Скобка Тоды - Toda bracket

В математике Скобка Тоды является операцией на гомотопических классах отображений, в частности на гомотопические группы сфер, названный в честь Хироши Тода, который определил их и использовал для вычисления гомотопических групп сфер в (Тода 1962 ).

Определение

Видеть (Кочман 1990 г. ) или же (Тода 1962 ) для получения дополнительной информации.

${displaystyle W{stackrel {f}{ o }}X{stackrel {g}{ o }}Y{stackrel {h}{ o }}Z}$

последовательность отображений между пространствами, такая что композиции ${displaystyle gcirc f}$ и ${displaystyle hcirc g}$ оба нулевой гомотопный. Учитывая пространство ${displaystyle A}$, позволять ${displaystyle CA}$ обозначить конус из ${displaystyle A}$. Тогда мы получаем (неединственное) отображение

${displaystyle Fcolon CW o Y}$

вызванный гомотопия из ${displaystyle gcirc f}$ на тривиальную карту, которая после составления ${displaystyle h}$ дает карту

${displaystyle hcirc Fcolon CW o Z}$.

Аналогично получаем неуникальную карту ${displaystyle Gcolon CX o Z}$ индуцированный гомотопией из ${displaystyle hcirc g}$ к тривиальной карте, которая при составлении с ${displaystyle C_{f}colon CW o CX}$, конус карты ${displaystyle f}$, дает другую карту,

${displaystyle Gcirc C_{f}colon CW o Z}$.

Соединив эти два конуса на ${displaystyle W}$ и карты от них до ${displaystyle Z}$, мы получаем карту

${displaystyle langle f,g,hangle colon SW o Z}$

представляющий элемент в группе ${displaystyle [SW,Z]}$ гомотопических классов отображений из надстройки ${displaystyle SW}$ к ${displaystyle Z}$, называется Скобка Тоды из ${displaystyle f}$, ${displaystyle g}$, и ${displaystyle h}$. Карта ${displaystyle langle f,g,hangle }$ не определен однозначно с точностью до гомотопии, потому что был некоторый выбор при выборе отображений из конусов. Изменение этих карт изменяет скобку Тоды, добавляя элементы ${displaystyle h[SW,Y]}$ и ${displaystyle [SX,Z]f}$.

Существуют также более высокие скобки Тоды для нескольких элементов, определяемые, когда исчезают подходящие нижние скобки Тоды. Это соответствует теории Продукция Massey в когомология.

Скобка Тоды для стабильных гомотопических групп сфер

В прямая сумма

${displaystyle pi _{ast }^{S}=igoplus _{kgeq 0}pi _{k}^{S}}$

стабильных гомотопических групп сфер является суперкоммутативный оцененный звенеть, где умножение (называемое композиционным произведением) задается композицией отображающих карт, а любой элемент ненулевой степени равен нильпотентный (Нисида 1973 ).

Если ж и грамм и час являются элементами ${displaystyle pi _{ast }^{S}}$ с ${displaystyle fcdot g=0}$ и ${displaystyle gcdot h=0}$, Существует Скобка Тоды ${displaystyle langle f,g,hangle }$ этих элементов. Скобка Тоды не совсем элемент стабильной гомотопической группы, потому что она определена только с точностью до сложения композиционных произведений некоторых других элементов. Хироши Тода использовал композиционное произведение и скобки Тоды для обозначения многих элементов гомотопических групп.Коэн (1968) показал, что каждый элемент стабильных гомотопических групп сфер может быть выражен с помощью композиционных произведений и более высоких скобок Тоды в терминах некоторых хорошо известных элементов, называемых элементами Хопфа.

Скобка Тоды для общих триангулированных категорий

В случае генерала триангулированная категория скобку Тоды можно определить следующим образом. Снова предположим, что

${displaystyle W{stackrel {f}{ o }}X{stackrel {g}{ o }}Y{stackrel {h}{ o }}Z}$

последовательность морфизма в триангулированная категория такой, что ${displaystyle gcirc f=0}$ и ${displaystyle hcirc g=0}$. Позволять ${displaystyle C_{f}}$ обозначим конус ж так что мы получаем точный треугольник

${displaystyle W{stackrel {f}{ o }}X{stackrel {i}{ o }}C_{f}{stackrel {q}{ o }}W[1]}$

Соотношение ${displaystyle gcirc f=0}$ подразумевает, что грамм факторы (не однозначно) через ${displaystyle C_{f}}$ в качестве

${displaystyle X{stackrel {i}{ o }}C_{f}{stackrel {a}{ o }}Y}$

для некоторых ${displaystyle a}$. Тогда соотношение ${displaystyle hcirc acirc i=hcirc g=0}$ подразумевает, что ${displaystyle hcirc a}$ факторы (не однозначно) через W [1] в качестве

${displaystyle C_{f}{stackrel {q}{ o }}W[1]{stackrel {b}{ o }}Z}$

для некоторых б. Этот б является (выбором) скобкой Тоды ${displaystyle langle f,g,hangle }$ в группе ${displaystyle operatorname {hom} (W[1],Z)}$.

Рекомендации

• Коэн, Джоэл М. (1968), "Разложение стабильной гомотопии", Анналы математики, Вторая серия, 87 (2): 305–320, Дои:10.2307/1970586, JSTOR  1970586, МИСТЕР  0231377, ЧВК  224450.
• Кочман, Стэнли О. (1990), «Скобки Тоды», Стабильные гомотопические группы сфер. Компьютерный подход, Конспект лекций по математике, 1423, Берлин: Springer-Verlag, стр. 12–34, Дои:10.1007 / BFb0083797, ISBN  978-3-540-52468-7, МИСТЕР  1052407.
• Нисида, Горо (1973), «Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер», Журнал математического общества Японии, 25 (4): 707–732, Дои:10.2969 / jmsj / 02540707, ISSN  0025-5645, МИСТЕР  0341485.
• Тода, Хироши (1962), Методы композиции в гомотопических группах сфер, Анналы математических исследований, 49, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-09586-8, МИСТЕР  0143217.