Нормальная схема - Normal scheme

В алгебраическая геометрия, алгебраическое многообразие или схема Икс является нормальный если это нормально во всех точках, то есть местное кольцо в данный момент интегрально замкнутая область. An аффинное разнообразие Икс (понимаемое как неприводимое) нормально тогда и только тогда, когда кольцо О(Икс) из регулярные функции на Икс является целозамкнутой областью. Разнообразие Икс над полем нормально тогда и только тогда, когда каждое конечный бирациональный морфизм из любого разнообразия Y к Икс является изоморфизмом.

Нормальные сорта были введены Зарисский (1939, раздел III).

Геометрические и алгебраические интерпретации нормальности

Морфизм многообразий конечен, если прообраз каждой точки конечен и морфизм имеет вид правильный. Морфизм многообразий является бирациональным, если он ограничивается изоморфизмом между плотными открытыми подмножествами. Так, например, куспидальная кубическая кривая Икс в аффинной плоскости А² определяется Икс² = y³ не является нормальным, поскольку существует конечный бирациональный морфизм А¹ → Икс(а именно, т сопоставляется с (т³, т²)), который не является изоморфизмом. Напротив, аффинная линия А¹ нормально: его нельзя далее упростить с помощью конечных бирациональных морфизмов.

Нормальный сложный сорт Икс имеет свойство, если рассматривать его как стратифицированное пространство используя классическую топологию, каждое звено подключено. Эквивалентно каждая сложная точка Икс имеет сколь угодно малые окрестности U такой, что U минусуникальный набор Икс подключен. Например, отсюда следует, что узловая кубическая кривая Икс на рисунке, определяемом Икс² = y²(y +1), это ненормально. Это также следует из определения нормальности, поскольку существует конечный бирациональный морфизм из А¹ к Икс что не является изоморфизмом; он отправляет две точки А¹ в ту же точку в Икс.

Изгиб y² = Икс²(Икс + 1)

В более общем плане схема Икс является нормальный если каждый из его местные кольца

О_{Х, х}

является интегрально замкнутая область. То есть каждое из этих колец представляет собой область целостности р, и каждое кольцо S с р ⊆ S ⊆ ГРП (р) такие, что S конечно порожден как р-модуль равен р. (Здесь Frac (р) обозначает поле дробей из р.) Это прямой перевод в терминах локальных колец геометрического условия, что каждый конечный бирациональный морфизм Икс является изоморфизмом.

Старое понятие состоит в том, что подмногообразие Икс проективного пространства линейно нормальный если линейная система, дающая вложение, полная. Эквивалентно Икс ⊆ п^п не является линейной проекцией вложения Икс ⊆ п^{п + 1} (пока не Икс содержится в гиперплоскости п^п). Это значение слова "нормальный" в фразах рациональная нормальная кривая и рациональная нормальная прокрутка.

Каждый обычная схема это нормально. Наоборот, Зарисский (1939 г., теорема 11) показал, что любое нормальное многообразие регулярно вне подмножества коразмерности не меньше 2, и аналогичный результат верен для схем.^[1] Так, например, каждый нормальный изгиб регулярно.

Нормализация

Любой сокращенная схема Икс имеет уникальный нормализация: нормальная схема Y с интегральным бирациональным морфизмом Y → Икс. (За Икс многообразие над полем, морфизм Y → Икс конечно, что сильнее «интеграла».^[2]) Нормализация схемы размерности 1 является регулярной, а нормализация схемы размерности 2 имеет только отдельные особенности. Нормализация обычно не используется для разрешение особенностей для схем более высокой размерности.

Чтобы определить нормализацию, сначала предположим, что Икс является несводимый сокращенная схема Икс. Каждое аффинное открытое подмножество Икс имеет вид Spec р с р ан область целостности. Написать Икс как объединение аффинных открытых подмножеств Spec А_я. Позволять B_я быть интегральное закрытие из А_я в его поле дробей. Тогда нормализация Икс определяется склейкой аффинных схем Spec B_я.

Примеры

Если исходная схема не является неприводимой, нормализация определяется как несвязное объединение нормализаций неприводимых компонент.

Нормализация куспида

Рассмотрим аффинную кривую

${ displaystyle C = { text {Spec}} left ({ frac {k [x, y]} {y ^ {2} -x ^ {5}}} right)}$

с особенностью возврата в нуле. Его нормализация может быть дана картой

${ displaystyle { text {Spec}} (k [t]) to C}$

индуцированный из отображения алгебры

${ Displaystyle х mapsto т ^ {2}, y mapsto т ^ {5}}$

Нормализация осей в аффинной плоскости

Например,

${ displaystyle X = { text {Spec}} ( mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

не является неприводимой схемой, поскольку состоит из двух компонентов. Его нормализация дается морфизмом схемы

${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [x, y] / (x) times mathbb {C} [x, y] / (y)) to { text {Spec} } ( mathbb {C} [x, y] / (xy))}$

индуцированные двумя фактор-отображениями

${ Displaystyle mathbb {C} [x, y] / (ху) к mathbb {C} [x, y] / (x, xy) = mathbb {C} [x, y] / (x) }$

${ Displaystyle mathbb {C} [x, y] / (ху) к mathbb {C} [x, y] / (y, xy) = mathbb {C} [x, y] / (y) }$

Нормализация приводимого проективного многообразия

Аналогично для однородных неприводимых многочленов ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k}}$ в УФО нормализация

${ displaystyle { text {Proj}} left ({ frac {k [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1} cdots f_ {k}, g)}} верно)}$

дается морфизмом

${ displaystyle { text {Proj}} left ( prod { frac {k [x_ {0} ldots, x_ {n}]} {(f_ {i}, g)}} right) to { text {Proj}} left ({ frac {k [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1} cdots f_ {k}, g)}} right) }$

Смотрите также

Примечания

^ Эйзенбуд, Д. Коммутативная алгебра (1995). Спрингер, Берлин. Теорема 11.5.
^ Эйзенбуд, Д. Коммутативная алгебра (1995). Спрингер, Берлин. Следствие 13.13.