${ displaystyle d}$ .

Произведение Месси непусто, если продукты ${ displaystyle uv}$ и ${ displaystyle vw}$ оба точны, и в этом случае все его элементы находятся в одном элементе фактор-группы

{ displaystyle displaystyle H ^ {*} ( Gamma) / ([u] H ^ {*} ( Gamma) + H ^ {*} ( Gamma) [w]).}

Таким образом, произведение Месси можно рассматривать как функцию, определенную на тройках классов, так что произведение первых или последних двух равно нулю, принимая значения в указанной выше фактор-группе.

Проще говоря, если два попарных произведения ${ Displaystyle [и] [v]}$ и ${ Displaystyle [v] [ш]}$ оба исчезают в гомологии ( ${ Displaystyle [и] [v] = [v] [w] = 0}$ ), т.е. ${ displaystyle uv = ds}$ и ${ displaystyle vw = dt}$ для некоторых цепей ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ , то тройное произведение ${ Displaystyle [и] [v] [ш]}$ исчезает «по двум разным причинам» - это граница ${ displaystyle sw}$ и ${ displaystyle ut}$ (поскольку ${ Displaystyle d (sw) = ds cdot w + s cdot dw,}$ и ${ displaystyle [dw] = 0}$ поскольку элементы гомологии являются циклами). Ограничивающие цепи ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ имеют неопределенность, которая исчезает при переходе к гомологии, и поскольку ${ displaystyle sw}$ и ${ displaystyle ut}$ имеют ту же границу, вычитание их (знаковое соглашение заключается в правильной обработке градуировки) дает коцикл (граница разности равна нулю), и, таким образом, получается четко определенный элемент когомологий - этот шаг аналогичен определению ${ displaystyle n + 1}$ st гомотопия или группа гомологий с точки зрения неопределенности в нуль-гомотопиях / нуль-гомологиях п-мерные карты / цепочки.

Геометрически в особые когомологии многообразия, можно интерпретировать произведение двояко в терминах ограничивающих многообразий и пересечений, следуя Двойственность Пуанкаре: двойственные коциклам - это циклы, часто представляемые в виде замкнутых многообразий (без границы), двойственные к произведению - это пересечения, а двойственные к вычитанию ограничивающих произведений - это склеивание двух ограничивающих многообразий вместе вдоль границы с получением замкнутого многообразия, которое представляет собой класс гомологий, двойственный к произведению Масси. В действительности гомологические классы многообразий не всегда могут быть представлены многообразиями - представляющий цикл может иметь особенности - но с этим предостережением двойственная картина верна.

Продукция Massey высшего порядка

В более общем плане п-складываемое произведение Месси ${ displaystyle langle a_ {1,1}, a_ {2,2}, ldots, a_ {n, n} rangle}$ из п элементы ${ Displaystyle Н ^ {*} ( Гамма)}$ определяется как набор элементов формы

{ displaystyle { bar {a}} _ {1,1} a_ {2, n} + { bar {a}} _ {1,2} a_ {3, n} + cdots + { bar { a}} _ {1, n-1} a_ {n, n}}

для всех решений уравнений

{ displaystyle da_ {i, j} = { bar {a}} _ {i, i} a_ {i + 1, j} + { bar {a}} _ {i, i + 1} a_ {i + 2, j} + cdots + { bar {a}} _ {i, j-1} a_ {j, j}}

,

с ${ Displaystyle 1 Leq я Leq J Leq N}$ и ${ displaystyle (я, j) neq (1, n)}$ , куда ${ displaystyle { bar {u}}}$ обозначает ${ displaystyle (-1) ^ { deg (u)} u}$ .

Продукт Масси высшего порядка ${ displaystyle langle a_ {1,1}, a_ {2,2}, ldots, a_ {n, n} rangle}$ можно рассматривать как препятствие к решению последней системы уравнений для всех ${ Displaystyle 1 Leq я Leq J Leq N}$ , в том смысле, что он содержит класс 0 когомологий тогда и только тогда, когда эти уравнения разрешимы. Этот п-складываемое произведение Месси является ${ displaystyle n-1}$ операция когомологий порядка, означающая, что для того, чтобы она была непустой, многие операции Месси более низкого порядка должны содержать 0, и, более того, классы когомологий, которые она представляет, различаются терминами, включающими операции более низкого порядка. 2-кратное произведение Месси - это просто обычное произведение чашки и является операцией когомологий первого порядка, а 3-кратное произведение Месси такое же, как тройное произведение Месси, определенное выше, и является операция вторичной когомологии.

Дж. Питер Мэй (1969 ) описал дальнейшее обобщение, названное Продукция Matric Massey, которые можно использовать для описания дифференциалов Спектральная последовательность Эйленберга – Мура.

Приложения

Дополнение Кольца Борромео имеет нетривиальное произведение Масси.

Дополнение Кольца Борромео дает пример, в котором тройное произведение Масси определено и не равно нулю. Если ты, v, и ш являются 1-коцепями, двойственными к трем кольцам, то произведение любых двух является кратным соответствующим номер ссылки и, следовательно, равен нулю, в то время как произведение Месси всех трех элементов не равно нулю, показывая, что кольца Борромео связаны. Алгебра отражает геометрию: кольца попарно не связаны, что соответствует исчезновению попарных (2-кратных) произведений, но в целом связаны, что соответствует 3-кратному произведению, не исчезающему.

Нетривиальный Бруннские ссылки соответствуют отличным от нуля продуктам Масси.

В более общем смысле, п-компонент Бруннские ссылки - ссылки такие, что любые ${ Displaystyle (п-1)}$ -компонентная подссылка не привязана, но общая п-компонентная ссылка связана нетривиально - соответствуют п-складываем продукты Massey, с отключением ${ Displaystyle (п-1)}$ -компонентная подссылка, соответствующая исчезновению ${ Displaystyle (п-1)}$ складывать изделия Massey и п-компонентное зацепление, соответствующее не обращению в нуль п-складываемое произведение Месси.

Уэхара и Мэсси (1957) использовал тройное произведение Масси, чтобы доказать, что Продукт от белых угрей удовлетворяет Личность Якоби.

При вычислении появляются произведения Масси высшего порядка. скрученная K-теория с помощью Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха (AHSS). В частности, если ЧАС твист 3-х классный, Атья и Сигал (2008) показали, что рационально высшие дифференциалы ${ displaystyle d_ {2p + 1} }$ в AHSS действующий на классе Икс даются произведением Масси п копии ЧАС с единственной копией Икс.

Если многообразие формальный (в смысле Деннис Салливан ), то все произведения Масси на пространстве должны исчезнуть; таким образом, одна стратегия для демонстрации того, что данное многообразие нет формальным является демонстрация нетривиального произведения Масси. Здесь формальное многообразие есть тот, чей рациональный гомотопический тип может быть выведен («формально») из конечномерной «минимальной модели» его комплекс де Рама. Deligne et al. (1975) показал этот компактный Кэлеровы многообразия формальны.

Сальваторе и Лонгони (2005) используйте продукт Massey, чтобы показать, что гомотопический тип из конфигурационное пространство двух точек в пространство объектива нетривиально зависит от простой гомотопический тип линзового пространства.

Смотрите также

Скобка Тоды

Продукция Massey - Massey product

Содержание

Тройное произведение Масси

Продукция Massey высшего порядка

Приложения

Смотрите также

Рекомендации