Управляемость - Controllability - Wikipedia

Управляемость является важным свойством система контроля, а свойство управляемости играет решающую роль во многих задачах управления, таких как стабилизация нестабильные системы по обратной связи или оптимальному управлению.

Управляемость и наблюдаемость находятся двойной аспекты той же проблемы.

Грубо говоря, понятие управляемости обозначает возможность перемещать систему во всем ее конфигурационном пространстве, используя только определенные допустимые манипуляции. Точное определение немного варьируется в зависимости от структуры или типа применяемых моделей.

Ниже приведены примеры разновидностей понятий управляемости, которые были введены в литературе по системам и управлению:

• Государственная управляемость
• Управляемость выхода
• Управляемость в поведенческой структуре

Государственная управляемость

В государственный из детерминированная система, который представляет собой набор значений всех переменных состояния системы (тех переменных, которые описываются динамическими уравнениями), полностью описывает систему в любой момент времени. В частности, не требуется никакой информации о прошлом системы, чтобы помочь в прогнозировании будущего, если известны состояния в настоящее время и известны все текущие и будущие значения управляющих переменных (те, значения которых могут быть выбраны).

Полная государственная управляемость (или просто управляемость если не указан другой контекст) описывает способность внешнего входа (вектора управляющих переменных) перемещать внутреннее состояние системы из любого начального состояния в любое другое конечное состояние за конечный интервал времени.^[1]:737

Управляемость не означает, что можно поддерживать достигнутое состояние, просто можно достичь любого состояния.

Непрерывные линейные системы

Рассмотрим непрерывный линейный система ^{[примечание 1]}

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

Есть контроль ${\displaystyle u}$ от государства ${\displaystyle x_{0}}$ вовремя ${\displaystyle t_{0}}$ заявить ${\displaystyle x_{1}}$ вовремя ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ если и только если ${\displaystyle x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$ находится в пространство столбца из

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt}$

куда ${\displaystyle \phi }$ это матрица переходов между состояниями, и ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$ это Грамиан управляемости.

Фактически, если ${\displaystyle \eta _{0}}$ это решение ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}}$ тогда управление, данное ${\displaystyle u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}}$ сделаю желаемый перевод.

Обратите внимание, что матрица ${\displaystyle W}$ определенный, как указано выше, имеет следующие свойства:

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$ является симметричный
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$ является положительно полуопределенный за ${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$ удовлетворяет линейному матричное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle W(t_{0},t_{1})}$ удовлетворяет уравнению

${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}}$^[2]

Условие ранга управляемости

Грамиан управляемости включает интеграцию матрицы переходов между состояниями системы. Более простым условием управляемости является условие ранга, аналогичное условию ранга Калмана для инвариантных во времени систем.

Рассмотрим линейную систему с непрерывным временем ${\displaystyle \Sigma }$ плавно меняющийся в интервале ${\displaystyle [t_{0},t]}$ из ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).}$

Матрица перехода состояний ${\displaystyle \phi }$ тоже гладкий. Введем матричнозначную функцию n x m ${\displaystyle M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)}$ и определить

${\displaystyle M_{k}(t)}$ = ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1}$.

Рассмотрим матрицу матричнозначных функций, полученную перечислением всех столбцов ${\displaystyle M_{i}}$, ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,k}$:

${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]}$.

Если существует ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ и целое неотрицательное число k такое, что ${\displaystyle \operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n}$, тогда ${\displaystyle \Sigma }$ управляем.^[3]

Если ${\displaystyle \Sigma }$ также аналитически изменяется в интервале ${\displaystyle [t_{0},t]}$, тогда ${\displaystyle \Sigma }$ управляема на любом нетривиальном подынтервале ${\displaystyle [t_{0},t]}$ тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ и целое неотрицательное число k такое, что ${\displaystyle rank}$${\displaystyle M^{(k)}(t_{i})=n}$.^[3]

Вышеупомянутые методы все еще могут быть сложными для проверки, поскольку они включают вычисление матрицы перехода состояний ${\displaystyle \phi }$. Другое эквивалентное условие определяется следующим образом. Позволять ${\displaystyle B_{0}(t)=B(t)}$, и для каждого ${\displaystyle i\geq 0}$, определять

${\displaystyle B_{i+1}(t)}$= ${\displaystyle A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$

В этом случае каждый ${\displaystyle B_{i}}$ получается непосредственно из данных ${\displaystyle (A(t),B(t)).}$ Система управляема, если существует ${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t]}$ и неотрицательное целое число ${\displaystyle k}$ такой, что ${\displaystyle {\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n}$.^[3]

Пример

Рассмотрим систему, аналитически изменяющуюся в ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ и матрицы

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$ потом ${\displaystyle [B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}}}$ а так как эта матрица имеет ранг 3, система управляема на любом нетривиальном интервале ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Непрерывные линейные инвариантные во времени (LTI) системы

Рассмотрим непрерывную линейную инвариантная во времени система

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

куда

${\displaystyle \mathbf {x} }$ это ${\displaystyle n\times 1}$ "вектор состояния",

${\displaystyle \mathbf {y} }$ это ${\displaystyle m\times 1}$ "выходной вектор",

${\displaystyle \mathbf {u} }$ это ${\displaystyle r\times 1}$ "входной (или управляющий) вектор",

${\displaystyle A}$ это ${\displaystyle n\times n}$ "матрица состояний",

${\displaystyle B}$ это ${\displaystyle n\times r}$ "входная матрица",

${\displaystyle C}$ это ${\displaystyle m\times n}$ "выходная матрица",

${\displaystyle D}$ это ${\displaystyle m\times r}$ «матрица сквозного (или прямого) распространения».

В ${\displaystyle n\times nr}$ матрица управляемости имеет вид

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

Система управляема, если матрица управляемости имеет полную строку классифицировать (т.е. ${\displaystyle \operatorname {rank} (R)=n}$).

Дискретные линейные инвариантные во времени (LTI) системы

Для дискретное время линейная система в пространстве состояний (т.е. временная переменная ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$) уравнение состояния имеет вид

${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$

куда ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle n\times n}$ матрица и ${\displaystyle B}$ это ${\displaystyle n\times r}$ матрица (т.е. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ является ${\displaystyle r}$ материалы, собранные в ${\displaystyle r\times 1}$ вектор). Проверкой управляемости является то, что ${\displaystyle n\times nr}$ матрица

${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

имеет полный ряд классифицировать (т.е. ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n}$). То есть, если система управляемая, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ буду иметь ${\displaystyle n}$ столбцы, которые линейно независимый; если ${\displaystyle n}$ столбцы ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ находятся линейно независимый, каждый из ${\displaystyle n}$ состояния достижимы путем предоставления системе правильных входных данных через переменную ${\displaystyle u(k)}$.

Вывод

Учитывая состояние ${\displaystyle {\textbf {x}}(0)}$ в начальный момент, условно обозначенный как k= 0, уравнение состояния дает ${\displaystyle {\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),}$ тогда ${\displaystyle {\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),}$ и так далее с повторяющимися обратными заменами переменной состояния, что в конечном итоге приводит к

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.}$

Наложение любого желаемого значения вектора состояния ${\displaystyle {\textbf {x}}(n)}$ с левой стороны, это всегда можно решить для сложенного вектора управляющих векторов тогда и только тогда, когда матрица матриц в начале правой стороны имеет полный ранг строки.

Пример

Например, рассмотрим случай, когда ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle r=1}$ (т.е. только один управляющий вход). Таким образом, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle AB}$ находятся ${\displaystyle 2\times 1}$ векторов. Если ${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}}$ имеет ранг 2 (полный ранг), поэтому ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle AB}$ находятся линейно независимый и охватить всю плоскость. Если ранг равен 1, то ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle AB}$ находятся коллинеарен и не перекрывают самолет.

Предположим, что начальное состояние равно нулю.

Вовремя ${\displaystyle k=0}$: ${\displaystyle x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)}$

Вовремя ${\displaystyle k=1}$: ${\displaystyle x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)}$

Вовремя ${\displaystyle k=0}$ все достижимые состояния находятся на линии, образованной вектором ${\displaystyle B}$.Вовремя ${\displaystyle k=1}$ все достижимые состояния являются линейными комбинациями ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle B}$.Если система управляема, то эти два вектора могут охватывать всю плоскость, и это можно делать на время. ${\displaystyle k=2}$Предположение, что начальное состояние равно нулю, сделано просто для удобства. Очевидно, что если все состояния могут быть достигнуты из источника, то любое состояние может быть достигнуто из другого состояния (просто сдвиг координат).

Этот пример верен для всех положительных ${\displaystyle n}$, но случай ${\displaystyle n=2}$ легче визуализировать.

Аналогия, например, п = 2

Рассмотрим аналогия системы, приведенной в предыдущем примере. Вы сидите в машине на бесконечной плоской плоскости лицом на север. Цель состоит в том, чтобы добраться до любой точки плоскости, проехав расстояние по прямой, полностью остановиться, повернуть и если у вашего автомобиля нет рулевого управления, вы можете двигаться только прямо, что означает, что вы можете двигаться только по прямой (в данном случае по линии север-юг, так как вы начали смотреть на север). отсутствие рулевого дела будет аналогично тому, когда ранг ${\displaystyle C}$ равно 1 (два расстояния, которые вы проехали, находятся на одной линии).

Теперь, если бы у вашей машины было рулевое управление, вы могли бы легко добраться до любой точки в самолете, и это был бы случай, когда ранг ${\displaystyle C}$ равно 2.

Если вы измените этот пример на ${\displaystyle n=3}$ то аналогия будет с полетом в космос, чтобы достичь любой позиции в трехмерном пространстве (игнорируя ориентация из самолет Вы можете:

• лететь по прямой
• повернуть налево или направо на любую величину (Рыскание )
• направить самолет вверх или вниз на любую величину (Подача )

Хотя трехмерный случай сложнее представить, концепция управляемости остается аналогичной.

Нелинейные системы

Нелинейные системы в аффинной по управлению форме

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

доступны локально около ${\displaystyle x_{0}}$ если распределение доступности ${\displaystyle R}$ пролеты ${\displaystyle n}$ пространство, когда ${\displaystyle n}$ равняется рангу ${\displaystyle x}$ и R определяется как:^[4]

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

Здесь, ${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$ повторяется Кронштейн лжи операция определяется

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

Матрица управляемости для линейных систем из предыдущего раздела фактически может быть получена из этого уравнения.

Нулевая управляемость

Если дискретная система управления неуправляема, это означает, что существует управляемая ${\displaystyle u(k)}$ так что ${\displaystyle x(k_{0})=0}$ для некоторого начального состояния ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$. Другими словами, это эквивалентно условию существования матрицы ${\displaystyle F}$ такой, что ${\displaystyle A+BF}$ нильпотентен.

Это легко показать с помощью контролируемой-неконтролируемой декомпозиции.

Управляемость выхода

Управляемость выхода это связанное понятие для выхода системы (обозначается у в предыдущих уравнениях); управляемость выходом описывает способность внешнего входа перемещать выход из любого начального состояния в любое конечное за конечный интервал времени. Необязательно, чтобы была какая-либо связь между управляемостью состояния и управляемостью по выходу. Особенно:

• Управляемая система не обязательно является управляемой по выходу. Например, если матрица D = 0 и матрица C не имеет полного ранга строки, то некоторые позиции вывода маскируются ограничивающей структурой матрицы вывода. Более того, даже если система может быть перемещена в любое состояние за конечное время, могут быть некоторые выходы, недоступные для всех состояний. Тривиальный числовой пример использует D= 0 и a C матрица как минимум с одной строкой нулей; таким образом, система не способна производить ненулевой результат по этому измерению.
• Система с управляемым выходом не обязательно является управляемой по состоянию. Например, если размерность пространства состояний больше, чем размерность вывода, то для каждого отдельного вывода будет набор возможных конфигураций состояния. То есть система может иметь значительные нулевая динамика, которые являются траекториями системы, которые не наблюдаются на выходе. Следовательно, возможность управлять выходом в определенное положение за конечное время ничего не говорит о конфигурации состояния системы.

Для линейной системы с непрерывным временем, как в примере выше, описываемой матрицами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, и ${\displaystyle D}$, то ${\displaystyle m\times (n+1)r}$ матрица управляемости по выходу

${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$

имеет полный ранг строки (т.е. ранг ${\displaystyle m}$) тогда и только тогда, когда система управляема по выходу.^[1]:742

Управляемость при входных ограничениях

В системах с ограниченными полномочиями управления часто больше невозможно переместить любое начальное состояние в какое-либо конечное состояние внутри контролируемого подпространства. Это явление вызвано ограничениями на входе, которые могут быть присущи системе (например, из-за насыщения привода) или наложены на систему по другим причинам (например, из-за соображений безопасности). Управляемость систем с ограничениями на вход и состояние исследуется в контексте достижимость^[5] и теория жизнеспособности.^[6]

Управляемость в поведенческой структуре

В так называемом теоретико-поведенческий подход благодаря Виллемсу (см. люди в системах и управлении ), рассматриваемые модели не определяют напрямую структуру ввода-вывода. В этой структуре системы описываются допустимыми траекториями набора переменных, некоторые из которых могут быть интерпретированы как входы или выходы.

Система затем определяется как управляемая в этой настройке, если какая-либо прошлая часть поведения (траектория внешних переменных) может быть объединена с любой будущей траекторией поведения таким образом, чтобы эта конкатенация содержалась в поведении, т. Е. является частью допустимого поведения системы.^[7]:151

Стабильность

Немного более слабое понятие, чем управляемость, - это понятие стабилизируемость. Система называется стабилизируемый когда все неуправляемые переменные состояния могут иметь стабильная динамика. Таким образом, даже несмотря на то, что некоторые из переменных состояния не могут контролироваться (как определено вышеупомянутым тестом на управляемость), все переменные состояния все равно останутся ограниченными во время поведения системы.^[8]

Доступный набор

Пусть T ∈ Т и x ∈ Икс (где X - множество всех возможных состояний и Т интервал времени). Набор достижимости от x за время T определяется как:^[9]

${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}}$, где xТ→z означает, что существует переход состояния от x к z за время T.

Для автономных систем набор достижимости определяется выражением:

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B)}$,

где R - матрица управляемости.

С точки зрения множества достижимости система управляема тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Im(R)=\mathbb {R} ^{n}}$.

Доказательство Имеем следующие равенства:

${\displaystyle R=[B\ AB....A^{n-1}B]}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])}$

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=\mathrm {rank} (R)}$

Учитывая, что система управляема, столбцы R должны быть линейно независимый. Так:

${\displaystyle \mathrm {dim(Im} (R))=n}$

${\displaystyle \mathrm {rank} (R)=n}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}\quad \blacksquare }$

Связанный набор с набором достижимости - это управляемый набор, определяемый:

${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}}$.

Связь между достижимостью и управляемостью представлена ​​Зонтаг:^[9]

(а) n-мерная дискретная линейная система управляема тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$ (Где X - это набор всех возможных значений или состояний x, а k - временной шаг).

(b) Линейная система с непрерывным временем является управляемой тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle R(0)=R^{e}{(0)=X}}$ для всех e> 0.

если и только если ${\displaystyle C(0)=C^{e}{(0)=X}}$ для всех e> 0.

ПримерПусть система представляет собой n-мерную дискретно-инвариантную систему из формулы:

Φ (n, 0,0, w) =${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)}$ (Где Φ (конечное время, начальное время, переменная состояния, ограничения) определено, это матрица перехода переменной состояния x от начального момента времени 0 до конечного момента времени n с некоторыми ограничениями w).

Отсюда следует, что будущее состояние находится в ${\displaystyle R^{k}{(0)}}$ ⇔ это на изображении линейной карты:

Im (R) = R (A, B) ≜ Im (${\displaystyle [B\ AB....A^{n-1}B]}$),

который отображает,

${\displaystyle u^{n}}$→ X

Когда ${\displaystyle u=K^{m}}$ и ${\displaystyle X=K^{n}}$ мы отождествляем R (A, B) с матрицей n на nm, столбцы которой являются столбцами ${\displaystyle B,\ AB,....,A^{n-1}B}$ в этой последовательности. Если система управляема, ранг ${\displaystyle [B\ AB....A^{n-1}B]}$ это п. Если это правда, образ линейной карты R - это все X. Исходя из этого, мы имеем:

${\displaystyle R(0)=R^{k}{(0)=X}}$ с XЄ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Смотрите также

• Наблюдаемость
• Государственный наблюдатель

Примечания

1. А линейная инвариантная во времени система ведет себя так же, но с постоянными во времени коэффициентами.

Рекомендации

1. Кацухико Огата (1997). Современная техника управления (3-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-227307-7.
2. Брокетт, Роджер В. (1970). Конечномерные линейные системы. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-10585-5.
3. Эдуардо Д. Зонтаг, Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы.
4. Исидори, Альберто (1989). Нелинейные системы управления, п. 92–3. Спрингер-Верлаг, Лондон. ISBN  3-540-19916-0.
5. Клэр Дж. Томлин; Ян Митчелл; Александр М. Байен; Мико Оиси (2003). «Вычислительные методы проверки гибридных систем» (PDF). Труды IEEE. 91 (7): 986–1001. CiteSeerX  10.1.1.70.4296. Дои:10.1109 / jproc.2003.814621. Получено 2012-03-04.
6. Жан-Пьер Обен (1991). Теория жизнеспособности. Бирхаузер. ISBN  978-0-8176-3571-8.
7. Ян Полдерман; Ян Виллемс (1998). Введение в теорию математических систем: поведенческий подход (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  978-0-387-98266-3.
8. Брайан Д.О. Андерсон; Джон Б. Мур (1990). Оптимальное управление: линейно-квадратичные методы. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN  978-0-13-638560-8.
9. Эдуардо Д. Зонтаг (2013). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы. Springer Science & Business Media.

внешняя ссылка

• «Управляемость». PlanetMath.
• Функция MATLAB для проверки управляемости системы
• Функция Mathematica для проверки управляемости системы