Родовое свойство - Generic property

В математика, свойства, которые справедливы для "типичных" примеров, называются общие свойства. Например, общее свойство класса функций - это свойство, которое истинно для «почти всех» этих функций, как в утверждениях «Общий многочлен не имеет корня в нуле »или« Общий квадратная матрица является обратимый. »В качестве другого примера, общее свойство пространства - это свойство, которое выполняется« почти во всех »точках пространства, как в заявлении« Если ж : M → N является гладкой функцией между гладкие многообразия, то общая точка N не является критическим значением ж. "(Это автор Теорема Сарда.)

В математике существует множество различных понятий «общий» (что означает «почти все»), с соответствующими двойственные понятия из «почти нет» (незначительный набор ); два основных класса:

В теория меры, общее свойство - это свойство, которое почти всюду, с двойным понятием нулевой набор, что означает «с вероятностью 0».
В топология и алгебраическая геометрия, общее свойство - это свойство, которое выполняется на плотный открытый набор, или в более общем плане на остаточный набор, с двойным понятием нигде плотный набор, или в более общем смысле скудный набор.

Есть несколько естественных примеров, когда эти понятия не равны.^[1] Например, набор Числа Лиувилля является общим в топологическом смысле, но имеет нулевую меру Лебега.^[2]

В теории меры

В теория меры, общее свойство - это свойство, которое почти всюду. Двойственная концепция - это нулевой набор, то есть набор нулевой меры.

По вероятности

Вероятно, родовое свойство - это событие, которое происходит почти наверняка, что означает, что это происходит с вероятностью 1. Например, закон больших чисел утверждает, что выборочное среднее почти наверняка сходится к среднему значению генеральной совокупности. Это определение в случае теории меры, специализирующееся на вероятностном пространстве.

В дискретной математике

В дискретная математика, используется термин почти все значить cofinite (почти все, кроме конечного числа), подсчитываемый (все, кроме счетного множества), для достаточно большой числа, а иногда асимптотически почти наверняка. Эта концепция особенно важна при изучении случайные графы.

В топологии

В топология и алгебраическая геометрия, общее свойство - это свойство, которое выполняется на плотный открытый набор, или в более общем плане на остаточный набор (счетное пересечение плотных открытых множеств), причем двойственное понятие является замкнутым нигде не плотный набор, или в более общем смысле скудный набор (счетное объединение нигде не плотных замкнутых множеств).

Однако одной плотности недостаточно для характеристики общего свойства. Это видно даже в действительные числа, где как рациональные числа, так и их дополнение - иррациональные числа - плотны. Поскольку не имеет смысла говорить, что и набор, и его дополнение демонстрируют типичное поведение, и рациональные, и иррациональные числа не могут быть примерами наборов, достаточно больших, чтобы быть типичными. Следовательно, мы полагаемся на более сильное определение, приведенное выше, из которого следует, что иррациональные числа типичны, а рациональные - нет.

Для приложений, если свойство удерживается на остаточный набор, он может не выполняться для каждой точки, но его небольшое возмущение, как правило, приводит к попаданию одного в остаточное множество (из-за отсутствия плотности компонентов скудного набора), и, таким образом, это наиболее важный случай, который следует рассматривать в теоремах и алгоритмах.

В функциональных пространствах

Свойство является общим в C^р если набор, содержащий это свойство, содержит остаточное подмножество в C^р топология. Здесь C^р это функциональное пространство членами которого являются непрерывные функции с r непрерывными производными от многообразия M к коллектору N.

Космос C^р(M, N), из C^р сопоставления между M и N, это Пространство Бэра, следовательно, любое остаточное множество плотный. Это свойство функционального пространства делает общие свойства типичный.

В алгебраической геометрии

Алгебраические многообразия

Свойство неприводимого алгебраическое многообразие Икс в общем случае считается истинным, если он выполняется, кроме собственно Зарисский-закрыто подмножество Икс, другими словами, если он выполняется на непустом открытом по Зарискому подмножестве. Это определение согласуется с топологическим определением, приведенным выше, поскольку для неприводимых алгебраических многообразий любое непустое открытое множество плотно.

Например, по Критерий якобиана для регулярности общая точка многообразия над полем нулевой характеристики гладкая. (Это заявление известно как общая гладкость.) Это верно, потому что критерий Якоби может быть использован для нахождения уравнений для негладких точек: это именно те точки, в которых матрица Якобиана Икс не имеет полного звания. В нулевой характеристике эти уравнения нетривиальны, поэтому они не могут быть верными для каждой точки многообразия. Следовательно, множество всех нерегулярных точек Икс является собственным замкнутым по Зарискому подмножеством Икс.

Другой пример. Позволять ж : Икс → Y - регулярное отображение между двумя алгебраическими многообразиями. За каждую точку у из Y, рассмотрим размер волокна ж над у, то есть тусклый ж⁻¹(у). Обычно это число постоянно. Он не обязательно везде постоянный. Если, скажем, Икс это взрыв Y в какой-то момент и ж - естественная проекция, то относительная размерность ж равен нулю, кроме той точки, которая взорвана, где он тусклый Y - 1.

Говорят, что некоторые свойства содержат очень в общем. Часто это означает, что наземное поле несчетно и что это свойство верно за исключением счетного объединения собственных замкнутых по Зарискому подмножеств (т.е. грамм_δ набор ). Например, это понятие очень общего возникает при рассмотрении рациональная связность. Однако другие определения очень общего могут встречаться и встречаются в других контекстах.

Общая точка

В алгебраическая геометрия, общая точка алгебраическое многообразие - точка, координаты которой не удовлетворяют никакому другому алгебраическому соотношению, кроме тех, которым удовлетворяет каждая точка многообразия. Например, общая точка аффинное пространство над полем $k$ это точка, координаты которой равны алгебраически независимый над $k$ .

В теория схем, где точки - подмногообразия, общая точка многообразия - это точка, замыкание которой для Топология Зарисского это все разнообразие.

Общее свойство - это свойство общей точки. Для любого разумного свойства оказывается, что свойство истинно в общем на подмногообразии (в смысле истинности на открытом плотном подмножестве) тогда и только тогда, когда свойство истинно в общей точке. Такие результаты часто доказываются методами пределы аффинных схем, разработанных в EGA IV 8.

Общая позиция

Родственное понятие в алгебраической геометрии: общая позиция, точное значение которого зависит от контекста. Например, на евклидовой плоскости три точки общего положения не являются коллинеарен. Это связано с тем, что свойство не быть коллинеарным является общим свойством конфигурационное пространство трех точек в р².

В вычислимости

В вычислимость и алгоритмическая случайность, бесконечная строка натуральных чисел ${displaystyle fin omega ^ {omega}}$ называется 1-общий если для каждого c.e. набор ${displaystyle Wsubseteq omega ^ {$ , либо ${displaystyle f}$ имеет начальный сегмент ${displaystyle sigma}$ в ${displaystyle W}$ , или же ${displaystyle f}$ имеет начальный сегмент ${displaystyle sigma}$ так что каждое расширение ${displaystyle au succcurlyeq sigma}$ является нет в W. 1-генерики важны для вычислимости, так как многие конструкции можно упростить, рассматривая подходящую 1-генерик.^[3] Некоторые ключевые свойства:

1-родовое число содержит каждое натуральное число как элемент;
Нет 1-генерика вычислимым (или даже ограниченным вычислимой функцией);
Все 1-дженерики ${displaystyle f}$ обобщены низкий: ${displaystyle f'equiv _ {mathrm {T}} foplus varnothing '}$ .

1-типичность связана с топологическим понятием «общий» следующим образом. Пространство Бэра ${displaystyle omega ^ {omega}}$ имеет топологию с базовые открытые наборы ${displaystyle [sigma] = {f: sigma preccurlyeq f}}$ для каждой конечной строки натуральных чисел ${displaystyle sigma in omega ^ {$ . Затем элемент ${displaystyle fin omega ^ {omega}}$ 1-родовой тогда и только тогда, когда он нет на границе любого открытого множества. В частности, для каждого плотного открытого множества требуются 1-генерики (хотя это строго более слабое свойство, называемое слабо 1-родовой).

Результаты универсальности

Теорема Сарда: Если ${displaystyle fcolon M o N}$ является гладкой функцией между гладкие многообразия, то общая точка N не является критическим значением ж - критические значения ж площадь нулевой набор в N.
Критерий якобиана / общая гладкость: Общая точка многообразия над полем нулевой характеристики гладкая.
Управляемость и наблюдаемость из линейные инвариантные во времени системы являются общими как в топологическом смысле, так и в смысле теории меры.^[4]